考慮布儒斯特角約束的復合積分制導律設計

陳 峰, 何廣軍, 熊思宇

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

防空導彈雷達導引頭在探測跟蹤低空超低空目標時,雷達導引頭通常處于俯視狀態。雷達波束照射地面或海面等粗糙面后會形成多路徑反射回波，從而嚴重抑制了雷達導引頭的探測能力，造成對目標的跟蹤誤差[1-2]。目前有研究表明,提高低空目標攔截性能的最有效辦法是降低多徑雜波信號與目標信號之比。可通過設計布儒斯特彈道,使雷達導引頭沿著最佳的彈目視線角探測跟蹤目標,也就是布儒斯特角[2-3],來最大限度的降低多徑信號。

制導律中比例導引律(proportional navigation,PN)應用最為成熟[4-5],可是其抗干擾性能差,攔截機動目標時精度大大降低。滑模制導律由于其具有良好的魯棒性和抗干擾性能而被廣泛研究[6-8],可是傳統的線性滑模(linear sliding mode,LSM)制導律只具有漸進收斂特性。為此,相關學者提出了有限時間收斂的終端滑模控制[9-11],而終端滑模控制的固有缺陷是存在奇異問題。為了解決奇異問題,學者們又提出了非奇異終端滑模控制[12-13]。以上所有的滑模控制都必須經歷兩個階段,一是系統趨近滑模面運動,二是系統狀態沿滑模面運動收斂至平衡點。而積分滑模控制由于省去了系統趨近滑模面運動的過程[14-17],因而具有更快的收斂特性。但是積分滑模控制同傳統的滑模控制一樣,由于不連續開關項的存在,不可避免地會產生抖振現象[18]。為了消除抖振現象,文獻[19]提出用飽和函數代替符號函數,但這種方法會使系統的抗干擾性能下降,尤其當開關項增益系數較大時,效果大大降低。為此,文獻[20]提出可設計擾動觀測器來估計系統的擾動,并將擾動估計值作為補償項引入到控制項里,以達到消除抖振現象的目的。這種方法也因良好的效果而在控制領域中得到了廣泛的應用[21-23]。

本文基于積分滑模控制的思想,設計出一種線性積分滑模(linear integral sliding mode,LISM)制導律。該制導律相對于傳統的LSM制導律而言,初始狀態位于滑模面上,省去了趨近滑模面運動的過程,彈目視線角可用較短的時間漸進收斂至布儒斯特角。而超低空攔截為了降低多徑干擾的影響,要求彈目視線角盡快收斂至環境所對應的布儒斯特角。為此,設計了非線性積分滑模(nonlinear integral sliding mode,NISM)制導律。該制導律可保證彈目視線角在有限的時間內快速收斂至布儒斯特角,以降低多徑干擾對目標跟蹤精度的影響。同時,為了解決NISM制導律中開關項高增益系數引起的抖振現象,設計了滑模擾動觀測器(sliding mode disturbance observer,SMDO)來估計目標的機動加速度。通過引入目標加速度的估計值,設計出一種復合NISM(composite NISM,CNISM)制導律。結果表明,該制導律可有效地消除抖振現象,確保攔截末端視線角速率不發散,從而提高了工程中攔截的精度。

1 布儒斯特角與超低空攔截

1.1 布儒斯特角

廣義布儒斯特角在防空導彈雷達導引頭中定義為雷達導引頭俯視探測超低空環境時,多徑干擾強度最小的入射角或其范圍[24]。

多徑干擾是由于目標與環境的耦合作用造成的,具有類目標特性,如圖1所示。

圖1 多徑干擾示意圖Fig.1 Diagram of multipath interference

多徑效應可使雷達導引頭無法有效辨識真實目標與鏡像虛假目標,降低跟蹤精度或造成對目標跟蹤錯誤。因此,研究超低空攔截問題必須從避免多徑干擾方面突破,可使導彈按布儒斯特角跟蹤攔截目標,從而避免多徑效應。文獻[24]通過大量實驗數據分析得出結論:不同環境的布儒斯特角是不同的,陸地沙漠環境在30°左右。

1.2 超低空攔截模型

圖2 超低空攔截模型Fig.2 Model of super-low altitude interception

假設攔截彈與目標的速度大小為常值,可得導彈與目標的相對運動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

對式(2)求導,并聯立式(1)可得

(5)

式中,ATq=ATcosηT;AMq=AMcosηM。

2 積分滑模制導律設計

2.1 LISM制導律設計

導彈在終端攻擊目標時,視線角需穩定在期望的布儒斯特角附近,同時也要滿足視線角速率收斂至零,降低脫靶量的要求,即

(6)

式中,qd為期望的布儒斯特角，因此可選取狀態變量為

(7)

根據所取狀態變量并聯立式(5),可得狀態方程為

(8)

(9)

式中,V(x0)是V(x)的初值。

選取線性積分滑模面切換函數為

(10)

式中,h1>0,h2>0,為待設計的參數。

設計制導指令為

(11)

式中,ε為開關項增益系數。

定理1式(11)所示的制導指令,當開關項增益系數滿足ε>F時,可保證式(8)所示的制導系統中彈目視線角漸進收斂至期望的視線角,同時視線角速率漸進收斂至零。

證明對S1求導,可得

(12)

聯立式(8)、式(11)和式(12),可得

(13)

系統狀態趨近滑模面運動階段,構造Lyapunov函數為

(14)

并對式(14)求導,可得

(15)

(16)

由引理1可知,系統狀態能在有限的時間內到達滑模面,到達時間為

(17)

由式(17)可知,系統狀態沒有趨向滑模面運動的過程,說明系統的初始狀態已經位于滑模面上,直接進入沿滑模面運動的過程。

沿滑模面運動時,有

(18)

即

(19)

由勞斯判據可知,h1>0,h2>0可保證系統的狀態是漸進穩定的,且漸進收斂至平衡點x1=x2=0,即彈目視線角漸進收斂至期望的角度,同時視線角速率收斂至零。

證畢

2.2 NISM制導律的設計

LISM制導律相對于傳統的LSM制導律而言,省去了系統由初始狀態趨近滑模面運動的過程,大大節省了系統狀態收斂至平衡點的時間,但是其存在的固有缺陷是只能保證視線角漸進收斂至期望的布儒斯特角。而在末制導階段,導彈目標高速接近,要求彈目視線角在有限的時間內快速收斂至布儒斯特角,以降低環境的多徑干擾。為此,在LISM制導律的基礎上,設計了NISM制導律,以保證彈目視線角在有限的時間內快速收斂至期望的角度,同時視線角速率收斂至零。

引理2[25]對于系統

(20)

存在反饋控制律

(21)

使得系統的狀態是有限時間穩定的,其中h1>0,h2>0, 0<γ<1。

參考文獻[26],選取Lyapunov函數為

(22)

式中,h0=(h1/h2)1/γ>0,則存在H>0使得

(23)

此時由引理1可得,系統狀態的有限收斂時間滿足

(24)

式中,x0是系統的初始狀態。

選取非線性積分滑模面切換函數為

S2=x2-x2(0)+

(25)

式中,h1>0,h2>0,0<γ<1,為待設計的參數。

設計制導指令為

(26)

定理2式(26)所示的制導指令,當開關項增益系數滿足ε>F時,可保證制導系統(8)中彈目視線角在有限的時間內收斂至期望的視線角,同時視線角速率收斂至零。

證明對S2求導,可得

(27)

聯立式(8)、式(26)和式(27),可得

(28)

構造Lyapunov函數為

(29)

對式(29)求導,可得

(30)

參照式(15)和式(17)可知,系統狀態到達滑模面的時間為

(31)

由式(31)可知,同LISM一樣,系統狀態沒有趨向滑模面運動的過程,直接進入沿滑模面運動的過程。

沿滑模面運動時,有

S2=x2-x2(0)+

(32)

即

(33)

對式(33)變形,可得

(34)

由引理2可得,系統的狀態能在有限收斂時間內收斂至平衡點,收斂時間滿足

(35)

綜合式(31)和式(35),系統由初始狀態收斂至平衡點的時間為

(36)

即彈目視線角能在有限的時間內收斂至期望的角度,同時視線角速率收斂至零。

證畢

式(11)和式(26)所示的制導律中,由于符號函數εsgn(S)的存在,會使制導律的表達式不連續,從而導致抖振現象,可采用高增益連續函數εS/(|S|+δ)代替符號函數削弱抖振現象。同時為了維持系統的穩定性,開關增益系數ε需要大于目標加速度的界限值F,但是目標加速度是無法準確獲得的,只能讓開關增益系數盡可能的大,這在一定程度上會增加抖振的幅度,尤其針對機動目標時,系統抗干擾性能會明顯降低。為了消除抖振現象,同時使系統保持良好的抗干擾性能,設計了SMDO用以估計目標的機動加速度,將目標加速度的估計值作為補償項引入到制導律的表達式(26)中,設計出一種CNISM制導律。此時,開關項增益系數只需大于目標加速度估計誤差的上界,而這相對于目標加速度而言,是個很小的值。

3 CNISM制導律的設計

3.1 SMDO的設計

令

(37)

將式(37)代入式(5)可得

(38)

(39)

令

(40)

式中,e1,e2分別為估計誤差。聯立式(38)～式(40)可得

(41)

構造Lyapunov函數

(42)

將式(42)寫成矩陣的形式

V=eTPe

(43)

因k1>0,k2>0,p>2,可得V是正定的,此時有

λmin(P)‖e‖2≤V≤λsup(P)‖e‖2

(44)

式中,λmin(P),λsup(P)分別表示矩陣P的較小和較大的特征值;‖e‖表示矩陣e的歐幾里德范數。

對所構造的李雅普諾夫函數V求導,可得

(45)

式(45)又可以寫為

(46)

其中

由于k1>0,k2>0,p>2,可得到Q是正定矩陣

|e1|-1/p≥‖e‖-1/(p-1)

(47)

聯立式(44),式(46)和式(47)可得

-(λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖)‖e‖≤

(48)

當λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0時,式(48)可寫為

(49)

式中,χ=λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0,此時,根據引理1可知,系統的軌跡能在有限時間內進入的收斂域為

(50)

式(50)同時也說明所設計的觀測器的估計誤差也能在有限的的時間內收斂到該收斂域。

由于τ是一個很小的正數,通過調整觀測器的參數,使τ‖B‖/λmin(Q)<1,同時使(p-1)/(p-2)>1,這樣就可以使上述的收斂域足夠地接近零,從而提高估值器的精度。

3.2 CNISM制導律的設計

(51)

式中,ξ是新的開關項增益系數。

定理3式(51)所示的制導指令,當開關項增益系數滿足ξ>φ時,可保證制導系統(8)中彈目視線角在有限的時間內收斂至期望的視線角,同時視線角速率收斂至零。

證明依舊選取非線性積分滑模面如式(25)所示,對其求導,并聯立式(8)和式(51)可得

(52)

構造Lyapunov函數為

(53)

對式(53)求導,可得

(54)

此時,仿照定理2的證明過程,可得到結論,當開關項增益系數滿足ξ>φ時,式(51)所示的制導指令可保證彈目視線角在有限的時間內收斂至期望的視線角,同時視線角速率收斂至零。收斂時間如式(36)所示。

證畢

4 算例分析

仿真1幾種制導律超低空攔截性能的對比

為了驗證式(51)所設計的CNISM制導律的優越性和超低空攔截的適用性,在沙漠環境下,對超低空機動目標進行攔截仿真驗證。并將其與式(11)所示的LISM制導律、式(26)所示的NISM制導律、LSM制導律以及PN進行比較。

選取線性滑模面切換函數為

S=h1x1+h2x2

(55)

滑模趨近律設計為

(56)

從而得到LSM制導律為

εsgn(S))/h2+ATq)/cos(q-θM)

(57)

PN設計為

(58)

設超低空目標的初始飛行高度為YT=10 m,初始位置為XT=7 800 m,初始飛行速度為VT=200 m/s,初始彈道傾角為θT=180°,目標機動加速度為AT=-20sin(0.5πt);攔截彈的初始水平位置為XM=0 m,高度為YM=3 500 m,初始速度VM=400 m/s,初始彈道傾角θM=-45°。由前面已知,沙漠環境的布儒斯特角在30°左右(這里只是表示角度的大小,按照圖2標注的方向應為負值)。滑模制導律參數設計為h1=1,h2=2,γ=0.5,ε=120,ξ=0.3,δ=0.01,k=20;估值器參數設計為k1=40,k2=200,p=2.1,R(0)=8 500 m;PN參數設置為N=3。為了保證對比的公平性,假設攔截彈的最大加速度響應為20g。仿真結果如圖3～圖8和表1所示。

圖3 攔截彈道Fig.3 Interception trajectory

圖4 視線角響應曲線Fig.4 Diagram of line-of-sight angle

圖5 視線角速率響應曲線Fig.5 Diagram of line-of-sight angular rate

圖6 滑模面響應曲線Fig.6 Diagram of sliding mode manifold

圖7 攔截彈加速度指令Fig.7 Interceptor acceleration command

圖8 目標加速度Fig.8 Target acceleration

制導律視線角收斂時間/s平均脫靶量/mPN無3.73LSM13.324.19LISM10.927.24NISM5.506.31CNISM4.323.75

對于攔截沙漠上的超低空目標,由于其環境布儒斯特角在30°左右,為了降低攔截彈目標相距較近時多徑干擾對導引頭探測精度的影響,需將視線角盡快約束至30°。由圖3可以看出,以上幾種制導律最終都能對目標進行攔截。但由圖4可看出,PN只能近似控制視線角不變,無法控制攔截彈以期望的布儒斯特角攔截目標;LSM制導律只能保證彈目視線角漸進收斂至期望的布儒斯特角,表1表明其收斂速率過慢,需要13.32 s;LISM制導律由于省去了趨向滑模面運動的過程,所以相比LSM而言,漸進收斂速度提高了2.4 s;而NISM制導律則可保證彈目視線角能在有限的時間內收斂至期望的布儒斯特角,收斂時間只需5.5 s。但由圖5～圖7和表1可看出,LISM和NISM制導律由于開關項增益系數過大,使攔截末端視線角速率、滑模面響應曲線以及攔截彈加速度指令出現了抖振現象,嚴重降低了攔截的精度,脫靶量達到了6～7 m。而CNISM制導律通過引入如圖8所示的目標加速度ATq的估計值,開關項系數只需比加速度估計誤差小,就能保證制導系統的穩定性,由圖5～圖7的放大圖和表1可看出,CNISM制導律很好地抑制了抖振現象對攔截精度的影響,視線角收斂時間縮短至4.32 s,脫靶量減小到3.75 m。

仿真2參數γ對收斂時間的影響

由式(36)可看出,CNISM的收斂時間和γ有關,下面分析參數γ對收斂時間的影響。其他初始條件的設置參照仿真1,γ分別取0.1,0.3,0.5,0.7,0.9。仿真結果如圖9～圖11所示。

圖9 不同參數的視線角響應曲線Fig.9 Diagram of line-of-sight angle of different parameters

圖10 不同參數的視線角速率響應曲線Fig.10 Diagram of line-of-sight angular rate of different parameters

圖11 不同參數的滑模面響應曲線Fig.11 Diagram of sliding mode manifold of different parameters

由圖9～圖11可看出,參數γ取0.5時,視線角收斂至期望布儒斯特角的速率最快;當γ<0.5時,隨著γ值的減小,收斂速率降低;當γ>0.5時,隨著γ值的增大,收斂速率降低。因此參數γ取0.5為最佳值。

5 結 論

攔截超低空目標時,為了降低環境的多徑干擾對探測攔截精度的影響,在LISM制導律的基礎上設計了NISM制導律。可保證彈目視線角在有限的時間內快速收斂至環境所對應的布儒斯特角,同時視線角速率收斂至零,以降低多徑干擾的影響。相比于傳統的LSM,NISM的初始狀態位于滑模面上,省去了趨近滑模面運動的過程,具有更快的收斂特性。同時,為了消除NISM制導律中開關項高增益系數引起的抖振現象對制導精度的影響,設計了SMDO來估計目標的機動加速度。結合目標加速度的估計值,設計出的CNISM制導律既具有快速的視線角收斂特性,又能有效地消除抖振的影響。