基于RBF神經網絡的磁屏蔽性能計算方法

呂志峰, 張金生, 王仕成, 李 婷

(火箭軍工程大學精確制導與仿真實驗室, 陜西 西安 710025)

0 引 言

對于高精度的地磁場測量,為了保證高精度磁測儀器的正常工作,必須消除附近鐵磁性物體及電控設備產生的干擾磁場,這就需要建立近零磁環境。從國內外的研究成果來看,大部分的近零磁環境均以被動磁屏蔽為主,即采用磁導率較高的材料構建一個封閉的磁屏蔽裝置,從而保證該裝置內部空間的磁場接近“零磁”[1-6]。近年來,隨著航空航天技術的不斷發展,磁屏蔽裝置在地磁導航、慣導系統等航空航天領域的應用越來越廣泛[7-11],對高水平磁屏蔽裝置的需求也在不斷增加。文獻[7]提出通過構建磁屏蔽裝置以形成零磁空間來進行地磁導航的半實物仿真試驗,從而提高地磁導航仿真的可信度。文獻[8]基于小型的磁屏蔽裝置,構建了一套高精度的地磁場模擬系統,并以此為基礎,搭建了地磁導航半實物仿真系統,對地磁匹配算法進行了半實物仿真試驗評估[9]。文獻[10-11]分別將激光陀螺和核磁共振陀螺置于磁屏蔽裝置內,通過對磁屏蔽裝置進行優化設計,從而降低陀螺的漂移,提高導航精度。設計磁屏蔽裝置的前提是磁屏蔽性能的精確計算,但是,磁屏蔽性能的理論計算作為磁屏蔽裝置的關鍵技術之一,還未得到很好的解決[12-14]。

磁屏蔽性能的理論計算主要有解析法和數值法,其理論依據均為麥克斯韋方程。由于麥克斯韋方程求解復雜,運用經典的數學方法很難得到嚴格的解析表達式,只能通過磁路法或磁標位法推導出個別規則形狀磁屏蔽裝置(如球形或圓柱形)的磁屏蔽效能計算公式,且由于在推導過程中做了適當的簡化和忽略,解析法的精度相對較低[15-21]。近年來,隨著有限元計算方法和計算機硬件的發展,數值法開始應用于磁屏蔽性能的理論計算,雖然數值法的求解精度高,但是由于求解過程中涉及到龐大的矩陣求解,計算通常耗時費力[22-27]。在磁屏蔽裝置設計過程中,常常將兩種方法的優點結合使用[10,27],即先利用解析法計算簡單的優點,通過快速的估算,從眾多備選方案中篩選出屏蔽效能較好的一種或幾種方案,然后再利用數值法計算精度高的優點,對篩選出來的這一種或幾種方案進行有限元數值計算,通過對比驗證從而確定最好的一種設計方案,即先“粗”篩選再“精”確定。目前來看,傳統的解析法與數值法的求解相對誤差為30%甚至更高[21,27],這也就是說解析法“粗”篩選存在很大的誤差,在篩選中很有可能會把最好的方案剔除,即使后面采用的數值法精度再高,找的也是次優方案而不是最優。此外,有些規則形狀(如矩形等)的磁屏蔽裝置的磁屏蔽性能解析表達式不易推導,使得磁屏蔽裝置在設計過程中無法進行“粗”篩選。因此,在磁屏蔽裝置設計過程中,很有必要尋找一種計算簡單且精度較高的磁屏蔽性能計算方法以代替傳統的解析法。

針對這一問題,提出了基于徑向基函數(radial basis function, RBF)神經網絡的磁屏蔽性能計算方法,并通過仿真實驗對計算方法的準確性進行驗證,最終以簡單快速的計算形式實現了接近數值法的求解精度,為工程上磁屏蔽性能的計算提供了一定的理論依據和參考價值。

1 磁屏蔽裝置的磁屏蔽性能

磁屏蔽裝置對磁場的屏蔽主要是利用磁屏蔽材料磁阻小而對磁路進行分流來實現的。當由高導磁率材料(如硅鋼片、坡莫合金等)構成的屏蔽裝置置于干擾磁場中時,屏蔽外殼會與其內部的空氣介質構成一個并聯磁路,由于空氣的相對磁導率接近于1,而屏蔽外殼的相對磁導率能達到幾千甚至上萬,故空氣的磁阻R0要比屏蔽外殼的磁阻Rm大得多,當外界存在干擾磁場時,絕大部分磁通量會沿著磁阻低的屏蔽殼通過,進入屏蔽體內腔的磁通量很少,從而達到屏蔽磁場的目的。其原理如圖1所示。

磁屏蔽裝置的磁屏蔽性能主要通過屏蔽系數或屏蔽效能來反映。假設屏蔽區的某點在未施加屏蔽措施時的磁感應強度為B0,施加屏蔽措施后的磁感應強度為B1,則屏蔽系數為

(1)

或者屏蔽效能為

(2)

圖1 磁場屏蔽原理圖Fig.1 Schematic diagram of magnetic shielding

為了計算方便,本文以磁屏蔽系數S作為評價指標來反映磁屏蔽裝置的磁屏蔽性能。

2 基于RBF神經網絡的磁屏蔽性能計算方法

2.1 RBF神經網絡基本理論

RBF神經網絡是一種3層前饋式神經網絡,由輸入層、隱含層和輸出層構成,可以根據問題確定相應的網絡拓撲結構,具有逼近精度高、網絡規模小、學習速度快和不存在局部最小問題等優點[28]，其結構如圖2所示。

圖2 RBF神經網絡結構Fig.2 RBF neural network structure

RBF神經網絡中常用的徑向基函數是高斯函數,故RBF神經網絡的激活函數可表示為

(3)

式中,‖xp-ci‖為歐式范數;ci為高斯函數的中心;σ為高斯函數的方差。

由圖2所示的RBF神經網絡的結構可得到網絡的輸出為

(4)

由式(4)可以看出,RBF神經網絡學習算法需要求解的參數有3個:基函數的中心、方差及隱含層到輸出層的權值。通過使用訓練數據對網絡進行訓練,從而對3個參數進行不斷的調整,最終使得網絡逼近所需要的非線性函數。

2.2 訓練數據的獲取

要想通過RBF神經網絡對磁屏蔽裝置的磁屏蔽系數進行擬合逼近,首先需要有足夠的訓練數據。大量研究文獻已經表明,磁屏蔽系數與磁屏蔽裝置的材料、形狀及尺寸等因素密切相關[15-17,29-30],因此訓練數據的輸入應是與磁屏蔽裝置相關的參數,輸出則為這些參數所對應的磁屏蔽系數,這也就是說每獲取一組訓練數據都對應著一個固定結構的磁屏蔽裝置,在現實中,要想獲取足夠的訓練數據就要投入大量的人力、物力和財力去構造不同結構的磁屏蔽裝置,這顯然是不能接受的。

近年來,隨著有限元計算方法和計算機硬件的發展,基于有限元的數值法已經廣泛應用于電磁分析領域。有限元數值計算方法在計算過程中嚴格按照麥克斯韋微分方程進行求解,理論上計算精度高,從國內外研究成果看,其計算結果與實際系統吻合程度也較好[22-27],雖然其計算耗時相對較多,但是相比于建造不同結構的磁屏蔽裝置,采用數值法獲取訓練數據無論是經濟成本還是時間成本都要低很多,因此本文采用有限元數值法來獲取RBF神經網絡所需要的訓練數據。

目前,世界上有多款電磁場有限元計算軟件,其基本思想都是采用有限元將麥克斯韋微分方程進行離散化,將模型中的電磁場計算轉變為矩陣求解。本文中數值計算采用的是Ansoft Maxwell軟件,它不僅具備常規電磁場有限元計算軟件的特點,還具有參數化建模的功能[31],該功能可以連續計算出不同參數情況下所對應的磁屏蔽系數,通過這種方式獲取的訓練數據更有助于RBF神經網絡找到參數變化對磁屏蔽系數的影響規律。

2.3 計算模型的建立

鑒于現階段磁屏蔽性能的理論計算存在的問題,為了以簡單快速的計算形式實現更加接近數值法的求解精度,提出基于RBF神經網絡的磁屏蔽性能理論計算方法:對于給定形狀的磁屏蔽裝置,首先確定影響磁屏蔽性能的參數,通常為磁屏蔽裝置的相對磁導率及結構尺寸;由于有限元數值法計算耗時,為了盡可能在獲取訓練數據時減少計算量,通過控制變量法對影響磁屏蔽系數的獨立參數進行分離并建模;對于不能分離的參數,以這些參數為輸入量,利用Ansoft Maxwell參數化建模的功能,設定每個參數的變化步長,求得不同參數下所對應的磁屏蔽系數,從而獲得訓練數據,進而基于這些數據對RBF神經網絡進行訓練;對于步長的確定,總的原則就是:在保證RBF神經網絡建模精度的前提下,步長盡可能地大,從而提高計算效率。如果訓練得到的RBF神經網絡模型精度不能滿足要求,那么說明設定的步長太大,沒有獲取足夠的訓練數據,需要重新調整步長,最終通過步長的調節,得到計算精度較高的神經網絡模塊;最后,由于參數分離這一過程采用的是控制變量法,那么分離出來的獨立參數模型與RBF神經網絡模型是相乘的關系,直接采用相乘將訓練好的網絡模塊與分離出來的獨立變量模型進行結合,最終得到磁屏蔽裝置的屏蔽系數計算模型。整個建模流程如圖3所示。

圖3 磁屏蔽系數計算流程圖Fig.3 Flow chart of magnetic shielding factor calculation

由圖3可知,模型的建立分兩部分:獨立參數建模和非獨立參數建模。對于獨立參數建模,由于其是獨立參數,不與其他參數存在耦合,故模型較為簡單,理論上建立的模型準確度高;對于非獨立參數建模,由于其類似于黑箱問題,故利用RBF神經網絡具有逼近精度高、網絡規模小、學習速度快和不存在局部最小問題的優點,采用RBF神經網絡進行建模,同時,在RBF神經網絡建模過程中加入精度驗證環節,以確保建立的網絡模型精度足夠高;最后,在兩部分模型結合之后,再次加入精度驗證環節,從而確保最終得到的磁屏蔽裝置的屏蔽系數計算模型仍滿足較高的精度。

3 仿真實驗分析

目前,航空航天領域所用的磁屏蔽裝置大部分都采用矩形形狀,但是這種形狀的磁屏蔽性能解析計算還未得到很好的解決[13],因此,本文就以矩形形狀的磁屏蔽裝置為例,采用本文提出的計算方法,對其磁屏蔽系數進行計算,通過與有限元數值法的計算結果進行對比來評價方法的好壞。

3.1 基于控制變量法的參數分離

對于矩形磁屏蔽裝置而言,根據其長、寬、高及屏蔽層的厚度可以唯一確定裝置的結構;對于屏蔽材料而言,影響磁屏蔽性能的決定性參數為材料的相對磁導率。因此,影響矩形磁屏蔽裝置屏蔽性能的參數有5個,即:屏蔽材料的相對磁導率、屏蔽層的厚度、裝置內部的長、寬、高。為了降低后續訓練數據的維度,首先把多因素的問題變為多個單因素的問題,采用控制變量法的思想,將影響磁屏蔽性能的獨立參數進行分離。本文利用Ansoft Maxwell軟件進行數值仿真計算以獲取分析數據。仿真中,初始化設定磁屏蔽裝置內部空腔尺寸為40 mm×40 mm×40 mm,屏蔽材料厚度為t=1 mm,相對磁導率為μr=10 000,同時在坐標系Y軸方向放置兩塊平行的永磁體材料NdFe30,采用平行充磁的方式產生穩定的背景磁場,以矩形中心原點處的磁屏蔽系數作為度量磁屏蔽性能的指標,建立的三維計算模型如圖4所示。

圖4 矩形磁屏蔽裝置三維計算模型Fig.4 Three dimensional calculation model of rectangular magnetic shielding device

3.1.1 材料相對磁導率對磁屏蔽性能的影響分析

改變材料的相對磁導率,使其由μr=10 000逐步變為μr=29 000,步長為1 000,其余4個參數保持不變,一共計算20組數據,計算結果如圖5所示。

圖5 材料相對磁導率與磁屏蔽系數關系Fig.5 Relationship between material relative permeability and magnetic shielding factor

從圖5可以看出,材料相對磁導率與磁屏蔽系數具有良好的線性關系,定性地說明材料的相對磁導率為獨立變量。為了從定量上說明這一參數是否為獨立變量,將20組數據分為兩組:前10組數據為一組,后10組數據為另一組。將兩組數據進行最小二乘擬合,擬合結果為

S=0.021 33μr+0.885 7

(5)

S=0.021 33μr+0.896 6

(6)

對比式(5)和式(6)發現,對于不同的兩組數據,其擬合結果的一次項系數均為0.021 33,說明系數不隨μr的改變而改變;一次項后的常量分別為0.885 7和0.896 6,均較小,可以忽略不計。故從定量來說,S∝μr。綜上所述,可以確定材料的相對磁導率μr為獨立變量。

3.1.2 材料厚度對磁屏蔽性能的影響分析

改變材料的厚度,使其由t=0.1 mm逐步變為t=2.0 mm,步長為0.1 mm,其余4個參數保持不變,一共計算20組數據,計算結果如圖6所示。

圖6 材料厚度與磁屏蔽系數關系Fig.6 Relationship between material thickness and magnetic shielding factor

從圖6可以看出,材料的厚度與磁屏蔽系數近似呈線性關系,定性上說明材料的厚度為獨立變量。為了從定量上說明這一參數是否為獨立變量,將20組數據分為兩組:前10組數據為一組,后10組數據為另一組。將兩組數據進行最小二乘擬合,擬合結果為

S=232.5t-0.872 1

(7)

S=229.7t+1.363 0

(8)

式中,厚度t的單位為mm。

對比式(7)和式(8)發現,對于不同的兩組數據,其擬合結果的一次項系數分別為232.5和229.7,二者的相對誤差僅為1.2%,可以理解為是數值計算過程中存在的正常誤差,可看作近似相等,這說明系數不隨厚度t的改變而改變;一次項后的常數分別為-0.872 1和1.363 0,均較小,可以忽略不計。故從定量來說,S∝t。綜上所述,可以確定材料的厚度t為獨立變量。

3.1.3 與磁場方向平行的邊的長度對磁屏蔽性能的影響分析

圖4所示的三維模型中,背景磁場沿Y軸方向,定義與磁場方向平行的邊的長度為y。改變y的大小,使其從y=40 mm逐步變為y=192 mm,步長為8 mm,其余4個參數保持不變,一共計算20組數據,計算結果如圖7所示。

圖7 與磁場方向平行的邊的長度與磁屏蔽系數關系Fig.7 Relationship between length of the side parallel to the magnetic field direction and magnetic shielding factor

觀察圖7所示的曲線,定性分析可知,其與冪函數y=a×xb(b<0)的形式相近。為了從定量上說明這一參數是否為獨立變量,將20組數據分為兩組:前10組數據為一組,后10組數據為另一組。將兩組數據進行冪函數擬合,擬合結果為

S=616 8y-0.896 2

(9)

S=1 683 000y-2.085

(10)

式中,y的單位為mm。

對比式(9)和式(10)發現,對于不同的兩組數據,其擬合結果相差很大,說明S=a×yb這種形式的關系中,a與b隨著y的變化而變化,故與磁場方向平行的邊的長度y不是獨立變量。

3.1.4 與磁場方向垂直的邊的長度對磁屏蔽性能的影響分析

矩形磁屏蔽裝置中與磁場方向垂直的邊沿兩個方向,一種沿著X軸方向,另一種沿著Z軸方向,這里定義沿X軸方向的邊的長度為x,沿Z軸方向的邊的長度為z。改變x的大小,使其從x=40 mm逐步變為x=192 mm,步長為8 mm,其余4個參數保持不變,一共計算20組數據。同樣,改變z的大小,使其從z=40 mm逐步變為z=192 mm,步長為8 mm,其余4個參數保持不變,一共計算20組數據。計算結果如圖8所示。

圖8 與磁場方向垂直的邊的長度與磁屏蔽系數關系Fig.8 Relationship between length of the side perpendicular to the magnetic field direction and magnetic shielding factor

從圖8可以看出,與磁場方向垂直的兩個邊的邊長x和z與磁屏蔽系數無明確的解析函數關系,故這里把x和z歸為非獨立變量。

3.2 RBF神經網絡的建模與驗證

通過對每個變量進行分析可知,磁屏蔽裝置的相對磁導率μr和厚度t與磁屏蔽系數呈正比關系,而磁屏蔽裝置的3條邊長x、y和z與磁屏蔽系數無明確的解析函數關系,故磁屏蔽系數可表示為

S=μrtf(x,y,z)

(11)

式中,f(x,y,z)表示x、y和z組成的非線性關系式。

由于f(x,y,z)的函數模型未知,故采用RBF神經網絡對其進行建模。該模型的輸入為參數x、y和z,輸出為磁屏蔽系數S。采用Ansoft Maxwell軟件進行數值仿真獲取樣本數據,每個輸入參數的變化范圍均為40～94 mm,變化步長為6 mm,樣本數據一共1 000組。這里需要說明的是,如果不預先采用控制變量法對參數進行分離建模,那么輸入參數則為5個,需要獲取的樣本數據就是105組,可見,對獨立參數進行分離建模是十分必要的,可以大大減少獲取樣本數據的時間成本。

將1 000組樣本數據分為兩部分:隨機抽取900組樣本數據用于RBF神經網絡的訓練,剩余100組樣本數據用于RBF神經網絡的精度驗證。驗證結果如圖9所示。

圖9 RBF神經網絡精度驗證Fig.9 Accuracy verification of RBF neural network

從圖9(a)可以看出,RBF神經網絡擬合結果與數值計算得到的結果基本一致,對圖9(b)中的數據進行統計:二者的最大相對誤差為7.47%,95%的擬合結果與數值計算結果的相對誤差在5%以內,從工程角度來說,RBF神經網絡擬合結果與數值計算結果是一致的,這充分說明RBF神經網絡模型對f(x,y,z)的逼近程度是很高的,工程上采用RBF神經網絡對f(x,y,z)進行建模是切實可行的。

3.3 整體模型的建立與驗證

通過第3.1節與第3.2節的分析,可以建立矩形磁屏蔽裝置屏蔽系數計算模型為

(12)

式中,μr為材料的相對磁導率;t為材料厚度;net(x,y,z)是在相對磁導率為μ1、材料厚度為t1的情況下得到的RBF神經網絡模塊,x、y和z分別為裝置的邊長長度,其中y為與磁場方向平行的邊的邊長,x和z為與磁場方向垂直的邊的邊長。所建立的net(x,y,z)是在相對磁導率為μ1=10 000、材料厚度為t1=1 mm的情況下得到的RBF神經網絡模塊,即第3.2節中所建立的RBF神經網絡模塊。

為了檢驗整體模型是否正確,采用Ansoft Maxwell軟件進行數值仿真獲取驗證數據,設定相對磁導率μr為10 500、15 500和20 500,材料厚度t為0.55 mm、1.05 mm和1.55mm,x、y和z均為50 mm、70 mm和90 mm,則得到的數值法計算結果一共有35=243組。同時,將以上參數代入式(12)中,得到模型擬合結果。將兩種計算結果進行對比,結果如圖10所示。

圖10 計算模型精度驗證Fig.10 Accuracy verification of computational mode

從圖10(a)可以看出,計算模型的擬合結果與數值計算得到的結果基本一致,對圖10(b)中的數據進行統計:二者的最大相對誤差為10.3%,95%的擬合結果與數值計算結果的相對誤差在8%以內,從工程角度來說,模型擬合結果與數值計算結果是一致的,這充分說明本文的建模方法是正確的,且建立的模型精度很高。由此可見,對于磁屏蔽性能的估算,只需要將其輸入參數代入形如式(12)的模型中,就可以快速地計算出磁屏蔽系數,與傳統解析法相比,其精度更加接近數值法的求解精度,更適用于工程估算。

4 結 論

針對現階段磁屏蔽性能理論計算存在的不足,提出了基于RBF神經網絡的磁屏蔽性能理論計算方法。該方法利用RBF神經網絡能夠逼近任意非線性函數的特點,能夠對影響磁屏蔽性能的非獨立參數進行很好地擬合,且只需采用數值法獲取適當的訓練數據即可實現,避免了磁屏蔽性能解析計算繁瑣復雜的理論推導,極大簡化了建模過程。通過對矩形磁屏蔽裝置的磁屏蔽性能進行仿真,結果表明,所提出的基于RBF神經網絡的磁屏蔽性能理論計算方法計算形式簡單快速,與傳統解析法相比,其精度更加接近數值法的求解精度,更適用于工程估算。該方法可以為磁屏蔽性能的理論計算提供一定的理論依據和參考價值。