地轉偏向力的物理實驗及旋轉流體定量分析

王堅紅, 宋 欣, 劉 剛, 朱自強

(南京信息工程大學 a.海洋科學學院; b.氣象災害預報預警與評估協同創新中心, 南京 210044)

0 引 言

對于涉及地球科學的學科而言，地轉偏向力是一個重要概念。 這是一個地球旋轉時才表現出的力，它影響著地球上的大氣、海洋、河流以及地球外型的狀態特征[1]; 更影響著氣體和流體的運動規律,也影響著環繞地球運動的物體,如衛星、飛行器、導彈等[2]。 地轉偏向力不同于常見的實際力,如推力、拉力、壓力，它是一個虛擬力又稱慣性力[3-4]。它的確認是通過地球上運動物體在實際力作用下運動形態與實際力的匹配有偏差,尤其是方向的差異與變化，從而認識存在一個伴隨地球旋轉運動的慣性離心力[5]，其作用效果是可見的并遵循一定規律。

地轉偏向力是地球旋轉產生的力，其效果是大范圍非局地現象。 由于人們個體相對于地球十分渺小，以單獨視野日常體會去觀察和理解地轉偏向力有一定難度，因此形成地轉偏向力概念成為教學難點。 為介紹地轉偏向力的概念，已有各種形式的地轉偏向力描述，有文字與圖示[6-7]，也有動畫或短視頻，但是多為框架圖像或定性圖像的動態演示。如果定量、實驗性地展示地轉偏向力，將提供直觀體驗，和數字比較,有望產生更佳效果。 尤其是地轉偏向力的效果主要是當旋轉與直行兩種運動合成時才顯現出的特定現象，實驗室的實驗具有模擬分項運動與將運動合成的能力，對地轉偏向力原理與機制的展示將具有高于自然環境的優勢。

本文通過流體旋轉平臺物理實驗及其結果分析，介紹地轉偏向力在簡化的大氣海洋理想環境下的作用效果，介紹不同旋轉運動及其運動坐標系，為豐富現代地球物理實驗內容，有效改善理論教學效果，提供有意義的參考。

1 實驗設備

1.1 流體旋轉平臺

進行地轉偏向力效果實驗的設備為流體旋轉平臺，其基本結構如圖1所示。

(a) 旋轉平臺外觀(b) 平臺控制界面

圖1 旋轉流體實驗平臺

流體旋轉平臺由3個主要部分組成，①電動機控制的機械旋轉轉臺，可以做順時針和逆時針兩種旋轉; ②鋼化玻璃水槽，有不同直徑的圓形水槽和不同尺寸的方形水槽; ③上部直行電動機機械鋼架，電動機控制可以進行沿轉臺半徑往復的兩種方向直行。該旋轉平臺可以分別進行旋轉運動與直行運動，也可以做旋轉與直行的疊加運動，即模擬地轉偏向力的運動。圖1(b)顯示了轉臺運動的控制與調試界面，旋轉平臺的控制有轉速與旋轉方向兩個可調節參數，而后續的參數則確定直行電動機的運行方向與快慢。

1.2 旋轉平臺坐標系

采用攝像機進行轉臺運動的記錄，便于實驗中的連續圖像記錄和實驗后的回放以及圖片的選擇及定量記錄。攝像機的安置以及對轉臺運動的觀察角度確定了不同的運動坐標系。一臺攝像機安放在水槽上方，隨轉臺一起同步轉動，可以從上方記錄轉臺水槽中染色水體旋轉形態，如圖2所示。

圖2 旋轉平臺方形水槽旋轉流體環形形態

圖2顯示當僅有旋轉運動時,流體形成嵌套的環狀流動。這樣的流體運動記錄坐標系相當于地球中心坐標系。坐標中心是地球軸，地球大氣繞著地球軸旋轉，在中高緯度形成西風帶[8]。接近地軸的是極區，遠離地軸的是低緯度。 因此旋轉平臺實驗顯示的環形流動,就類似于理想化的大氣極地渦旋,因為此時沒有直行運動疊加， 渦旋呈正圓形。坐標系反映的水平區域相當于氣象上的極坐標圖。

另一個坐標系是將攝像機放置在轉臺平面上，流體水槽的一側，如圖3 所示。這是一個小型無線攝像機，避免了在隨轉臺坐旋轉運動時，由電源線引起的影響與干擾。這臺攝像機可以記錄旋轉流體在水槽中側面的運動形態。攝像機確定的坐標系與旋轉水槽平行，坐標系反映的垂直區域相當于氣象上的柱坐標圖。

第3個坐標系由固定在水槽槽壁邊緣的防水攝像機確定，如圖4所示，記錄旋轉流體垂直方向上的狀態。這也是一個小型無線攝像機，可以記錄水槽中染色流體的運動軌跡。攝像存儲在可移動存儲器,實驗后可從攝像機中取出。

圖3 位于旋轉平臺上的攝像機

該攝像機不僅隨水槽旋轉，并且攝像范圍接近水面，拍攝圖像清楚，能較好地記錄直行與旋轉兩種運動

(a) 無線攝像機(b) 配套遙控器

圖4 固定在水槽壁邊緣的攝像機

的合成效果。而第1個攝像機距離水槽水面較遠，攝像范圍較小，對水槽邊緣部分拍攝不到，因此對兩種運動合成的地轉偏向力效果的記錄，有一定局限性。 位于水槽邊壁的攝像機較好地跟拍了旋轉流體基本特征，攝像機確定的坐標系類似于氣象上的局地坐標系，可以跟蹤旋轉流體系統的運動。

2 實驗方案設計與實驗參數

2.1 實驗方案

依據實驗條件與地轉偏向力對環境的響應，確定了幾種系列實驗: ① 旋轉平臺的旋轉速度，設計3種不同轉速；② 實驗水槽的水深變化，提供2種均勻水深，以及3種非均勻水深；③ 地轉偏向力效果，包括不同水深,不同轉速,以及雙向直行的配置；④ 攝像觀察的角度、正上方、側面和表面等。

進一步地,為能夠定量描述流體運動的軌跡與進行物理量計算,實驗前在轉臺的水槽底部鋪設了兩維直角坐標網格，網格精度為10 cm×10 cm(見圖5)，這樣可以定量地確認 和記錄水槽內流體的運動特征。

圖5 旋轉平臺水槽配套兩維坐標底圖

表1列出了實驗設計參數分類。

表1 旋轉平臺實驗設計方案

2.2 轉臺與橫桿速度

實際轉速公式為：

v實際=電動機極對數×60×輸入頻率值×齒輪數

實際轉速并非控制平臺界面上輸入的轉速v0，橫桿移動的速度也只給出了步進電動機的頻率和脈沖，因此對橫桿速度和轉臺速度需要進行測算和標定,從而獲得旋轉平臺物理速度與單位，見表2、3。

表2 轉臺速度的測算與標定

表3 直行橫桿速度的測算

2.3 流體示蹤

流體實驗中的示蹤劑通常使用墨跡或細線。使用彩色細線的實驗顯示細線長度有限，流動顯示區域小,并且流態表現不夠清晰。使用墨水示蹤，雖然墨水在流體中會擴散，但在實驗的幾min內擴散效果對流體形態的表現影響不大，尤其使用單點墨跡顯示，對質點運動軌跡表現較為清楚，示蹤效果滿足實驗要求。特別地通過液體黏度實驗[9]確定了通常墨水的黏度大于清水的黏度，因此可以在有效時間內保持墨水痕跡，顯示水體的運動形態。 同時墨水的黏度隨溫度的升高逐漸減小，并隨溫度的升高其黏度與水體的黏度差也逐步減小，即環境溫度和水溫越高，墨水擴散加快，所以根據實驗結果，水溫在10～15 ℃的條件下,墨水示蹤效果較理想。

實驗還發現，采用方形水槽進行實驗，當轉臺旋轉時，在水槽邊緣尤其是4個直角區域內會產生較明顯的湍流，促使墨跡快速擴散，并影響到水槽內部流動形態的變形。因此選用圓形水槽，水槽中流體運動與圓形邊壁相符合，墨跡旋轉運動過程中邊壁處湍流不明顯，墨水運動軌跡較清晰。因此采用圓形水槽進行實驗。

3 實驗結果分析

3.1 地轉偏向力效應

地轉偏向力效應是旋轉平臺的旋轉運動與沿著平臺上安置的經圓臺直徑的直桿往復運動兩者的疊加效果。墨跡顯示的是兩種運動的綜合流態。

(1) 不同轉速效果。將水槽水深設置為5 cm，當轉臺轉速為20 r/min,并疊加直線運動時，流體運行效果墨跡顯示如圖6所示。

(a) 流形軌跡(b) 軌跡走向標注

圖6 旋轉運動與直行運動疊加的地轉偏向力效果演示

圖6顯示的實驗運動過程為直行電動機攜帶墨跡從轉臺邊緣向中心運動,到中心后再返回邊緣。這樣的運動在實驗參數確定的環境中其軌跡為圓弧形態. 并有2個嵌套圓環。整個軌跡由三部分組成: ① 墨跡從轉臺水槽邊緣向水槽中心運動，在直行與旋轉兩個運動分矢量的疊加下,墨跡以圓弧形軌跡向水槽中心趨近。這與低緯度天氣系統如臺風等從低緯地區向中緯度移動時常常具有弧形路徑類似。② 墨跡到達轉臺中心區，由于此時機械電動機須將向中心的直行路徑轉成反方向,即從中心移向邊緣，在此階段,墨跡在中心區的直行停滯,而平臺的旋轉持續，因此墨跡軌跡在中心區形成一個繞中心的墨跡圓。③ 墨跡從轉臺中心區向水槽邊緣運動，在直行與旋轉兩個運動分矢量的疊加下,墨跡以圓弧形軌跡向水槽邊緣移動。這與高緯度天氣系統如氣旋、鋒面等從高緯地區向中緯度移動時常常具有弧形路徑類似。因此這項實驗顯示了地球上的天氣系統在不同緯度帶之間的移動是弧形路徑。

進一步地測試不同轉臺轉速10、15 r/min,與20 r/min實驗對比，獲得旋轉流體流形如圖7所示。圖7顯示，當轉臺轉速較小為10 r/min時(見圖7(a))，渦旋直徑較大為15 cm，墨水擴散較快，計算出的渦旋移速也較慢(為渦旋中心移動速度)，僅為3.4 mm/s；而轉臺轉速20 r/min時(見圖6(a))，渦旋直徑較小為12 cm，渦旋移速增大為5.8 mm/s。而圖7(b)速度15 r/min，介于20和10 r/min之間，渦旋直徑為14 cm，渦旋移速也介于兩者之間為5.0 mm/s。同時圖7還顯示速度慢,渦旋容易擴展變形。

(a) 10 r/min(b) 15 r/min

圖7 不同轉速的地轉偏向力效果演示

圖8的側面圖像顯示旋轉中,流體表現為層狀,速度增大對應分層層厚減薄，因此速度與分層層厚成反比。

(a) 10 r/min(b) 20 r/min

圖8 旋轉流體不同轉速的側向特征

(2) 不同水深效果。圖9為固定轉臺轉速為15 r/min時，取不同水深的實驗結果。當水深增加后，渦旋發生形變，渦旋的移動速度由5.0 mm/s增加到5.8 mm/s，并且渦旋的直徑由14 cm增加為28 cm。實驗顯示渦旋在深水中更容易擴展。

(a) 水深5 cm(b) 水深8 cm

圖9 轉速15 r/min下不同水深的實驗

當轉臺轉速增加，固定為20 r/min時，改變水深，效果如圖10所示，當水深由5 cm增加到8 cm時，渦旋直徑由12 cm增加為16 cm，渦旋變形不顯著。但是渦旋移動速度由5.8 mm/s減小為5.1 mm/s。顯然，大轉速維持了渦旋形態，而水深則干擾渦旋的維持。

(a) 水深5 cm(b) 水深8 cm

圖10 轉速20 r/min下不同水深的實驗

(3) 非均勻水位效應。對非一致水深的環境進行簡化模擬。 在水槽下方的一側墊一塊木板，將水槽一側抬高，模擬出水深在空間的深度變化 如圖11所示。

① 非均勻水深不同轉速。實驗設置兩組測試，兩組測試中水槽非均勻水深均為一側6.1 cm，另一側3.8 cm，結果如圖12所示，圖中圓形水槽外有坐標紙的一側(圖右上角)為墊高的一側，也是水位淺的一側。

圖11 非均勻水深實驗環境概況

(a) 10 r/min(b) 15 r/min

圖12 非均勻水深的兩種轉速對比

與圖11相比，當水位不等時，兩種轉速下， 渦旋均發生形變，且渦旋中心偏離轉臺中心，渦旋整體偏向深水一側。此時渦旋的移動速度相對于圖11的均勻水深5 cm的5.8 mm/s有所減慢，分別為5.04 mm/s和5.06 mm/s，且渦旋尺度均有增加。速度大則對應渦旋尺度更大。將實驗結果綜合列表見表4。結果顯示，在非均勻水深條件下,轉速影響渦旋尺度與移速。即地轉偏向力的作用更顯著,其影響增強。

表4 不同轉速下確定的非均勻水深與均勻水深渦旋特征對比

② 確定轉速下不同的非均勻水深。取轉臺轉速為15 r/min，對比不同的非均勻水深實驗，如圖13所示，當非均勻水深逐漸減小時，渦旋尺度形變更為顯著，且渦旋尺度增加，而渦旋中心移速變化不明顯。實驗顯示，非均勻水位的淺水易造成墨跡軌跡變形,及尺度伸展。偏向力作用更明顯。

(a) 6.1～3.8 cm(b) 5.0～2.8 cm

(c) 4.1～2.0 cm

3.2 墨水軌跡的渦度特征

渦度可以描述流體的旋轉強弱程度。由于地轉偏向力的效應，實驗中墨水的軌跡表現出流體渦旋形式。通過計算軌跡的渦度可以定量認識墨跡形成的軌跡在偏向力作用下的旋轉強度。選取水深為5 cm，轉臺轉速為20 r/min的地轉偏向力實驗進行墨水軌跡的渦度計算，定量認識在確定參數的轉臺旋轉過程中，由墨跡顯示的流體旋轉特征的演變,也定量反映了地轉偏向力強弱的空間分布特征。

(1) 渦度及計算。渦度是一個三維矢量，其定義是速度場的旋度。在氣象學應用中，一般只考慮渦度的垂直分量，即圍繞垂直軸旋轉的渦度分量，其垂直渦度等于相應角速度的2倍，流體的角速度并不是整體一致的，平均渦度是平均角速度的2倍。對于旋轉水槽中墨跡顯示的流體流動是相對于旋轉中心的旋轉與沿圓半徑直行的運動疊加，其旋轉中心為轉臺中心，這個流體實驗中也僅考慮渦度的垂直分量，因此,墨跡線的角速度為[10]

ω=v/R

(1)

式中：v為軌跡上某點的線速度；R為軌跡上該點的圓半徑,即該點距離轉臺中心的距離。對應的垂直渦度,即水面上軌跡流形的渦度為

ζ=2ω

(2)

渦度單位為s-1，因此墨跡流形的渦度計算需要首先獲得沿墨水軌跡各點的R和v。

(2) 墨水軌跡的數值提取。墨跡上線速度利用某點示蹤墨水的位置時間變化來計算[11]:

v=Δs/Δt

(3)

式中：Δt為時間間隔，可取單位時間，如1 min; Δs為時間間隔兩端的兩個時刻同一墨點移動的距離。

由于移動的墨點在圖像中易于辨識，所以對實驗中錄制的視頻進行墨跡時間與位置分析。具體的操作方法為，對視頻作每24幀截取。通常1 min有24幀圖像，并且圖像上也有時間記錄，易于計算出單位時間。將截取的各時刻照片保存到文件夾中，這樣獲得單位時間間隔的圖像。然后通過確認相鄰兩張照片的墨水位置的變化來計算墨點的瞬時速度v，進而計算出對應的渦度，計算通過Matlab編程進行。墨點的位置通過轉臺水槽配置的坐標圖獲取,坐標系如圖5所示。坐標軸的方向如圖中黃色箭矢及坐標數據的符號所示。

(3) 墨點位置確定。由于攝像機拍攝的實驗照片相對于實際實驗環境有變形[12]，近攝像機鏡頭的部位偏大，遠離部位則偏小，因此在讀取墨點位置時不能直接依據坐標系讀數，需通過網格標定的方法對實驗所拍攝的圖像進行軌跡讀數。具體做法為分別量出實際環境中各網格點之間的距離、縱橫坐標軸長度等，并用此實際距離與拍攝圖像中的坐標軸長度和網格點間距計算比值，獲得縱橫坐標軸以及各網格的對應比值系數，就是通過比值對圖像中的數值進行標定，再通過比值系數讀出圖像中的墨跡質點的數值坐標。 以此標定方法可以消除由于攝像機拍攝照片的變形所造成的質點位置偏差，可以更加準確地記錄旋轉流體質點的位置，能更準確地刻畫出流體真實軌跡特征。

(4) 墨點軌跡渦度特征。讀取墨跡點的坐標值后，根據前述流體渦度計算式(1)～(3)，可以得到流體軌跡在運動各階段的對應渦度。對幾種實驗環境下的墨跡進行渦度計算。

① 轉速20 r/min墨跡渦度。對水深5 cm,轉速20 r/min的地轉偏向力實驗進行渦度計算,結果列于表5。

表5 實驗1中墨跡移動過程渦度分析

實驗過程中，前16 s無直行運動疊加，為旋轉運動使墨跡沿水槽邊緣旋轉成圓，沿半徑向中心的直行從第17 s開始。17 s后，隨著向中心的直行運動，旋轉半徑減小,偏向力的作用增強，形成的渦度逐漸加強。到27～41 s期間直行運動停止，此時墨跡隨著轉臺旋轉，墨跡渦旋閉合形成，渦度增加到最大,墨跡的軟跡半徑為10.7 cm。42 s時，直行開始向反方向運動，即自中心向轉臺水槽邊緣運動，此階段旋轉半徑逐步增大，墨跡弧度減小，渦度減小。過程中渦度最大為0.9 s-1與最小0.2 s-1變化幅度在0.7 s-1

② 轉速10 r/min墨跡渦度。為了定量認識旋轉速度的作用，對于實驗1相同條件，取轉臺不同旋轉速度10 r/min，計算墨跡的渦度，渦度列于表6。

實驗2中視頻錄制的第10 s時，轉臺開始旋轉；24 s時，沿半徑向中心的直行開始，在偏向力的作用下，墨跡的弧度加大即軌跡渦度逐漸增加；34 s時直行停止，此時墨跡隨著轉臺旋轉，形成閉合渦旋，渦旋半徑尺度為12 cm，在中心區加速旋轉，其渦度持續增加。52 s時，直行開始相反方向運動,即從轉臺中心向邊緣運動，墨跡弧度減弱，渦度減小。

表6 實驗2中墨跡移動過程渦度分析

對比表5、6，相同的水深，在轉臺中心區，單純旋轉作用下，轉速小(實驗2,表6)，相應的渦度也小，0.827 s-1<0.906 s-1(實驗1,表5)，渦旋的閉合性與圓環形也弱一些,渦旋半徑12 cm>10.7 cm(實驗1)。這與海洋渦旋在深水強度大,在淺水強度相對減弱的實際情況相符。在直行與旋轉疊加過程中，墨跡點的渦度變化幅度在0.6 s-1，其軌跡弧度也弱于實驗1中的軌跡弧度。

③ 非均勻水深環境墨跡渦度。考慮非均勻水深的實驗3，實驗中轉臺轉速為15 r/min，水深為4.1～2 cm。

此實驗過程中，總體趨勢與前兩個實驗類似，直行從第18 s開始，隨著運動向中心趨近，墨跡軌跡的弧度增加，表現為定量渦度值逐漸增加。到27 s時直行停止，此時墨跡單純隨著轉臺旋轉，可是由于非均勻水深，渦度增加不多,最大渦度為0.618 s-1,明顯小于前面實驗中的0.9 s-1和0.8 s-1。在中心區渦旋尺度因向深水一側擴展，尺度較大,半徑為12.4 cm，較前兩個實驗的10.7 cm和12.0 cm要大。37 s時，直行開始反轉方向向邊緣運動，墨跡弧度減弱，軌跡渦度減小。墨跡渦旋向深水一側擴散，與大氣渦旋跨緯度帶的運動特征類似，包圍地球的大氣厚度在熱帶低緯地區較厚，極地地區較薄。這與赤道熱極地冷有關,但近似實驗中的水位一側深,一側淺類似。大氣中臺風從熱帶低緯度向中緯度移動，由于地轉偏向力的增強，大氣層厚的降低，臺風的旋轉渦度是增強的; 而極地冷渦南下，大氣層厚升高，極渦的尺度擴展強度有所減弱。非均勻水深還造成一種現象，墨跡點的移速,在中心區是減速的(表7),而均勻水深的墨跡速度均為增加(表5與表6)，這也是墨跡向深水一側擴展,造成中心區墨跡渦旋變形顯著,降低了墨跡速度。

表7 實驗3中墨跡移動過程渦度分析

4 結 論

通過設計和實施地轉偏向力實驗，在定性和定量兩方面對地轉偏向力效應做出了良好的應證與說明.，總體上可歸納為以下幾點。

(1) 南京信息工程大學自主設計制作的旋轉平臺能夠將旋轉運動與直行運動疊加，驅動轉臺水槽中的水流作合成運動，并采用墨跡示蹤，顯示效果清晰，對屬于虛擬力的地轉偏向力原理學習和解釋，從定性與定量兩方面進行驗證，起到良好效果。

(2) 運用該旋轉平臺的功能，配置不同的觀察坐標系，對具有偏向力的環境進行各類參數變換實驗，定量地認識地轉偏向力的效果，定量地對比各類環境參數的影響效果，并可以從表面和側面多角度獲得量化的深入認識， 擴展了旋轉平臺的科研功能。 通過定性與定量的結合，使運用此設備的系列實驗具有了創新性。對設備的更多完善與更優實驗設計，將進一步提升此類物理實驗的科研能力。

(3) 定量實驗顯示，由于地轉偏向力的作用， 流體系統在赤道與極地間穿越緯帶的運動，取弧形路徑；并且自低緯向高緯，系統旋轉強度增加，渦度加強；自高緯向低緯，系統旋轉強度減小，渦度減弱。 更快的轉速，有利于流型的渦度增大，軌跡的弧形更大些，側面觀察到系統垂直層化更薄；高水位則有利于系統擴展；非均勻水深易造成旋轉系統變形，向深水位區拓展。