離散傅里葉變換泄露及其加窗抑制仿真實驗設計

宋立新， 孫東梓， 安佳星， 馬 帥， 章亞書

(哈爾濱理工大學 電氣與電子工程學院， 哈爾濱 150080)

0 引 言

在離散頻譜分析中，提高其速度和精度一直是數字信號處理應用中的追求目標。為了減小頻譜分析誤差，對泄露機理和抑制算法的研究已取得了較好的成果[1-2]，使離散傅里葉變換(DFT)和頻譜分析在機械工程等各個領域中有了更多的應用[3]。

離散頻譜泄露和抑制的分析，是數字信號處理學習過程中的重點和難點。學生對泄露和抑制機理難以理解和掌握。因此，本文以正弦與非正弦周期信號為對象，設計了基于GUI的頻譜泄露及抑制的仿真實驗平臺。該仿真實驗平臺可同時完成頻譜泄露和加窗抑制兩個實驗。學生通過平臺界面的操作，改變參數，掌握泄露產生以及加窗抑制泄露原理，明晰對實際工程信號DFT應采取的措施。通過實驗和結果的直觀分析，學生能更好的掌握DFT原理，提高其在實驗中的積極性，以及分析和解決問題的能力。該設計為DFT實驗教學提供了有效和實用的實驗平臺[4-5]。

1 泄露與加窗抑制原理

(1)

式中,T為等間隔抽樣采樣間隔。

當用DFT對模擬信號做譜分析時，在嚴格滿足抽樣定理和無噪聲的情況下，頻譜是不會產生混疊失真的，但由于DFT是針對有限長序列的，對信號的時域進行截斷(信號x(n)與對稱窗wN(n)相乘)，即：

xN(n)=x(n)wN(n)

(2)

此時，時域相乘則頻域做卷積，即：

*WN(ejω)

(3)

式中，XN(ejω)=DTFT[xN(n)]表示截斷后序列的頻譜。

xN(n)離散傅里葉變換與XN(ejω)關系為:

(4)

與未截斷相比，截斷后信號譜線展寬了，頻譜就不只存在于信號頻率f一點處，它以f為中心擴散到兩邊的頻帶中去了。頻譜泄露的產生使得頻譜的范圍增大，達到折疊頻率fs/2時(其中fs為采樣頻率)，同樣會造成頻率的混疊失真。對于周期信號，當采樣間隔是周期的整數倍時(也稱同步采樣)是不存在頻譜泄露的，這是因為產生泄露的頻譜抽樣點恰好幅值為零。由于實際采樣很難達到同步采樣，泄露頻譜就會使頻譜分析產生誤差[6]。同步采樣下的頻譜如圖1所示，非同步采樣下的頻譜如圖2所示。

為了減輕截斷效應，有以下兩種方法。①采用緩

圖1 同步采樣頻譜

圖2 非同步采樣頻譜

變性的窗函數，使窗的旁瓣幅度更小，這樣譜間串擾就大大減少了。②需加大窗寬，則采用截斷長度更長，使主瓣更窄，泄露就可以降低了[7]。

對于諧波信號進行離散頻譜分析時，如采樣非同步，無論加哪種對稱窗函數，其頻率、幅值以及相位都有可能有誤差。但是采用不同的窗函數，由于其旁瓣的衰減特性不同，對頻譜泄露有著不同的抑制效果。

2 實驗平臺組成

該實驗平臺由兩部分組成，分別為頻譜泄露分析平臺和泄露抑制仿真平臺，而泄露抑制仿真平臺包括窗函數性能對比及加窗抑制的頻譜分析，整個實驗分析以正弦和非正弦周期信號為對象，系統實驗平臺的功能組成如圖3所示。

圖3 系統平臺組成

該實驗平臺中，頻譜泄露分析平臺可同時產生同步采樣及非同步采樣波形；泄露抑制仿真平臺中，窗函數性能對比界面即完成矩形窗，漢寧窗，海明窗，布萊克曼窗4種窗函數的傅里葉變換對比；加窗抑制界面則顯示在不同窗函數下輸出FFT變換后結果，展示其對泄露不同的抑制能力。

3 仿真實驗

本實驗平臺的泄露分析界面由參數輸入、波形顯示及分析結果顯示等窗口組成，實驗模擬信號采用正弦或非正弦周期信號。在輸入窗口輸入信號諧波參數、采樣點數以及采樣頻率。其中信號頻率成分可設置為單一頻率或多頻，設置完成則可點擊“結果分析”。

對于頻譜泄露分析實驗，信號參數設置好后，當設置采樣點數N一定，采樣頻率1與采樣頻率2分別設置為與信號頻率f相同步(即滿足f=kfs/N，k為整數)或不同步(f=kfs/N，k為非整數)時，則可在波形區域，觀察同步與非同步采樣的對比結果。從同步和非同步DFT諧波信號的幅頻特性對比，可以分析頻譜泄露的對DFT分析結果的影響。以諧波信號x(t)=sin(2π5t+20π/180)為例，設采樣頻率15 Hz，采樣點數N=30時，則為信號的整周期采樣(采樣同步)，對應DFT譜線與窗的譜峰重合，不產生頻譜誤差；采樣頻率16 Hz，采樣點數N=30時，則為信號的非整周期采樣(非采樣同步)，DFT譜線與窗的譜峰不重合，產生譜線誤差。在GUI下的用戶界面設計如圖4所示。

圖4 GUI用戶界面泄露分析結果

泄露抑制的兩種方法一種是加大窗寬，另一種則為采用緩變型窗函數。本實驗平臺的泄露抑制仿真界面由兩部分組成，一為不同窗函數的傅里葉變換特性對比，二為不同窗函數下的頻譜泄露的抑制。

窗函數[8]性能對比界面，由參數輸入窗口，窗函數幅頻特性對比組成，窗函數的傅里葉變換特性如圖5所示。

圖5 窗函數傅里葉變換特性

加窗的頻譜泄露[9-12]抑制界面，由參數輸入窗口，窗函數選擇菜單(包括漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗)，波形顯示窗口以及頻譜分析窗口幾部分組成。以通過GUI 生成以下非正弦信號為例：

x(t)=sin(2π50t+10π/180)+0.5sin(2π150t+

20π/180)+0.25sin(2π250t+30π/180)+

0.125sin(2π350t+40π/180)

這里僅展示矩形窗與漢寧窗對比進行仿真實驗[13-16]，采樣點數N為32點，采樣頻率fs為800 Hz的同步采樣下仿真結果如圖6所示，采樣頻率為820 Hz的非同步采樣下仿真結果如圖7所示。

圖6 同步采樣仿真結果

圖7 非同步采樣仿真結果

學生在實驗中，也可選擇其他參數。當上述非正弦信號加布萊克曼窗，采樣頻率為1 049.18 Hz，采樣點數N=64點時，其加窗DFT分析結果如表1所示。

表1 加布萊克曼窗的泄露抑制結果

對于多頻率成分的信號，根據表1中數據，頻譜泄露的幅值最大誤差達到33.60%(7次諧波)，而加布萊克曼窗進行泄露抑制的結果，幅值平均誤差下降為2.58%，與未進行泄露抑制時的誤差相比，得到了極大的降低。

通過圖7采樣參數設置的實驗，也可以對比看出不同的窗函數，其頻譜主瓣對DFT的頻率分辨率的影響。為此，漢明窗至少采樣非正弦信號的兩個周期，布萊克曼窗至少采樣3個周期，而矩形窗采1個周期就可以。

通過泄露及加窗抑制實驗，學生能夠快速掌握不同窗函數對泄露抑制的效果，同時也驗證了實驗平臺在DFT泄露及其加窗抑制實驗上的有效性。

4 結 語

(1) 采用GUI操作界面的對比性實驗平臺，可有效地揭示頻譜泄露和加窗抑制的機理。實驗過程中，學生可自行更改參數設置，進行不同條件下分析結果對比，方便問題的發現與解決，實驗效率得到了較大的提升。

(2) 實驗中以工程實際的正弦和非正弦信號為對象，加深對窗函數頻譜主瓣對頻率分辨率影響的理解；便于訓練學生根據指標需求，選擇采樣參數和窗函數。

(3) 該平臺設計，加強了學生在數字信號處理中關于DFT頻譜分析難點問題的理解，對提升學生的動手操作與科學實驗的能力有著重要作用。