社會網分析案例在線性代數中的應用探索

汪麗娜 龐晶

摘要：線性代數的實際應用是傳統教育方式中的薄弱環節。文章提出將社會網絡分析案例引入非數學專業線性代數的課堂中。通過小組討論的形式用矩陣代數的方法分析真實社會網絡的一些性質，強化學生對線性代數概念和原理的理解。在線性代數課堂中，分析真實的社會網絡，需要教師進一步提高教研能力。

Abstract： In traditional teaching of linear algebra， its widely application is weakness. Implementing case method in linear algebra teaching is presented in this paper. In order to adapting each majors difference， social network case is the preferred one. In the form of group discussions， some properties of real-world social networks are analyzed by matrix algebra. This can strengthen the understanding of the concept and principle on linear algebra. Analyzing real-world networks in linear algebra teaching， teachers need to further improve the teaching and research abilities.

關鍵詞：案例分析；線性代數；社會網絡

Key words： case methods；linear algebra；social network

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）17-0191-02

0 引言

線性代數是高等學校理、工、經、管等學科的必修課，其思想、理論、方法已經滲透到科學、技術、工程、社會、人文等領域。文章提出將案例分析法引入線性代數的課堂中，為了適應各專業的背景差異，采用社會網分析案例。

1 線性代數案例法的必要性

1.1 線性代數的課程特點

一方面，人類所研究的問題越來越復雜，規模越來越大，將變量間的復雜關系線性化使得線性代數成為解決大規模線性問題的有力工具。另一方面，計算機領域的快速發展，推動和促進了線性代數的應用。線性代數成為理、工、經、管等各專業的必修課，其地位與高等數學相當。

線性代數研究線性科學中的線性問題，其主要內容是線性方程組、矩陣代數、向量空間，以及與線性變換密切相關的方陣的特征值和二次型這種線性空間之間特殊的雙線性函數等[1]。線性代數的特點是：概念多、定理多、內容抽象，前后聯系緊密。

通過課程的學習培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力；同時，教授給學生一種有用的運算方法和工具，為后續的專業課程的學習打下基礎。理論、計算和應用是線性代數的三個基本組分。雖然其實際應用非常廣泛，但是卻是課堂教學中的一個薄弱環節，常常因其抽象而不能引起學生的學習興趣。

1.2 現有課堂教學存在的問題

現行的線性代數課堂教授形式多采用傳統方式，側重于數學方法和技巧的講授，缺乏實用性和趣味性。內容層次上多遵從概念->定理->例題->習題的模式，與專業課聯系不緊密[2]。

清華大學學習發展中心對線性代數學習情況的調研[3]顯示：55%的學生想學好線性代數但效果不明顯；66%的學生認為線性代數的概念抽象，理解不到位，難以得到全面的認識。因此，一些學生失去了學習線性代數的興趣。調研情況顯示學生對于理解線性代數的思維模式，為什么學習線性代數，以及線性代數的現實應用等方面比較感興趣。案例法恰好可以提供線性代數生動的應用背景。

1.3 案例法的特點

案例是為了一定的教學目的，圍繞選定的問題，以事實為素材編寫的對某一實際情境的客觀描述[4]。案例來源于真實生活，具有代表性和啟發性。案例法要依據一定的目的，在教師指導下，由學生討論和分析案例，得出解決問題的方法，做出相應的決策。

案例分析過程中，學生是主體，教師處于從屬地位。與傳統課堂講授方式相比，案例法能夠鍛煉學生的應變能力和應用能力。通過案例分析，學生分析問題的能力得到提高，同時加深了對基本概念和主要理論的理解、掌握與運用。案例法有利于培養學生的自主性和思辨性，提高創造性學習的能力。

2 社會網分析案例法的可行性

2.1 社會網分析

將社會環境中的個體抽象為節點，將個體間的關系抽象為節點間的連邊，形成社會網絡結構。個體既可以指具體的人，也可以指某個群體、組織或單位。個體間的關系根據研究的需要而確定，其種類多種多樣。比如，人與人之間的合作關系、國家之間的貿易關系、論文之間的引用關系等等。社會網分析研究不同個體所構成的關系的結構及其屬性，它是研究社會結構的一種觀點和方法。

社會網分析強調網絡結構對社會現象的解釋，個體的行為會影響關系的產生或斷裂，使得網絡結構發生變化，進而影響集體的行為。因此，社會網分析中，微觀層面的個體分析可以解釋宏觀的社會現象[5]。矩陣和代數是描述和分析社會網的最基本方法之一。例如，矩陣可以表達和存儲社會網絡中的個體以及它們之間的聯系。此外，運用矩陣的乘法可以研究個體的中心性以及個體間的可達性。圖1是一個經典的社會網絡實例：Zachary空手道俱樂部成員關系網[6]。（a）是表征俱樂部成員關系的有向圖，一共34個節點，78條邊；每個節點代表俱樂部中的一位成員，連邊表示他們的朋友關系。（b）是（a）圖中的5號節點和它的鄰居們構成的子圖的鄰接矩陣，其中元素aij=1表示節點vi有邊指向節點vj。

2.2 適用專業廣泛

社會網分析是社會學家依據數學、計算機等發展起來的定量化分析方法，它在社會學、人類學、心理學等領域有廣泛的應用。取材于生活中社會現象的社會網絡案例，易于教師的認知和學生的理解。如前所述，線性代數是理、工、經、管各專業的必修課，如果要求數學教師依據各個專業的背景提供合適的案例，現階段并不可行。社會網絡案例具有廣泛的適用性，可以用于以上各專業的學生學習和討論。

2.3 案例易于獲取

2000年，中國學者開始接觸社會網分析。經過多年的發展，社會網分析已經成為重要的研究思想，涉及知識管理、信息傳播、社會資本等各個領域。研究者們將大量的真實社會網絡數據發布在互聯網上供研究愛好者免費使用。例如，Ucinet數據集，Pajek數據集，LinkedSci數據集等。教師可以依據教學目的、內容，參考學生的學習接受能力，選取適合的社會網絡用于案例分析的實踐。

2.4 可視化與可測量

社會網分析軟件Gephi、NetDraw和Pajek提供了較好的可視化圖形，根據社會網絡鄰接矩陣可以生成相應的社會網絡圖，學生可以形象直觀地了解網絡的結構和變化。此外，Ucinet軟件提供了較強的分析計算網絡的工具，其第六版可以免費下載使用。

3 社會網分析案例法的實施措施

3.1 學時安排

考慮到線性代數現有學時數的限制，案例法不宜安排過多學時，在講授矩陣代數等基本概念時可以使用社會網分析案例。以Zachary空手道俱樂部成員關系網絡[6]作為案例，它是社會學分析領域中最常見的一個小型網絡之一。講授矩陣的定義和線性運算時，引導學生討論如何用矩陣和矩陣的運算表示網絡并分析網絡中個體的重要性。

3.2 課堂組織形式

以小組討論的形式開展案例分析。多給予學生肯定的鼓勵和表揚，調動學生的主動性和參與性，改變重做題、輕應用的學習習慣。引導學生提前了解案例分析的知識準備、前期工作和案例分析的流程，支持學生的發散性思維，表揚好的方面，同時提出需要努力的方向。在線性代數考試中，加入案例分析表現的分數，激勵學生積極參與課堂討論與案例分析。

3.3 存在的障礙

教材缺乏。盡管社會網分析案例非常豐富，但是，現行社會網分析教材更側重于社會學理論，線性代數教材更側重于數學理論，二者結合的教材比較匱乏，更沒有針對線性代數教學用的社會網分析教材。因而，社會網分析案例方法提高了對教師的個人教研能力，同時需要教師投入更多的時間精力。

授課方式沖突。多年來，高校非數學專業線性代數課程的講授以合班和大班為主，上課人數較多，不利于課堂討論模式。以120位學生的大班為例，分組討論的互動形式對教師的課堂掌控能力、學生的自覺性提出了更高的要求。大班授課與分組討論的這種矛盾直接影響了課堂教學的效率，容易讓案例法流于形式，起不到應有的積極作用。

教育設施不足。為了達到較好的授課效果，研討社會網分析案例需要更多的教育資源支撐。案例分析過程中，需要軟、硬件的技術支持。在課堂上，如果學生不能直接動手分析和計算，將使得案例法成為單純地教師對概念和原理的講解，起不到案例分析應有的教育效果。

教師和學生的位置轉換適應。從教師講授、學生接受的傳統方式，轉換到學生主動分析、教師輔助引導的案例分析方式，對教師和學生的適應能力都是考驗。尤其，如果學生在案例分析過程中遇到困難，教師很容易返回到傳統教育中教師主導的狀態。此時，案例不能起到拓展學生發散性思維的效果。

參考文獻：

[1]鄧輝文.線性代數[M].北京：清華大學出版社，2014：1.

[2]黃玉梅.非數學專業線性代數實踐性教學研究[J].西南師范大學學報（自然科學版），2010（6）：201-205.

[3]http：//www.sojump.com/viewstat/1997178.aspx.

[4]張家軍，靳玉樂.論案例教學的本質與特點[J].中國教育學刊，2004（1）：48- 50.

[5]羅家德.社會網分析講義[M].北京：社會科學文獻出版社， 2005：10.

[6]Zachary W W. An information flow model for conflict and fission in small groups[J]. Journal of Anthropological Research， 1977（33）： 452- 473.