關于矩陣方程ATX+XHA=B的一般解

王青 朱利剛 陳生安

摘要：本文主要研究了矩陣方程ATX+XHA=B的求解問題，我們證明該方程的解總可以通過矩陣方程ATX+XHA=B的特解和其對應的齊次矩陣方程ATX+XHA=B的解表出。

Abstract： In this paper， we mainly study the problem of solving matrix equations ATX+XHA=B. We prove that the solution of the equation can always be expressed by the special solution of the matrix equation ATX+XHA=B and the solution of its corresponding homogeneous matrix equation ATX+XHA=B.

關鍵詞：矩陣方程；共軛轉(zhuǎn)置；零因子；廣義逆

Key words： matrix equation；conjugate transposition；zero factor；generalized inverse

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）17-0197-03

0 引言

矩陣方程是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，是矩陣最重要的數(shù)字特征之一。1920年，Moore首次給出矩陣廣義逆的概念；1955年，Penrose用方程組給出廣義逆的定義。此后，廣義逆的研究獲得了迅速發(fā)展并逐步應用在數(shù)理統(tǒng)計、最優(yōu)化理論、控制理論等許多領域。目前廣義逆已廣泛應用于求解矩陣方程。近年來，一些學者對應用于機械系統(tǒng)、控制理論的較為典型的矩陣方程進行了廣泛研究和應用，其中包括研究AX-XB=C[1，2]，ATX±XTA=B[3]等矩陣方程分別在有限域和無限域的廣義解的存在性的討論。

本文將在前人研究的基礎上，討論矩陣方程ATX+XHA=B的解的存在性，并得出其一般解的形式。

1 預備知識

記Cm×n為m×n的復矩陣的全體，本文所討論的矩陣均為Cm×n中的矩陣。我們首先介紹一些眾所周知的定義和結(jié)果。

定義1.1 設A∈Cm×n，用A表示以A的元素的共軛復數(shù)為元素組成的矩陣，AH=（A）T稱為A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

易知矩陣的共軛轉(zhuǎn)置運算具有下列性質(zhì)：

①AH=（AT）；②（A+B）H=AH+BH；③（AB）H=BHAH

定義1.2[4] 對任意一個m×n矩陣A，稱下面的四個方程為Penrose方程：

①AXA=A；②XAX=X；③（AX）H=AX；④（XA）H=XA

如果矩陣X滿足第1個條件，稱X為A的1逆，記X=A （1）或A-；滿足全部4個條件的記作A+，并稱A-為減號逆A+為加號逆或Moore-Penrose廣義逆。

定義1.3 設A∈Cm×n，B∈Cn×m，如果AB=0，則稱A為B的左零因子，相應地，稱B為A的右零因子。

命題1.1[5] 設A∈Cm×n，A-∈A{1}，則（A-）T=（AT）-。

2 幾個引理

為研究矩陣方程ATX+XHA=B的解，本節(jié)先給出三個引理，它們都可以在文獻[4]中找到。

引理2.1 設B∈Cm×n，P，Q分別為m階和n階非奇異方陣且PAQ=B，則

A{1}={QB-P|B-∈B{1}}

引理2.2 設A∈Cm×n，當（I-AA-）B=0時，方程AX=B有解，且通解為X=A-B+（I-A-A）Y，其中Y∈Cn×p為任意矩陣。

引理2.3 I-AA-是A的左零因子，I-A-A是A的右零因子。

3 主要結(jié)果及證明

為使表達式簡化，令P=AT（I-（A-）HAH），Q=AH（I-（A-）T）AT。

定理3.1 若矩陣方程ATX+XHA=B有解，則必有

。

證明：若矩陣方程ATX+XHA=B有解，則不妨設為X0，于是ATX0+X0HA=B。

由引理2.3得

定理3.2 若（I-PP-）B=0，則矩陣方程ATX+XHA=B一定有解，且X=（I-（A-）HAH）P-B為它的一個解。

證明：當（I-PP-）B=0時，方程PY=B，即AT（I-（A-）HAH）Y=B有解。由引理2.2知，上述方程的解為Y=P-B+（I-P-P）Z，其中Z∈Cn×n為任意矩陣。因此可以取Z=0，則方程有解為Y=P-B。令X=（I-（A-）HAH）P-B，則由引理2.3有ATX+XHA=B，即X為矩陣方程ATX+XHA=B的解。

為了得到矩陣方程ATX+XHA=B的通解，我們先求其對應的齊次矩陣方程ATX+XHA=0的解。注意到齊次方程ATX+XHA=0的所有解可以由下述兩類解的和所構(gòu)成：

（1） 和ATX=-XHA（2）

第一類：對于矩陣方程組（1），X是AT的右零因子，XH是A的左零因子，此時（1）的解為

事實上，由引理2.2知方程ATX=0的解為X1=（1-（A-）TAT）Y1，其中Y1是任意矩陣。又由XHA=0得AHX=0，則其解為X2=（I-（A-）HAH）Y2，其中Y2是任意矩陣。

要求方程（1）的解，需選擇適當?shù)腨1和Y2，使得X1和X2同時滿足方程（1）。

將X1代入式（b）中得AH（I-（A-）TAT）Y1=0，即得QY1=0。由引理2.2得Y1=（I-Q-Q）Z1。

將X2代入式（a）中得AT（I-（A-）HAH）Y2=0，即得PY2=0。由引理2.2得Y2=（I-P-P）Z2。其中Z1，Z2是任意的矩陣。 因此得到方程（1）的解為：

。

第二類：對于矩陣方程（2），X雖不是AT、AH的右零因子，但是ATX=-XHA，此時

由此我們得到下述定理3.3。

定理3.3 矩陣方程ATX+XHA=0有如下形式的解：

其中Z1，Z2為適當矩陣，Y為任意的滿足運算的矩陣。

證明：由引理2.3將X代入原方程可得：

所以ATX+XHA=0。

定理3.4 若（I-PP-）B=0，則矩陣方程ATX+XHA=B有如下形式的解：

（3）

其中Z1，Z2為適當矩陣，Y為任意的滿足運算的矩陣。

證明：由定理3.2得，當（I-PP-）B=0時，X=（I-（A-）HAH）P-B是矩陣方程ATX+XHA=B的一個特解。又由定理3.3知當（I-PP-）B=0時矩陣方程ATX+XHA=B對應的齊次方程ATX+XHA=0有如下形式的解：

顯然（3）給出的X滿足矩陣方程ATX+XHA=B；另一方面，矩陣方程ATX+XHA=B的任一解X都可以通過適當選取矩陣Z1，Z2，Y得到，即X總可以寫成

的形式。

如果我們將方程改變?yōu)锳HX+XHA=B，很容易得到下面的結(jié)果。

定理3.5 設A∈Cn×m，B∈Cm×m，I為m×m階單位矩陣，矩陣方程AHX+XHA=B有解的充分必要條件是：

B=BH，且（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0

且在有解的情況下，其通解為

（*）

其中Y∈Cn×m任意的矩陣，Z是n×n的反對稱矩陣。

證明：必要性：若方程AHX+XHA=B有解，設X0為其任一解，

則有AHX0+X0HA=B （☆）

兩邊同時取共軛轉(zhuǎn)置得AHX0+X0HA=BH

因此B=BH

又由（☆）得

故有

充分性：若有B=BH，（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0成立，

則有

因為

所以為矩陣方程AHX+XHA=B的解，即矩陣方程AHX+XHA=B有解。

下證（*）是矩陣方程AHX+XHA=B的通解。

顯然（*）給出的X滿足矩陣方程AHX+XHA=B；另一方面，矩陣方程AHX+XHA=B的任一解X都可以通過適當選取矩陣Y和Z得到，即X總可以寫成的形式。

參考文獻：

[1]殷保群，奚宏生，楊孝先.矩陣方程AX-XB=C非奇異解的存在性[J].中國科學技術(shù)大學學報，2000，30（3）：340-344.

[2]Braden H W. The Equations ATX±XTA=B[J]. SIMA J. Matrix Anal. Appl.，2001， 20（2）： 295-302.

[3]徐龍華.矩陣方程AX-XB=C，AA-A=A解的討論[J].河南科學，2012，30（5）：539-541.

[4]樊趙兵，卜長江.矩陣方程AX-XTB=C[J].大學數(shù)學，2004，20（5）：100-102.

[5]戴華.矩陣論[M].北京：科學出版社，2001.