用數學的眼光觀察世界

張靂 龔健梅

導讀

為了讓學生用數學的眼光觀察世界，張靂老師讓學生經歷從找三角形物體（有形有質，屬性豐富），到用三根小棒拼三角形（有形有質，屬性單一），再到畫三角形（有形無質，無其他屬性）這樣一個過程。學生在不經意間經歷抽象的過程，從而認識三角形，更重要的，在這樣一個抽象的過程中，學會用數學的眼光觀察世界。

史寧中教授說過：數學學習的最終目標，是讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達數學世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是建模。三角形是學生在整個空間與圖形領域很重要的一個圖形。三角形是有形無質的圖形，如何讓學生從生活中的三角形物體中抽象出三角形，如何認識圖形中的抽象概念——高，是“三角形的認識”這節課的兩個難點。讓學生經歷用數學眼光觀察世界的過程，不失為良好的教學突破口。

一、情境導入

（出示金字塔、斜拉大橋圖片。）

師：圖中有三角形嗎？

生：有。

師：指出圖片中的三角形。

（請學生指出三角形。）

師：我非常感謝他，沒有指一個點，而是指出三角形的輪廓，一眼就能看清楚三角形在哪里。很好，掌聲送給他。

師：圖中其實還有更多的三角形，誰來找找看。

（幾個學生比畫出更多的三角形。）

師：生活中還有哪些有三角形，誰能舉個例子？

生：紅領巾、衣架、黑板、路標、古代的建筑、三角旗……

師：其實我們生活中很多地方都有三角形。

（PPT展示紅領巾、三角尺、路標。）

教學反思：本環節在生活中找尋三角形物件，讓學生徜徉在古代與現代之間，感受古代文明與現代生活氣息，喚起學生學習三角形的內驅力，激發學生學習三角形的興趣，初步感知三角形的特點。學生們認真觀察，能手口一致地描繪三角形，積極舉手發言，大膽質疑和補充。當學生誤找角時，給學生更多的鼓勵和肯定，也能給課堂營造輕松愉悅的氛圍。

二、引入新知，擺一擺，畫一畫，說一說

師：三角形居然在生活中有這么多應用，它肯定有奧秘。今天這節課，我們就來認識認識三角形，它到底有哪些妙處？

板書：三角形的認識

師：請同學拿出學具，擺一個三角形。注意擺一個三角形需要什么條件。

（教師指導，各小組合作擺出一個三角形。）

師：請哪一組匯報一下，構成三角形需要什么條件？

生：三條邊、三個角、三個棍子。

師：需要三根棍子，它就需要三條邊，那還需要注意什么？

生：必須連接起來。

師：哪里需要連接起來？拿一個三角形比畫一下。

生：它們每條邊的端點要相互連接。

師：每條邊的端點，因為我們每條邊是線段。我們能擺一個三角形，那能不能畫一個三角形呢？請同學們邊畫邊想，你是怎樣畫這個三角形的？你畫的三角形有什么特點？

（學生拿出筆畫，教師個別指導。）

師：請一個同學上講臺畫一個三角形。

（生在黑板上畫一個三角形。）

師：你覺得哪一筆最難畫？

生：都不難畫。

師：你們覺得哪一筆比較難畫？

生：最后一筆最難畫。

師：最后一筆是哪一筆？請同學上講臺指出來。

師：最后一筆為什么難畫？

生：它要將兩個端點連接起來。

師：是的。我們擺三角形，畫三角形，想一想，到底什么是三角形？哪一位同學能試一試一句話講清楚？

生：有三個角的圖形是三角形。

生：有三條邊的圖形是三角形。

師：有三個角的圖形是三角形，有三條邊的圖形是三角形，好像都對。怎么講才讓人聽得明白呢？那么我們來看看數學上怎么規定。

板書：由3條線段圍成的圖形。

師：而且這三條線段怎么圍呢？

生：端點要連起來。

（PPT出示兩個圖形，一個沒有相連，一個沒有與端點相連而是與線段中間相連。）

師：哪里出現問題？

生：第一個圖形沒有連接起來，就是沒有圍起來。第二個圖形凸出來了。

師：凸出來的意思就是沒有連到端點。所以我們對三角形是有要求的。

板書：每相鄰兩條線段的端點相連，叫作三角形。

（學生把板書讀兩遍。）

師：你們認為這句話哪些詞語比較重要？

生：相連。

師：要注意端點相連。

生：三條線段。

師：就是說三條線段，兩條線段不行。

生：相鄰兩條線段。

（給“相鄰”加著重號。）

生：圍成。

師：對，要圍起來。沒有圍起來就不是三角形。同學們，再讀一遍，把你們找到的關鍵詞語讀出來。

（學生朗讀，并能夠很好地重讀出關鍵詞語。）

教學反思：此環節通過“擺一擺”，進一步讓學生感知三角形的特點，讓學生經歷三角形的第一步抽象，有質有形，其他非本質屬性減少，比如鐵質、木質，顏色等；通過“畫一畫”的操作活動，喚起學生對三角形的回憶，進一步感知三角形的本質屬性；通過“說一說”的活動，真正將三角形抽象出來——由三條線段圍成的圖形叫三角形。

三、認識三角形的各部分名稱，用字母表示三角形

師：我們來找一找三角形有幾個頂點，幾個角，幾條邊？

（教師展示PPT三角形。）

生：三條邊，三個角，三個頂點。

師：三角形顧名思義就是三個角，三條邊，三個頂點。

（學生在練習本上操作。請同學上臺畫三角形，標記出它的頂點、邊、角。學生在圖上標注這些名稱很辛苦，且影響圖形美觀。PPT出示給三角形標注頂點A、B、C。）

師：告訴你們一個好消息，從此你的三角形就有名字了。叫什么名字？

生：三角形ABC。

（教師板書三角形ABC。）

師：請同學們找出三角形的頂點。

生：A旁邊是頂點。

師：不是A旁邊是頂點，是用A表示這個頂點。

（教師板書3個頂點A、B、C。）

師：除了三個頂點還有什么？

生：三條邊。

師：那三條邊怎么表示呢？

（請一個同學指。）

師：那這條邊叫什么呢？

生：這條邊叫AB。

師：為什么？

生：因為它的兩個端點是A和B。

師：很厲害，是這樣的。這樣我們就有幾條邊？分別叫什么？

生：AB、AC、BC三條邊。

（板書3條邊AB、AC、BC。）

師：我們三角形還有最明顯的特點，三個角，誰來找？

（請同學到講臺上用粉筆標出。）

師：這叫什么角？

生：A角、B角、C角。

師：但是我們在數學里面怎么叫？

生：角A、角B、角C。

師：角的符號是什么？用什么表示，誰來比畫一下？

（學生上臺寫∠A、∠B、∠C。）

教學反思：本環節讓學生在抽象出的三角形中認識三角形，推理三角形的圖形特點，建立三角形模型。教師的問題簡單易懂，比如說“三角形有幾個邊，幾個角，幾個頂點”，學生很快就能回答出來。教師適當引導學生說出頂點的名字。從學生畫三角形，到準確標出三角形的頂點，再到給三角形頂點命名，學生學習起來循序漸進，很快掌握了三角形頂點的概念，依次類推，掌握三角形的相關知識。

四、認識三角形的高和底

師：三個頂點，三個角，三條邊，它還隱藏了一個東西，你們猜？

生：高。

師：你們認為誰是三角形的高？

生：從A點到BC的垂直線。

師：你還強調什么？

生：垂直線。

（PPT展示兩個三角形，分別畫了三條垂線段，第一個三角形中是頂點到對邊的垂線段，第二個圖形中沒有從頂點開始。）

師：哪個是高？

生：第一個是高。

師：從頂點A到對邊BC的垂直線段就是高。另外一個是高嗎？

生：不是。

師：一個頂點到它對邊的一條垂直線就叫高。

（PPT展示從三角形的一個頂點到它對邊作一條垂直線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底。）

師：請同學們在自己畫的三角形內畫出一條高。

（學生動手操作。）

師：誰能幫我畫一下？需要什么工具？

生：三角尺。

（請一個學生在講臺上畫三角形的高。）

師：你在畫的同時，能不能告訴同學們你是怎么畫的？

生：從∠A頂點垂直畫線。

師：怎么畫？

生：先用三角尺的一條直角邊與三角形的底邊重合，再平移三角尺靠近對面的頂點，再沿著三角尺的另一條直角邊從頂點開始往底邊畫線。

（老師根據學生的操作及發言板書：1.重合；2.平移；3.畫線。）

師：哪里是高？

（學生一起指出來。）

師：你叫什么名字？

生：×××。

（請學生上臺在黑板上寫上自己的名字，并命名為×××畫高法。）

師：今后畫三角形的高，請記住這位同學畫高所使用的方法。三角形有三條邊、三個角、三個頂點，那么三角形的高有幾條？

生：三條高。

（PPT展示：1.以BC為底，畫BC邊上的高；2.以AC為底，畫AC邊上的高；3.以AB為底，畫AB邊上的高。）

師：以BC為底，哪個是它的頂點？以AC為底，哪個是它的頂點？以AB為底，哪個是它的頂點？

生：以BC為底，頂點A；以AC為底，頂點B；以AB為底，頂點C。

師：有什么發現？

生：頂點所在的對邊是另外兩個點所在的那條邊。

師：誰能講得更清楚？

師：A為頂點，那對邊就是底，頂點也在它的對面。

（同學們動筆畫三角形的三條高。在操作過程中，有學生轉動作業本，這樣每次底邊在下，頂點在上，作高就比較好操作。）

師：大家都畫得差不多了，請一個同學到黑板上來展示（主要看看不能轉動圖形時怎么辦）。

（以左右兩條邊為底時，學生一開始沒能找到放置尺子的方法。比畫了幾次后，師提醒：“一重合是什么與什么重合？”生回答：“是三角尺的直角邊與底邊重合。”她馬上想到先用三角尺直角邊去與三角形的底邊重合，再用另一條直角邊對著頂點，順利完成了作圖。）

師：一重合，二平移，三畫線。這個三角形有三條高，是不是其他三角形也有三條高？

（PPT展示直角三角形作高，用動畫展示三角尺的重合、平移、畫線過程，作出直角三角形的三條高。）

師：發生一件很奇怪的事情？

生：高與三角形的兩條直角邊重合了。

師：還是它的高嗎？

生：是。

師：底在哪里？

生：另一條直角邊。

師：還有更奇怪的事呢。

（PPT展示鈍角三角形的三條高。當作出兩條較短邊上的高時，學生們“啊”了起來。）

師：大家發現，又有什么奇怪的事？

生：這個三角形有兩條高在外面。

師：那還是不是它的高？

生：是的。

師：那這兩條高對應的底在哪？

生：AC和AB。

師：你能來指下嗎？

（學生在黑板上指出AC和AB的位置，沒有包括延長線。）

師：我們發現這些三角形都有三條高。

（PPT再將三種三角形的高總結展示出來。）

教學反思：本環節學生動手操作，在已學的垂直概念的基礎上，引入三角形的底和高。學生獨立、認真思考如何畫出三角形的高，感受三角形的高與底是相互依存的關系，建立高模型，為學習三角形面積的計算奠定基礎。課件展示不同三角形的高和畫法。在展示鈍角三角形的兩條高時，學生能夠很好地找到對應的底邊，沒有出現以往的將延長線也作為底邊的情況，這可能就是用字母表示端點帶來的好處。

五、鞏固練習

PPT展示題目：

（1）由三條（ ）圍成的圖形叫三角形。一個三角形有（ ）條邊，（ ）個頂點。

（2）從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫三角形的（ ）。任意三角形都有（ ）條高。

六、總結

師：這節課有什么收獲？

生1：我知道三角形有三條邊、三個頂點、三個角。

生2：我還知道三角形有三條高，可以用×××畫法來畫三條高。

……

教學反思：整節課，學生都是在動手操作及思考中經歷三角形的抽象、推理與建模過程，從而建立三角形的概念。

（小背景：本節課上課的學生是象山學校的學生。象山學校從2014年提出“學科建設”以來，一直在試行“自主合作+”形式的課堂教學。所以，本班學生在上課前都會進行自主學習，對教材中的概念及例題進行預習。所以，在課堂上學生對于概念是有一定的認識的。教師更多地引導學生經歷抽象、推理、建模的過程。）

（作者單位：江西省貴溪市象山學校 江西省貴溪市教研室）

□責任編輯 李杰杰

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