各學段數學教學中“多米諾效應”模型的運用研究

廣西師范學院 (530001) 周作雄 侯代忠

多米諾效應(DominoEffect)也叫多米諾骨牌效應.它指的是在一個相互聯系的系統中，一個很小的初始能量就可能產生一系列的連鎖反應.“多米諾效應”模型是數學遞推模型體系中的一種.它的核心在于找到很小的“初始力量”(一般位于初始或者結尾)，然后利用多米諾效應所特有的遞推形式進行下推，在這過程中讓學生去體會數學的美，最終的結果使題目變的簡單、容易和有趣.法國數學家帕斯卡說過：“數學這一學科如此地嚴肅，我們應當千方百計地把它趣味化”.研究“多米諾效應”的模型在小學、初中、高中和大學運用的目的，就在于把嚴肅的數學變得有趣，激發學生對于數學學習的欲望，開闊學生思維，培養學生對于數學美的鑒賞能力，最終使得學生的數學核心素養，在解題的過程中得以提升.下面就讓我們來見識一下，“多米諾效應”模型是如何在我們數學生涯中運用的.

一、“多米諾效應”在小學奧數巧算中的運用

例1 (四年級奧數) 巧算加減法99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1.

分析：長長的巧算題目，其實包含著“多米諾效應”模型的影子.通過觀察，我們可以知道，此題目的“初始力量”位于首位.通過將連續的四個數組合在一起，結果恰好等于0，即 99-98-97+96=0,95-94-93+92=0…,7-6-5+4=0.便可快速求解得出答案.過程如下：

99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1=(99-98-97+96)+(95-94-93+92)+…+(7-6-5+4)+3-2-1=0.

小結:“多米諾效應”模型不僅僅可以運用到小學數學奧數巧算中，而且它也可以拓展到小學數學的加減湊整運算中去，同樣也具有簡便性和趣味性.

(2)137+356+565+863+644+435=( ).

二、“多米諾效應”在初中數學平方差公式中的運用

例2 計算：3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1[1].

分析：初中數學平方差公式的學習，也包含著“多米諾效應”模型的影子.通過觀察我們可知,此題目的“初始力量”位于首位.通過構造平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2來解決.雖然沒有(a2-b)，但是我們可以將3進行變形得3=(22-1)，于是題目便可得出答案.過程如下：

3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=264-1-264+1=0.

小結：“多米諾效應”模型既可以運用到初中數學平方差公式的計算中，又可以拓展到初中數學的分數的加減運算中去，同時也可以拓展到大學數學的極限的求解中去.同樣都具有打破定勢思維，增加成就感的效果.

三、“多米諾效應”在高中數列裂項求和中的運用

小結：“多米諾效應”模型不但可以運用到高中的數學平方差公式的計算中，又可以用于數學歸納法的導入教學.它們都具有技巧性和方法的多樣性.

四、“多米諾效應”在大學高等代數行列式中的運用

例4 計算下列行列式

分析：大學高等代數中行列式的學習，同時也滲透著“多米諾效應”模型.通過仔細觀察我們便可發現，此題目的“初始力量”位于開頭.通過按第一行展開便可得到n-1階的形式，然后根據多米諾特性進行遞推，求解.過程如下：

解：將行列式按第一行展開，得Dn=2Dn-1-Dn-2.即Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2,∴Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=…D2-D1=3-2=1.∴Dn=1+Dn-1=…=1+1+…+(1+Dn-(n-1))=(n-1)+2=n+1.

小結：“多米諾效應”模型在大學同樣適用，它既可以運用到行列式計算中，又可以用于矩陣的計算，同時還可以運用到極限的求解.它們同樣具有數學美與能力的提升.

綜上所述，“多米諾效應”模型，廣泛運用于小學、初中、高中和大學中，通過在長長的題目中，找到小小的“初始力量”，使其發生連鎖反應，最終使“萬丈高樓傾倒于前”.在此過程中，讓小學生體會數學的趣味性，激發其對數學學習的欲望；初中生打破思維定勢，從中獲得成就感；開闊高中生的思維，使其解題更具技巧性和多樣性；培養大學生對于數學美的鑒賞能力，使其數學核心素養，在解題的過程中，得以提升.