例析數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種特殊求法

廣東省廣州市從化中學(xué) (510900) 李希勝

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考和競賽的重要內(nèi)容，通過這部分內(nèi)容的教學(xué)可訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.求數(shù)列通項(xiàng)公式需要較多的知識(shí)和較強(qiáng)的能力，常用方法也很多，其中不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法和構(gòu)造法是非常有效的幾種特殊方法.

1.不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)公式

函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)定義：若函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=x有交點(diǎn)M(m,m)，則稱m為函數(shù)y=f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，其運(yùn)算特征是f(m)=m.

數(shù)列是特殊的函數(shù)，一般是把a(bǔ)n看作n的函數(shù)，但若數(shù)列{an}有遞推公式an+1=f(an)，則也可把a(bǔ)n看作自變量x,an+1看作因變量y，引入函數(shù)y=f(x).若函數(shù)y=f(x)有不動(dòng)點(diǎn)m，則可在數(shù)列遞推關(guān)系an+1=f(an)的兩邊都減去m，構(gòu)造出新的數(shù)列，而新數(shù)列一般是等比數(shù)列、等差數(shù)列或其它特殊數(shù)列，易求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出原數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2.特征根法求數(shù)列通項(xiàng)公式

在數(shù)列{an}中，已知a1，a2,an+2=pan+1+qan(其中p和q為常數(shù)),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.稱x2=px+q，即為數(shù)列{an}的特征方程.

結(jié)論1 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列，特征方程為x2-px-q=0，當(dāng)Δ=p2+4q>0時(shí)，設(shè)兩個(gè)不等實(shí)根為α,β，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=c1αn+c2βn，其中c1,c2為待定系數(shù)，可由初始條件確定.

證明：由韋達(dá)定理得α+β=p，α·β=-q，將p=α+β和q=-α·β代入遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan得an+2=(α+β)an+1-α·βan,即an+2=αan+1+βan+1-α·βan,從而既有an+2-βan+1=α(an+1-βan)，又有an+2-αan+1=β(an+1-αan).

結(jié)論2 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列，特征方程為x2-px-q=0，當(dāng)Δ=p2+4q=0時(shí)，設(shè)二重根為α，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=c1αn+c2nαn，其中c1,c2為待定系數(shù)，可由初始條件確定.

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=4,a2=12,an+2=4an+1-4an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：數(shù)列{an}的特征方程為x2-4x+4=0，Δ=0,有二重特征根x=2.

設(shè)an=c1·2n+c2·n·2n，分別取n=1,2可得4=c1×21+c2×1×21和12=c1×22+c2×2×22，可解得c1=1，c2=1，故an=2n+n·2n=(n+1)·2n.

結(jié)論3 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列，特征方程為x2-px-q=0，當(dāng)Δ=p2+4q<0時(shí)，無特征根，則數(shù)列為周期性的數(shù)列.

例5 已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,求a2018的值.

解：特征方程為x2=x-1，即x2-x+1=0，Δ=-3<0，數(shù)列必有周期性，a1=3,a2=6,a3=3，a4=-3，a5=-6，a6=-3,a7=3,a8=6，周期為6，a2018=a2=6.

3.構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

構(gòu)造法就是以已知條件為原料，以所求結(jié)論為方向，構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，使得問題在這種形式下簡捷地得到解決.

例6 已知a1=2，an+1=4an-3n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例7 已知a1=0，an+1=3an+2n+4n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

故an+1+2n+1+2(n+1)+1=3(an+2n+2n+1)，數(shù)列{an+2n+2n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1+21+2×1+1=5，公比為3，從而an+2n+2n+1=5×3n-1，an=5×3n-1-2n-2n-1.