“先猜后證”在解幾探究性問題中的應(yīng)用

福建省龍巖一中 (364000) 方秦金

“猜想”是合情推理，“證明”是演繹推理，“先猜后證”就是先用合情推理的方法得到一個似真的結(jié)果，再用演繹推理證明這個結(jié)論的正確性.本文舉例說明“先猜后證”在解幾探究性問題中的應(yīng)用，供參考.

1.應(yīng)用“先猜后證”探究直線與圓的位置關(guān)系

例1 (2014年北京高考理科卷第19題)已知橢圓C：x2+2y2=4.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

我們先看命題者給出的解答.

(Ⅱ)直線AB與圓x2+y2=2相切．證明如下：

2.應(yīng)用“先猜后證”探究定點(diǎn)問題

圖1

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

下面證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn).

評析：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，我們通過取k,m的特殊值得出M的坐標(biāo)，再給以一般化的證明，這是“先猜后證”方法的應(yīng)用.

3.應(yīng)用“先猜后證”探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

我們由特殊情形得到點(diǎn)G與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，“先猜”為“后證”指引了明確的方向.

4.應(yīng)用“先猜后證”探究定值問題

例4 已知動圓P與圓F1:(x+3)2+y2=81和圓F2:(x-3)2+y2=1都相內(nèi)切，即圓心P的軌跡為曲線C；設(shè)Q為曲線C上的一個不在x軸上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F2作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個不同的點(diǎn)．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)試探究|MN|和|OQ|2的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理由．

評析：如果沒有用特值的方法得出一個可能的結(jié)果，則證明的方向是不確定的，繁雜的字母運(yùn)算也令人望而卻步.“先猜后證”鼓舞了解題的信心.

回顧以上四個例子，“先猜后證”可為解幾探究性問題指引方向，從而化繁為簡，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.