一道“希望杯”賽題的解決及應用

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林秋林

賽題過正方體ABCD-A1B1C1D1外一點，與直線AC1和BC的夾角都是80°的直線的條數是( )．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(第26屆“希望杯”高二2試)

本題旨在考查學生的空間想象能力、識圖能力、化歸能力，為了求解這道賽題，我們先證明一個引理：

圖1 圖2

由上述引理，可以得到下面的一個推論：

推論已知兩條異面直線a,b所成的角為θ，過空間中任意一點O作與直線a,b所成角均為φ的直線l，則有：

且只有1條．

圖3

證明：只證(Ⅰ)中②⑤，其余類似可得．如圖3，由異面直線所成角的定義，可過O作直線AB∥a，直線CD∥b，則直線AB,CD確定一個平面α且其所成的角為θ，不妨設∠AOC=θ．

圖4