一個代數恒等式的妙用*

2014 (200241)

一、代數恒等式

這樣一個小小的恒等式在證明一些不等式時卻有大大的作用.它的好處在于可以化輪換對稱式為對稱式，可以化對稱式為輪換對稱式，還可以將一種輪換對稱式變換為另一種輪換對稱式.下面舉幾個例子進行說明.

二、應用

其他兩個不等式同理可以證明.

注：這個不等式容易推廣到一般情況：

已知a、b、c、m、n∈R+，a+b+c=3，求證：

還可以進一步得到：

已知a、b、c、m1、n1、m2、n2、m3、n3∈R+，a+b+c=3，m1+n1=m2+n2=m3+n3=k，求證：

下面證明

上式顯然成立.

例4 已知a、b、c∈R+，求證：

顯然成立.

注：受例4啟發，提出一個問題：

已知a、b、c∈R+，當λ與μ滿足什么條件時，下面不等式成立：