兩個優美代數不等式的證明
2018-07-30 08:34:52陜西省綏德縣綏德中學718000
中學數學研究(江西) 2018年7期
陜西省綏德縣綏德中學 (718000) 王 煒
安振平老師在文[1]中提出了四十個優美不等式，本文將給出第(1)個優美不等式和第(11)個優美不等式的證明.
證法一：設s=x+y+z,p=xyz,q=xy+yz+zx,由題知p+q=1,由恒等式(x+y)(y+z)(z+x)=sq-p=s(1-p)-p,知左端通分后分母為s(1-p)-p,我們再考慮化簡分子，即化簡表達式∑(x+y)(y+z),∑(x+y)(y+z)=∑[y2+(x+z)y+xz]=∑x2+∑(s-y)y+∑xz=s∑y+q=s2+q=s2+1-p，只需證2(s2+1-p)≥5[s(1-p)-p],它等價于p(3+5s)≥-2s2+5s-2,①
綜上所述，原不等式成立.
綜上所述，原不等式成立.
