一個圓錐曲線性質(zhì)的推廣

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 偰永鋒

文[1]給出了橢圓和雙曲線如下共有的性質(zhì)：

結(jié)論4 已知A、B為橢圓E的短軸的兩個端點，若過其焦點F的直線AF與橢圓E的另一個交點為C，則直線BC與橢圓E的長軸的交點即為相應(yīng)準線與長軸的交點.

結(jié)論5 已知A、B為橢圓E的短軸的兩個端點，其準線與長軸的交點為點M，則過橢圓E的相應(yīng)焦點的直線AF與直線BM的交點在該橢圓上.

筆者借助幾何畫板對上面的性質(zhì)探究時發(fā)現(xiàn)對于結(jié)論4和5中的A、B不必是短軸頂點，只要是橢圓上關(guān)于長軸對稱的兩點即可，該性質(zhì)其實是橢圓焦點弦的一個性質(zhì)，并且這個性質(zhì)可以推廣到雙曲線上.對于結(jié)論6中的A、B不必是虛軸頂點，只要是虛軸所在直線上關(guān)于實軸對稱的兩點即可.

圖1

推廣1 如圖1，已知A、B為橢圓E上關(guān)于長軸對稱的兩點，點F及直線l為橢圓的焦點及相應(yīng)的準線，直線AF與橢圓E的另一個交點為C，則直線BC與橢圓E的長軸的交點M即為準線l與長軸的交點.反之也成立.

所以直線BC與橢圓E的長軸的交點M即為準線l與長軸的交點.

圖2

推廣2 如圖2，已知A、B為雙曲線E上關(guān)于實軸對稱的兩點，點F及直線l為雙曲線的焦點及相應(yīng)的準線，直線AF與雙曲線E的另一個交點為C，則直線BC與雙曲線E的實軸的交點M即為準線l與實軸的交點.反之也成立.

證明過程與推廣1類似，此處從略.

圖3