模型、聯想、轉化：數學解題創新的關鍵點*
——2009年全國高中數學聯賽陜西賽區預賽一道幾何題的證明

陜西安康學院數學與統計學院 (725000) 趙臨龍

命題1 (2009年全國高中數學聯賽陜西賽區預賽試題)[1]如圖1，PA、PB為⊙O的兩條切線，切點分別為A、B，過點P的直線交⊙O于點C、D，交弦AB于點Q，求證：

PQ2=PC·PD-QC·QD(1)

參考答案利用圓冪定理、相似性、共點圓等知識，給出證明，其技巧性要求較高.

現在，通過圓冪定理：PA2=PC·PD，QC·QD=QA·QB，將命題1結論，轉化為PQ2=PA2-QA·QB(2)

圖1 圖2 圖3

此時，想到斯庫頓(Schooten)定理：如圖1，若PQ為△PAB的內角平分線段，則PQ2=PA·PB-QA·QB(3)

在圖1中，盡管PA=PB，但PQ不是△PAB的內角平分線段，(3)不成立.

由上題的結論，又使我們想到蝴蝶定理.

命題2(蝴蝶定理)[3]如圖2，過⊙O內一弦EF中點P引任意兩弦AB、CD，AD和BC交EF于Q1、Q2，則Q1P=Q2P.

當點P在弦EF延長線上時，有坎迪(Candy)蝴蝶定理.

如圖3,當割線PAB、PCD退化為⊙O的切線，則弦AD與BC合于一條，及點Q1、Q1合于切點弦與EF的交點Q，則命題3退化為命題1.

也就是說，可以用蝴蝶定理證明命題1.由此，我們說：模型、聯想、轉化是數學解題創新的基本環節.

如我們以斯庫頓定理為模型，需要構造△PCF，使PF=PD.

如圖4，將割線PCD沿對稱軸PO對折得割線PEF，連線FC和ED的交點R在對稱軸PO上，而且可利用射影幾何證得：[4]點A,R,B共線.*

圖4 圖5

由斯庫頓定理，得R2=PC·PF-RC·RF=PC·PD-RA·RB=PC·PD-(QA-RQ)·(RQ+QB)=PC·PD-RQ(QA-QB)+RQ2-QA·QB=PC·PD-2RQ·RQ+RQ2-QC·QD(6)，則PC·PD-QC·QD=R2+RQ2=PQ2(由AB⊥PO)(7).

*附錄：極點與極線的理論

定義[4]如圖5，過點P引二次曲線Γ的直線PAB交Γ于A、B兩點，若直線PAB上一點Q滿足：

特例：當點P在Γ上，則過P與Γ相切的直線為極點P關于Γ的極線.

結論:二次曲線Γ極線l的點列Q與過極點P的線束l'構成一一對應.

此時，在圖4中，取完全四邊形CDEF，則對角線的交點R的極線必過完全四邊形CDFE對邊交點P，又⊙O兩切點A、B的兩切線也交于點P,于是⊙O的極點A、R、B三點共線.