一道幾何競賽題的多角度探究

北京市第十二中學高中部 (100071) 楊雪芹 高慧明

題目如圖1所示,在四邊形ABCD中,已知∠ACB=∠ADB=90°,AC與BD交于點E,AC=BC,AD=4,BD=7,則S△ABE=___________.(2014年北京市高一數學競賽預賽試題)

這是一道求解一般三角形面積的試題, 細細琢磨，這道題實際上可以從多個角度突破.通過分析,AD,BC分別可作為BE和AE邊上的高, 并且AD,BC的長度已知. 如此一來，求面積問題就轉化為求邊長問題.所以BE或AE的長度求解就是解決該問

圖1

題的關鍵之所在.

以下分別利用相似三角形、兩角和的正弦公式、托勒密定理、余弦定理、四點共圓、面積的比等知識求出BE或AE的長,繼而產生5種不同思路解決該問題.

首先,由已知條件容易得到的數量有

下面,我們從5個不同的角度作后續處理.

點評：把問題解決的關鍵量設為未知量,找出未知量滿足的方程,轉換為解方程問題.利用“方程的思想”處理幾何問題.

點評：利用角之間的關系，“設而不求”，不求出具體的角，只求出相應角的三角函數值，利用直角三角形和已知條件求出邊長.

點評：托勒密定理(Ptolemy)定理指出：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.該解法應用四點共圓、托勒密定理解決問題.

解法4:(利用全等、共圓、線段比例)延長AD到F,使DF=3,AF=7,于是AF=BD,AC=BC.

由已知得∠DAC=∠CBD.所以△ACF≌△BCD.所以CD=CF.在四邊形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°,所以A,B,C,D四點共圓.

由圓內接四邊形的外角等于內對角得∠CDF=∠ABC=45°.所以△DCF是等腰直角三角形.

點評：這是一道高一的數學競賽題，解法4和解法5采用高一學生熟悉的初中平面幾何問題的處理方法，作輔助線，構造全等關系，利用線段成比例或三角形面積比解決問題，較之前三種方法，學生容易想到，但構造過程和解題過程相對麻煩.解法1和解法2較為簡便.作為參加數學競賽的學生，解法3中的知識也應該掌握，學會應用平面幾何中的著名定理(梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理和其推廣、西松姆定理)解決問題.