數學如水，一題數列味甘醇

貴州省甕安中學 楊賢材

貴州省銅仁市第二中學 劉冠希

問題剖析：此題考查等差數列前n項和 與等差通項 的性質，處理的方法很多，可以從基本量的角度入手，利用首項和公差解決，也可以從等差數列的對稱平衡性質入手，利用項值之和處理，還可以用公式變構等手法解決。

評注：此法為典型的基本量法，或稱之為首項公差法。基本量法指在解題過程中抓住問題的基本量，然后把關鍵條件全部用這些基本量來表達，使得問題脈絡自然顯露，從而得到問題求解的方法。此題的基本量就是首項和公差，故又稱首項公差法。實際上，在數列問題的解答中，首項公差法十分常用，故稱之為首項公差法是很好的，學生也容易接受和理解。

解法三（公式變構法）：

評注：此法是高一（9）班學生申杰提出的，他敏銳地發現了前九項的下標可以分為三個等和部分的特點，從而迅速破解了此題，直擊要害，異常精彩！應該說，該生很有洞察力，值得贊嘆！

總之，一題多解，一解多用，是學好數學的手段。高中數學常常有意識地從不同角度去觀察，用不同的形式去轉化和用不同次序去演繹，往往會有意想不到的收獲。譬如喝水，不妨把水杯多變幾個形狀試試，或許忽然間你也會驚奇地發現：

數學如水，問題如杯。

水之形者囿于杯，杯別則形異；

水之數者決于形，形同則數等。

水之數者，形之內也；

水之形者，數之外也。

故異形而求數，定數以變形。

叩其兩端，理在其中矣，夫子是以占之。