基于有向點集的多面多孔式裝配偏差分析與協調

崔志卓，杜福洲,*，熊濤

1. 北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100083 2. 中國空間技術研究院 北京衛星環境工程研究所，北京 100094

在大型機械產品的裝配中，隨著基于模型定義技術和光學測量定位技術[1-3]的廣泛應用，測量輔助裝配技術[4-5](Measurement-Assisted Assembly, MAA)在航空、航天、船舶等行業內得到了廣泛的應用。

在大尺寸產品裝配對接與位姿調整方面，國內外學者分別對數字化測量工藝模型、轉站公共基準點布設、最佳裝配位姿的計算、工程應用等分別進行了研究與闡述[6-10]。上述研究以位姿調整為目標實現了大型機械產品的對接，但對配合關系考慮的不夠充分。在實際裝配中，產品的配合質量影響產品的物理性能，是協調的重點要素。而由于制造誤差、應力釋放、熱膨脹、重力變形和工裝安裝誤差等因素導致裝配對接部分產生間隙或階差，通過分離并精加工/調整的方式改進產品配合質量，或者強行裝配影響產品的物理性能并帶來不必要的隱患。因此，諸多學者對此類問題進行了研究。部分學者基于檢測數據研究裝配過程的產品偏差傳遞機理和裝配精度預測[11-15]從而提前發現問題進行調整，部分學者通過數字化測量和柔性工裝改善因工裝定位偏差和產品變形引起的裝配偏差[16-18]。

在大型機械產品裝配中，通過對不同空間位置的軸孔進行緊固連接是裝配連接的主要形式之一，如基于叉耳結構的飛機翼身裝配、航天器的多緊固連接、風電塔的大型法蘭連接等。而軸孔的配合質量影響著產品的連接性能[19]，費燕瓊等對電機套筒多軸孔多面約束的裝配進行了裝配關系的分析，并采用導桿的方式完成裝配[20]，趙東平等針對間隙連接件采用多維矢量沿偏差傳遞路徑建立了多維矢量環，完成了裝配偏差的預測[21]，Luo等采用力/剛度補償的方式完成了高精度多軸孔的裝配[22]，郭崇潁等對紅外線線列電荷耦合元件的拼接中拼接精度問題，基于蟻群算法對解算的裝配偏差進行優化，指導工裝調整并完成裝配[23]。通過數字化測量手段獲取軸孔的空間位姿，分析軸孔裝配偏差并進行協調的相關文獻還未見報道。

針對裝配過程中大型機械產品多面多孔裝配中裝配偏差難以預測，裝配過程協調難度大的問題，分析多面多孔裝配關系，采用“有向點”表征軸/孔的空間位姿，構建多面多孔式裝配的數學模型，采用奇異值分解(SVD)分解法[24]對有向點集進行最優匹配，并對軸孔配合的裝配偏差進行解算，在裝配前預測裝配偏差指導調配。最后通過多面多孔式裝配協調試驗進行了驗證，試驗結果表明基于測量數據的裝配偏差分析與輔助調配方法可行，可提高裝配的效率和裝配一次成功率。

1 研究概述

在具有多面多孔的大型零部件裝配對接中，通過軸孔配合進行緊固連接。基準裝配體(Datum Component)安裝于固定工裝，對接裝配體(Align Component)安裝于可移動工裝，其裝配示意圖如圖1所示。受制造精度、溫度、重力、工裝夾緊等因素影響，裝配時軸孔配合產生縫隙、偏移、偏向，降低裝配質量。通過數字化測量手段對面-面配合、孔-軸-孔配合狀態進行分析，預估對接狀態下的偏差，在裝配前進行補償，提高裝配質量。如圖1所示，考慮多面多孔式裝配中三類軸孔裝配協調問題。

偏移(Axis Position Deviation)：如圖1中右上所示，由于裝配體的剛性，當其中一部分裝配孔配合準確時，引起孔上下配合處在配合面上產生了偏移，銷釘無法插入或扭曲，d為孔在配合面上產生的偏移量。

偏向(Axis Orientation Deviation)：如圖1中右中所示，由于裝配體的剛性，當其中一部分孔同軸度配合較好時，個別孔的軸線配合出現問題，銷釘插入時無法通過，θ為孔軸線之間的夾角。

縫隙(Plane Position Deviation)：如圖1中右下所示，由于裝配體的剛性，當其中一部分孔在配合面緊密貼合時，其他孔配合存在縫隙，如果縫隙超差時強行裝配，引起裝配體變形，降低裝配質量，h為兩孔配合面沿軸線的投影距離。

上述3個問題耦合而影響了裝配的質量，導致無法一次裝配，而是需要分離裝配體，對不協調的軸/孔逐個進行調整以完成裝配，降低了裝配效率。

因此，采用數字化測量表達軸/孔的空間位姿，并對多軸/孔進行裝配偏差的預測和分析，在實際裝配前找出超差的軸/孔，加以調配，改善裝配精度。

2 基于有向點集的裝配偏差分析

2.1 基于有向點的軸/孔位姿表達

廣義的裝配關系是指基準、裝配工裝以及零部件三者之間的相互位置關系和配合關系。其中，裝配零部件之間的裝配連接與形位關系，影響了裝配體的幾何質量，也一定程度影響著裝配應力。多面多孔式裝配可以看做孔-軸配合關系、面-面配合關系以及整體的相對位姿配合關系，因此其裝配關系可以表達如圖2所示。其中，軸-孔的配合情況影響著兩個裝配體的配合質量。

考慮軸/孔的體積較小，受力引起的局部變形一般很小，可以近似看成剛性體。在剛性假設條件下，軸/孔可以用一個點代表位置，一個矢量代表方向，而繞軸旋轉不會影響軸-孔的配合。

因此，定義有向點(Orientation Point，OP)，有向點是軸/孔在空間的位姿簡化描述，可以表示為

(1)

有向點的配合通常是一一對應，因此進行配合關系分析時，也是按對分析，定義具有相互配合關系的兩個有向點為有向點對。

對一個裝配體的多個軸/孔對應的多個有向點共同組成了有向點集，多面多孔式裝配可以看做兩組對應的有向點集的配合，將這兩組有向點集稱作有向點集對。

有向點可通過輔助工裝進行測量，輔助工裝設計及測量方式如圖4所示。

通過計算4個測量點中心，并通過對角矢量叉乘，獲得位置參數和方向參數：

(2)

式中：c1、c2、c3、c4為輔助工裝上每個定位孔坐標；l為輔助工裝以及靶球半徑合成的厚度。

2.2 基于有向點對的軸孔裝配偏差表達

裝配準確度要求由尺寸精度、相互位置精度組成，其中尺寸精度由公差配合、接觸精度等組成，由制造過程保證其公差配合。相互位置精度包括同軸度、位置度等，是數字化調節的主要目標。對于兩個裝配體的配合關系，可以通過式(3)進行表示：

Φ(ω1,ω2)={ω1,ω2|f1(ω1,ω2)∈Ψ1,

f2(ω1,ω2)∈Ψ2,…,fn(ω1,ω2)∈Ψn}

(3)

式中：Ψ1、Ψ2、Ψn為裝配準確度包含的區間；ω1、ω2為物體在空間的位置和姿態，在本文中為有向點；f1、f2、fn為從位姿參數到裝配準確度的映射。

多個對象進行配合時，每個對象應滿足式(3)的要求，即可滿足裝配準確度的要求。配合關系可描述為

(4)

式中：上標A和B分別為基準裝配體和對接裝配體，ΩA和ΩB分別為基準裝配體和對接裝配體上相配合特征的位置和姿態參數的集合，在本文中為有向點集。

(5)

式中：qn為某一項裝配準確度的指標最優值。

而軸孔類配合可以看做2個有向點之間進行相互配合，如圖5所示，其由同軸度和位置度轉化而來的分析的值主要由偏移、偏向、縫隙決定。因此，二者的夾角(偏向)可以表示為

(6)

(7)

(8)

2.3 基于SVD分解的有向點集對裝配偏差解算

如圖6所示，裝配體進行裝配時，可以等效為有向點集對中的有向點對一一配合，同時還需考慮有向點集自身的拓撲關系。即一個裝配體上的所有軸或孔構成一個整體，因此需要對有向點集對的配合進行整體評估，在最優配合下，對有向點對的裝配偏差逐個進行求解。

設基準裝配體測量所得有向點集為

(9)

(10)

ΩBm可以轉化為位置參數矩陣PBm和方向參數矩陣OBm:

(11)

B的參數矩陣為ΩB，其位置和姿態參數矩陣分別為PB和OB，Bm和B兩組點集ΩB和ΩBm存在關系：

(12)

式中：R為旋轉矩陣；T為平移矩陣；EP為位置偏差矩陣；EO為方向偏差矩陣。

令

(13)

則式(12)可以轉化為

(14)

采用SVD分解法對式(14)進行求解：

(15)

等價于

(16)

計算ΩVm及ΩV的重心坐標：

(17)

令

(18)

則式(16)可以轉化為

(19)

等價于

(20)

此時

(21)

對H進行SVD分解：H=UDVT，則

(22)

將R、T代入式(14)，有

(23)

則PBm′為對接裝配體B調整目標位置下的有向點位置參數矩陣，此時PBm′與理想位置參數矩陣PBm仍有EP的差距。同理，OBm′與理想方向參數矩陣OBm有EO的差距。將PBm′與PBm、OBm′與OBm代入式(6)～式(8)中計算偏移、偏向、縫隙，并與裝配準確度進行比較，如果不滿足裝配準確度要求，則需要進行調配等優化。

3 面向調配的協調量求解

孔類調配多通過對零部件上另一位置的調整間接傳遞。對空間任一點協調量的計算可通過羅德里格旋轉公式(Rodrigues’ Rotation Formula)進行姿態調整，加上位置補償完成。

(24)

式中：Ralign為矢量變換的旋轉矩陣，通過羅德里格旋轉公式求解：

Ralign=-(Icosθ+(1-cosθ)rrT+

(25)

式中：θ可通過式(6)求解；r為旋轉軸；根據式(26)解得。

(26)

設調整點坐標為P，則該點的調整目標解算方法為

P′=RalignP

(27)

此時，平移補償量由ePi給出。平移量可分解為軸向平移和沿配合面平移，分別解算為縫隙補償和偏移補償。

(28)

式中：eh為縫隙補償矢量；ed為偏移補償矢量。

如果計算縫隙調整量為負值，說明該孔位在其他孔位配合正常后有擠壓，選出負值絕對值最大的一個，將該絕對值補償到所有的孔位上，并進行調整以消除影響。

4 試驗與分析

4.1 試驗過程與數據分析

結合某航天器多面多孔式裝配過程，建立試驗流程如圖8所示。

1)建立如圖9(a)所示試驗場景，3個孔類零件(a、b、c)分布固定板上作為試驗組A，安裝測量輔具后用三坐標測量機對測量輔具的孔及上表面進行測量，將孔投影到上表面所在平面為該測量孔在上表面的測量值，測量數據如表1所示。

2)如圖9(b)使用鋁塊將試驗組A的固定板傾斜約15°，松開每個孔類零件并在與固定板的連接處插入不等量的墊片，使其相對姿態發生變化，擰緊，作為B組試驗體，測量方式參考步驟1)，測量數據如表2所示(未轉換坐標系至A所在坐標系)。

3)對試驗組A與B進行分析，計算試驗組B需要補償的墊片以復原至A的狀態，松開孔類零件的緊固孔，并進行墊片補償，在三坐標測量機的輔助下完成平移運動，調整完成后重新測量測量輔具作為試驗組C，協調量(墊片補償及平移量，墊片序號與圖9中測量輔具標注序號一致)如表3所示，有向點的方向為z軸正方向，因此dz近似為0，墊片補償包括了縫隙以及偏向兩部分，試驗組C測量數據(未轉換坐標系至試驗組A所在坐標系)如表4所示。

連接件測量點x/mmy/mmz/mm115.908347.840-80.594a267.929346.742-80.802366.817294.751-80.686414.804295.900-80.478181.161218.937-74.581b2132.616226.205-74.0303139.910174.713-74.032488.441167.405-74.5831187.626303.415-83.820c2233.913327.103-83.8353257.601280.779-83.8494211.308257.117-83.834

表2 試驗組B測量數據Table 2 Measure data of Set B

表3 試驗組B協調量Table 3 Adjustments of Set B

表4 試驗組C測量數據Table 4 Measure data of Set C

4)計算試驗組C與試驗組A的裝配偏差，試驗組B與試驗組A的裝配偏差，如果試驗組C與試驗組A較試驗組B與試驗組A的裝配偏差有減少，則驗證本文的方法的有效性，解算結果如表5所示。

表5數據顯示，縫隙、偏移、偏向均有明顯減少，從而說明在本方法的指導下能夠通過測量數據對裝配偏差進行分析并輔助調配。

表5 裝配偏差比較Table 5 Comparison of assembly deviation

4.2 誤差分析

試驗中解算出的協調量的不確定度受測量不確定度以及算法本身精度影響，縫隙、偏移、偏向的不確定度可根據式(29)進行粗略估計:

(29)

式中：Δh為縫隙補償量的不確定度;Δp1、Δp2為有向點位置參數的測量不確定度;Δm為算法在計算機運行中舍入精度引起的誤差，在多次仿真試驗中，該數值優于0.002 mm;Δd為偏移補償量的不確定度;Δθ為偏向補償量的不確定度;Δo1、Δo2為有向點方向參數的測量不確定度。

其中三坐標測量機型號為PEARL-755，其基準測量不確定度參數為3 μm，線性測量不確定度參數為3 μm/m。試驗中均為點測量，測量范圍較小，估計測量不確定度為3 μm。

根據式(2)，有向點的位置測量不確定度為6.2×10-3mm，有向點的方向測量不確定度估計為4.7×10-3(°)，縫隙的測量不確定度估計為9.0×10-3mm，偏移的測量不確定度估計為9.0×10-3mm，偏向的測量不確定度估計為6.6×10-3(°)。

在試驗中，協調的偏差還受工藝因素的影響，縫隙調整與偏向調整中墊片厚度名義值與實際值的偏差、墊片墊入深度、螺釘擰緊力等因素對調整結果均有影響，偏移調整中人為操作偏差、軸孔配合偏差影響了調整精度。

5 結 論

1) 提出基于有向點的軸/孔位姿表達方法，構建多面多孔式裝配偏差的數學表達模型，對有向點集對的協調過程進行分析；針對軸或孔的調整裝配，給出協調量計算方法，實現多面多孔式裝配的裝前評估與協調。

2) 針對有向點集對協調的問題，構建了有向點集對配合的數學模型，采用SVD分解法進行最佳擬合；針對有向點表征的孔或軸的調整裝配，通過羅德里格旋轉公式和平移補償計算調整量。

3) 進行了多面多孔式裝配協調試驗，試驗結果表明，通過對測量數據的分析和對軸/孔的調整，縫隙、偏移、偏向均有明顯降低，驗證了本文方法能夠基于測量數據對裝配偏差分析并輔助調配。

4) 本方法還可擴展應用于柔性工裝裝調等。