多孔多裂紋平板的疲勞裂紋擴展試驗與分析方法

李政鴻，徐武，張曉晶，余音

上海交通大學 航空航天學院，上海 200240

共線孔邊多裂紋是飛機結構廣布疲勞損傷源的一種主要形式[1-3]。試驗研究表明：含共線孔邊多裂紋結構的強度與壽命要比含單一裂紋結構的強度與壽命小很多[4]。飛機結構因出現共線孔邊疲勞多裂紋而引起了1988年著名的Aloha航空事故[4]。為保證飛機結構安全，學術界、工程界和適航當局開展了大量研究，取得了豐富的研究成果并修訂了相應的適航條款[1-3]。然而，2011年4月，美國西南航空公司一架服役了15年的Boeing 737飛機在爬升到11 000 ft (1 ft=0.304 8 m)的高度時機身快速失壓。隨后的事故分析表明[5]：機艙失壓是由機身連接處一條1.5 m長的裂縫引起的，詳細的斷口分析表明這條裂縫上包含58個鉚釘孔，其中54個鉚釘孔的周圍出現了疲勞小裂紋。這些事故和已有的研究[6-7]表明：廣布疲勞損傷依然嚴重威脅飛機結構的安全。因此，有必要建立和完善分析飛機結構廣布疲勞損傷的試驗與理論分析方法，以確保飛機結構不因潛在的廣布疲勞損傷而導致災難性事故。

共線多孔多裂紋疲勞擴展壽命預測主要包括疲勞裂紋擴展分析模型和多裂紋應力強度因子分析。在疲勞裂紋擴展分析模型方面，目前主要采用的模型有Newman[8]的裂紋閉合模型和Paris疲勞裂紋擴展公式。在應力強度因子分析方面，Bowie[9]最早采用復變保角變換法給出了無限寬板孔邊單裂紋的應力強度因子解。Newman[10]發展了邊界元法獲得了無限寬板在不同載荷情況下孔邊兩條等長裂紋的應力強度因子解。Fu和Zhang[11]采用復變變分法給出了有限板中心孔邊兩條不等長裂紋的應力強度因子解。Zhao等[12]采用復變函數法給出了無限板多孔多裂紋受遠端均勻載荷作用下的應力強度因子解。郭樹祥和許希武[13]采用Faber級數和保角映射技術建立了任意多孔多裂紋有限板的應力強度因子分析方法。Milliwater[14]發展了分析無限平板共線裂紋的簡易方法，Chen和Wang采用積分方程法建立了有限平板共線裂紋的積分方程法[15]。最近，Xu等[7,16-18]發展了分析共線裂紋的權函數法，給出了典型共線裂紋和共線孔邊裂紋的權函數和高精度應力強度因子解。對于復雜多孔多裂紋，組合法是一個常用的工程方法[19]。該方法基于已有簡單裂紋問題的解析解，通過對簡單裂紋問題的應力強度因子組合疊加來分析復雜裂紋，這一方法需要一定的經驗，計算精度有時難以保證。有限元方法由于其適應性好，也常用于分析復雜多孔多裂紋問題的應力強度因子解[20]，然而該方法在進行疲勞裂紋分析時由于計算量過大而受限制。

本文受已有工作的啟發并結合作者們的前期研究基礎[7,16-18]，重點研究了典型多孔多裂紋平板的應力強度因子分析方法，同時設計試驗研究多裂紋平板的疲勞裂紋擴展行為，并采用試驗結果驗證本文所提方法的有效性。初步的研究結果表明：本文的方法簡單、可靠、高效，可用于多孔多裂紋結構的疲勞裂紋擴展分析和多位置損傷 (MSD)的可靠性分析。

1 疲勞裂紋擴展試驗

1.1 疲勞裂紋擴展試驗矩陣

本文設計了如表1和圖1所示的試驗矩陣。

Case 1用于獲得寬范圍應力強度因子變程的疲勞裂紋性能數據，以進行 Case 2～Case 6的裂紋擴展分析；Case 2用于獲得單孔雙裂紋的裂紋擴展行為，確定基于Paris裂紋擴展公式的壽命預測精度。Case 3～Case 6用于研究多孔多裂紋的擴展行為，驗證本文的裂紋擴展分析方法。所有試樣材料為2024-T3鋁合金平板，厚度為1 mm， L-T取向。試樣形式及切口位置分布如圖1所示。試樣上的缺口使用線切割慢走絲的方式切割，切割寬度為0.2 mm，方向保持水平。

表1 試驗矩陣Table 1 Test matrix

1.2 疲勞載荷

疲勞裂紋擴展試驗使用MTS 10T疲勞試驗機，依據ASTM標準[21]，載荷加載方式為力控制，加載頻率為5 Hz。為獲得寬范圍的疲勞裂紋擴展性能數據，本文Case 1采用了2種載荷，一個最大載荷為50 MPa，另一個最大載荷為100 MPa， 2種載荷的應力比都為0.06。每種載荷測試3個試樣。其他試驗的最大載荷為100 MPa，應力比為0.06。

1.3 疲勞裂紋擴展特性

通過試驗觀察得到多孔多裂紋平板的疲勞裂紋擴展行為：Case 2中包含一個中心孔，孔兩邊無預制切口。試驗過程中裂紋從孔兩側先后萌生，并向兩側水平擴展，在兩側裂紋均擴展了30～40 mm左右時，結構發生斷裂；Case 3中，裂紋孔位于共線多孔的最左側，如圖1所示，其右側裂紋首先與其右側最接近的旁孔發生連通，之后其左側裂紋與邊界連通；Case 4中，位于中間的裂紋孔兩側裂紋以幾乎相同的速率向兩側擴展，并分別與相鄰旁孔連通；Case 5中，位于中間的兩個裂紋孔兩側相對的兩條裂紋首先發生了連通，接著最左側的裂紋與相鄰的光孔連通；Case 6中，各個孔邊裂紋幾乎同時擴展，在任意兩條裂紋連通之前，結構發生斷裂。

2 典型多孔多裂紋平板的應力強度因子分析

2.1 基于相變增韌理論的應力強度因子修正方法

本文采用相變增韌原理研究多個共線孔中旁孔對裂紋尖端應力強度因子的影響。如圖3所示，一個二維任意形狀(區域)的夾雜鑲嵌在I型裂紋尖端應力場中，假設以裂紋尖端為原點，夾雜內任意一塊積分微元的極坐標為(r,θ)。考慮夾雜對裂紋尖端應力強度因子的影響，文獻[24]基于相變增韌原理和Eshelby夾雜理論給出了計算夾雜對裂紋的應力強度因子增韌值的積分表達式為

(1a)

式中：KI為無夾雜時裂尖的應力強度因子；C1和C2為與材料相關的常數，且

(1b)

其中：Ei和Em分別為夾雜和基體的彈性模量；υ為泊松比。

考慮裂紋尖端增韌作用的應力強度因子為

(2a)

(2b)

對于本文，旁孔可當作模量為0的夾雜處理，即Ei=0，代入式(1b)可得C1=C2=1。對于這種情況，式(2b)中的g為僅與裂紋及圓孔幾何參數有關的系數。通過對式(2b)積分可獲得不同裂紋尖端到旁孔中心距離為L時的g值。通過對積分數值的擬合，可得裂紋靠近孔邊時的應力強度增韌因子g的表達式為

g(Rh/L)=

(3)

式中：Rh為孔半徑；L為裂紋尖端到圓孔中心的距離。即，增韌因子只與裂紋尖端到圓孔中心的距離及孔徑的比值有關。一旦孔邊裂紋的應力強度因子確定，采用式(3)修正便可確定圖1所示Case 3～Case 5中旁孔對裂紋尖端應力強度因子的影響。通過式(3)對無限板單孔孔邊兩條等長裂紋的應力強度因子進行修正便得到Case 4的應力強度因子。當Rh/L≤0.95時，式(2a)與式(3)計算的應力強度因子與有限元分析的結果相比誤差在2%之內。即式(3)可高效、可靠地考慮旁孔對裂紋尖端應力強度因子的影響。

2.2 多孔多裂紋平板的應力強度因子近似解

飛機結構中，鉚釘孔的孔間距w與孔直徑d的比值w/d通常在4～6之間。其中孔間距w指相鄰兩個圓孔圓心的距離。通過計算可以得出，當孔間距在此范圍內、孔邊裂紋長度a與孔半徑Rh的比值a/Rh≤1時，裂紋之間的相互影響很小，裂紋尖端的應力強度因子主要受裂紋孔的影響[18]，這類共線多孔短裂紋的應力強度因子采用權函數法可以獲得:

(4a)

(4b)

式中：G(a,x,a/Rh) 為孔邊裂紋的格林函數，孔邊單一裂紋和兩條等長裂紋的格林函數分別由文獻[25-26]給出;σ(x)為無裂紋時孔邊的應力分布。當孔邊出現兩條不等長小裂紋時，兩條裂紋的應力強度因子可分別近似采用式(4a)計算獲得，其中G(a,x,a/Rh)為孔邊單一裂紋的格林函數[25]。

當裂紋擴展到一定長度時，a/Rh>1，就需要考慮裂紋之間的相互影響。本文將分別給出圖1中各種裂紋分布形式的具體分析方法。

對于Case 3，當a/Rh>1時，近似為有限大板孔邊2條裂紋。當a/Rh>2時，把孔和裂紋等效成一條裂紋，采用文獻[27]中有限大板偏心裂紋的應力強度因子，同時使用式(3)予以修正，以考慮裂紋前端孔的影響。

對于Case 4，本文采用無限單孔平板孔邊兩條等長裂紋的應力強度因子解，再采用式(3)修正旁孔的影響以獲得裂尖的應力強度因子。

對于Case 5中的3條裂紋，當a/Rh>1時，將孔及其孔邊裂紋視為一條長裂紋，如圖4所示，裂紋尖端的應力強度因子采用應力強度因子手冊[22]中無限平板2條不等長共線裂紋的應力強度因子解，需要注意的是在裂紋擴展分析時，只有裂尖1、2、3擴展，而裂尖4不擴展。同時，使用式(3)修正旁孔對裂尖1的影響。

對于Case 6，每個孔的初始條件一樣，將其近似為周期性孔邊出現2條等長裂紋。該裂紋幾何的應力強度因子的計算采用式(4)的權函數法，其中周期性孔邊裂紋權函數由式(5)給出，σ(x)為無裂紋時孔邊應力分布[18]。

m(a,x,a/Rh,l/w,Rh/w)=G(a,x,a/Rh)·

(5)

式中：2w為孔間距；l=Rh+a。

本文將采用以上方法分析裂紋尖端的應力強度因子，進而進行疲勞裂紋擴展分析。

3 疲勞裂紋擴展分析與試驗驗證

由于Paris公式簡單且適用于常幅譜，本文采用Paris公式及1.3節中的材料參數進行裂紋擴展分析。分析過程中所需的應力強度因子采用第2節中的方法獲得。

3.1 疲勞裂紋擴展分析方法

Paris裂紋擴展公式為

(6)

對于單一裂紋或者對稱裂紋，通過對式(6)進行數值積分便可以獲得裂紋擴展壽命。對于多裂紋平板，由于多裂紋的協調擴展，本文按照圖5所示的流程分析裂紋的擴展行為。

需要注意的是，Case 3～Case 6中初始裂紋長度定義為從預制缺口處擴展1 mm，即1.5 mm，以便減小線切割缺口對疲勞裂紋擴展分析結果的影響。而Case 2中孔邊無預制切口，為方便與其他試驗進行對照，在分析過程中，確定其初始裂紋長度為從孔邊擴展1.5 mm。多裂紋擴展的分析流程與單一裂紋的擴展分析流程基本相同。主要區別在于，多裂紋協調擴展，各裂紋尖端的應力強度因子受其他裂紋擴展的影響。為考慮孔和裂紋間的相互影響，每個裂紋ai的應力強度因子K(ai)由第2節的分析方法給出。

采用Paris裂紋擴展公式，經過dN次疲勞循環載荷后各裂紋擴展增量為dai=C[ΔK(ai)]m·dN, 相應的裂紋長度和總循環數分別為ai=ai+dai，Ni=Ni+dN，在本文的分析中dN取100次。更新各裂紋長度，重復上述裂紋擴展分析過程，記錄每個裂紋長度ai及循環次數N。

3.2 基于有限元的疲勞裂紋擴展分析方法

為驗證使用第2節得到的應力強度因子解進行疲勞裂紋擴展分析的精度，評價其與基于有限元法的疲勞裂紋擴展分析相比的優劣，本文同時采用有限元法對圖1所示的結構進行壽命預測。

考慮到模型的對稱性，對Case 2～Case 5建立1/2對稱有限元模型，對Case 6周期性孔的問題建立1/4對稱模型。模型的單元類型均為平面應力4節點單元CPS4。

使用圖5中的流程進行預測，與第2節分析方法不同的是，各裂紋尖端的應力強度因子通過MA-TLAB實時調用有限元軟件ABAQUS計算獲得。有限元模型(FEM)及Case 4的約束如圖6所示，對需要設置孔邊裂紋的孔周圍網格進行細化，在對稱面上除裂紋面以外的節點設置對稱約束 YSYMM(U2=0)。其他情況的有限元模型及約束與圖6類似。

3.3 疲勞裂紋擴展試驗結果與分析

采用3.1節和3.2節的2種方法，分別對5種典型含孔和裂紋結構的疲勞壽命進行預測，得到了各裂紋的擴展長度和循環次數的關系。同時將2種預測結果與1.2節試驗得到的數據進行對比，結果如圖7所示。

在Case 2～Case 4中，以結構唯一的裂紋孔圓心為原點，Case 5以第4孔圓心為原點，Case 6以板中心為原點，在裂紋擴展方向上建立坐標系，將裂紋擴展過程中裂尖的橫坐標與此時加載次數繪入圖7中。圖中試驗壽命的起始點為擴展最快的裂紋從預制的缺口處向前擴展1 mm時的壽命，以盡量減小缺口的影響。為了與此相對應，裂紋擴展分析時，初始裂紋長度都取1.5 mm(0.5 mm的預制缺口與1 mm的裂紋擴展之和)。

對于Case 2，圖7(a)給出了3個試樣的疲勞裂紋擴展試驗結果，由3種符號表示。本文采用有限板孔邊2條等長裂紋的應力強度因子解，預測了孔邊2條等長1.5 mm初始裂紋的擴展壽命，由圖7(a)中的實線表示。同時，采用3.2節的有限元法預測了2條等長裂紋的擴展壽命，如圖中虛線所示。由于疲勞試驗分散性的原因，試驗過程中會出現單邊裂紋擴展很長，而另一邊尚未萌生裂紋的情況。為此，本文使用有限元法預測了孔邊單條1.5 mm長初始裂紋的擴展壽命，由圖7(a)中點劃線表示。從圖中可以看出：試驗結果介于單孔單邊與單孔雙邊2種預測結果之間，有限元預測結果與采用3.1節方法的計算結果基本一致。

圖7(b)給出了Case 3的試驗結果和分析預測得到的裂紋擴展長度與循環次數的關系。采用本文提出的近似方法預測了孔邊兩側出現1.5 mm等長初始裂紋的擴展情況，并由實線表示。采用有限元法的預測結果由圖中虛線表示。從圖中可以看出，采用本文近似應力強度因子解預測的裂紋擴展與采用有限法計算的結果基本一致。

圖7(c) 給出了Case 4的試驗結果和分析預測裂紋擴展長度與循環次數的關系。對比試驗結果表明：Case 3孔邊裂紋連通旁孔的壽命要比Case 4連通旁孔的壽命短。這表明，試樣最外側孔出現孔邊裂紋更危險。從圖中可以看出：基于有限元和本文第2節的應力強度因子解都可以可靠地預測裂紋的擴展。

從圖7的結果可以看出，分析預測的裂紋擴展行為及連通順序與試驗結果一致。使用簡單、近似的應力強度因子方法與使用有限元法進行壽命預測的結果相差很小。相比于有限元法，本文給出的方法更加簡單、高效。

4 結 論

通過試驗、理論和有限元分析，研究了2024-T3鋁合金單孔孔邊裂紋及典型多孔多裂紋平板的應力強度因子解和疲勞裂紋擴展行為，得到以下結論：

1) 多裂紋明顯降低了結構疲勞裂紋擴展壽命。就本文研究的典型多孔多裂紋板及載荷條件，所有共線孔都出現等長裂紋的這一極端情況，其疲勞裂紋擴展壽命是單孔雙裂紋平板疲勞裂紋擴展壽命的10%左右。這表明飛機結構廣布疲勞損傷嚴重威脅飛機結構安全。

2) 結合相變增韌原理和權函數方法給出了4種典型的多孔多裂紋平板的裂尖應力強度因子解，這些解可定量考慮孔的影響及裂紋之間的影響。采用這些簡易的應力強度因子解進行疲勞裂紋擴展分析的結果與采用有限元法分析的結果基本一致，且預測的疲勞裂紋擴展壽命與試驗結果吻合良好。相比于有限元法，本文給出的應力強度因子分析方法更加簡單、高效。