直桿與圓環組合體落地反彈問題的解法探討

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

圖1

有關豎直方向的直桿與圓環的組合體落到水平地面被反彈后兩個物體發生相對運動的問題(如圖1)，曾以競賽題和高考題的形式出現。對于這類恒力作用下的兩個物體的相對運動問題的解答，關鍵是判斷兩個物體能否達到共同速度。

通過分析兩個物體受力情況可知：當二者落到水平地面被反彈后，直桿先向上做勻減速運動，再向下做勻加速運動；而圓環一直向下運動，包括三種運動形式：勻減速運動、勻加速運動和勻速運動。為了判斷兩個物體能否達到共同速度，最簡單的方法是通過觀察兩個物體的速度圖像是否存在交點，由此歸納出滑動摩擦力與重力大小關系的三種不同情況，判斷對應的運動形式以及是否達到同速。

可用速度圖像來直觀地說明。兩個物體的初速度大小相等，方向相反。若以豎直向下為正方向，則直桿的速度先為負值，后為正值，而圓環的速度始終為正值。在直桿從第一次觸地到第二次觸地的過程中，由于所受滑動摩擦力的方向不變，直桿向上運動時的加速度與開始向下運動時的加速度相等，由于直桿受到兩個作用力的方向相同，圓環受到兩個作用力的方向相反，因此圓環的加速度小于直桿的加速度。如果摩擦力大于重力，那么圓環做勻減速運動，其速度圖像與直桿的速度圖像必有交點，畫出的速度圖像如圖2所示。由交點的位置可知在直桿觸地之前二者必達到共同速度，而且直桿每次觸地時的速度逐漸減小。如果摩擦力小于重力，則圓環做勻加速運動，其速度圖像與直桿的速度圖像沒有交點，畫出速度圖像如圖3所示，兩個物體不可能達到共同速度，可知二者始終受到摩擦力的作用，則直桿的往返運動類似于豎直上拋運動，因此直桿每次觸地時的速度大小都與初速度大小相等。如果摩擦力與重力大小相等，則在相對運動過程中圓環始終做勻速運動，其速度圖像為水平直線，而直桿的往返運動類似于豎直上拋運動。

圖2

圖3

還可利用假設法來判斷三種速度情形對應的恒力的大小關系。假設直桿在第二次觸地時與圓環達到同速，則直桿一直受到摩擦力的作用，由于往返運動的總位移為零，因此直桿在第二次觸地時的速度與初速度大小相等，那么此時圓環的速度與初速度相等，表明圓環一直做勻速運動，可知摩擦力與重力大小相等。假設直桿在第二次觸地之前與圓環達到同速，則該速度小于直桿的初速度，那么此時圓環的速度小于初速度，表明圓環一直做勻減速運動，可知摩擦力大于重力。假設直桿在第二次觸地時二者還未達到同速，則此時圓環的速度大于初速度，可知摩擦力小于重力。

總之，根據相互作用的摩擦力與重力的大小關系，可分為三種情形：其一是摩擦力大于重力，那么在相對運動過程中，圓環先做勻減速運動，而直桿被反彈后先向上做勻減速運動，后向下做勻加速運動，在直桿觸地之前二者達到共同速度，一起做勻加速運動。其二是摩擦力小于重力，那么圓環一直做勻加速運動，而直桿先向上做勻減速運動，后向下做勻加速運動，二者不可能達到共同速度。其三是摩擦力與重力大小相等，那么圓環一直做勻速運動，在直桿觸地瞬時二者達到共同速度。

在解答有關直桿與圓環組合體的落地反彈問題時，首先要根據摩擦力與重力的大小關系來確定兩個物體的運動過程及形式，然后應用相關的物理規律進行解答，下面按兩種情形進行舉例分析。

1 摩擦力大于重力

在摩擦力大于重力的情況下，在直桿每次觸地后，兩個物體在相對運動的過程中必達到共同速度，此時摩擦力消失，然后一起做勻加速運動。

例1：如圖1所示，一個圓環A套在一根長度為L均勻圓柱形木棒B的上端，環和棒的質量都為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為1.5mg。開始時棒的下端離地面高度為H(L>2H)，二者由靜止開始自由下落，棒與水平地面發生碰撞，設碰撞時間極短，且無機械能損失，空氣阻力忽略不計，棒始終保持豎直。求：

(2) 在木棒第二次觸地前，要使圓環不脫離木棒，木棒至少為多長？

(3) 若摩擦力大小為f=kmg(k>1)，在木棒從第一次觸地后到第n次觸地的過程中圓環運動的位移為多少？木棒運動的路程為多少？

基于圖3所示概率圖，在基于波束成形的一對一無線充電過程中，情況1-情況4發生的概率可分別用pc1、pc2、pc3、pc4表示：

點評：解題關鍵是直接利用了一個結論，即在摩擦力大于重力的條件下，直桿與圓環的組合體在每次下落反彈后的相對運動過程中必達到共同速度。還利用了多種方法求解，如利用相對加速度法和運動學公式求解圓環的相對位移，利用整體法和能量守恒定律或動能定理列方程求解木棒觸地時的速度，利用歸納法、等比數列求和公式求解圓環的相對位移和木棒運動的路程。

2 摩擦力小于重力

在摩擦力小于重力的情況下，兩個物體在相對運動過程中不可能達到共同速度，因此摩擦力不可能消失，那么直桿的運動類似于豎直上拋運動。

例2：如圖1所示，一個圓環A套在一根均勻的圓柱形直桿B上，環和桿的質量都為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為0.5mg。開始時桿的下端離地面高度為H，二者由靜止開始自由下落，桿與地面發生碰撞，設碰撞時間極短，無機械能損失，空氣阻力忽略不計，而且桿始終保持豎直。若桿第一次觸地到第四次觸地前圓環不脫離桿，求：

(1) 直桿的長度至少為多大？

(2) 在直桿第四次觸地時圓環的速度為多大？

(3) 在直桿第一次觸地到第四次觸地的過程中，系統損失的機械能為多少？

點評：解題關鍵是判斷圓環一直做勻加速運動以及直桿的往返運動

類似于豎直上拋運動，該運動過程所對應的兩個狀態都是直桿觸地，因此圓環的位移與其在直桿上的相對位移相等。

總之，對于在豎直方向的直桿與圓環的組合體落地反彈問題的解答，首先要明確圓環受到的摩擦力與重力的大小關系，然后分析兩個物體的運動形式和運動過程以及能否達到共同速度。