摘要:“比”是什么時候開始作小學數學教學的內容的,比的定義在小學數學教材中如何變化,這些變化又給小學數學的教學帶來怎樣的啟示?筆者追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷,鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景,繼承發揚解讀“比定義”的教學啟示。
關鍵詞:“比”的定義;變化;意義
“比”是什么時候開始作小學數學教學的內容的,比的定義在小學數學教材中如何變化,本文試圖根據文獻資料,談“比的定義”的歷史沿革及教學啟示。
一、追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷
“比和比例”并不是自古以來就是小學數學教學的內容。筆者從清朝末年政府頒布的兩個“學堂章程”即1902年的《欽定蒙學堂章程》和《欽定中學堂章程》入手,查閱有關“比和比例”內容,在1923年的《新學制課程標準綱要(初級中學算學課程綱要)》中,發現了比例的內容,之后40年該內容都屬于初中教學內容。人民教育出版社1959年出版的《初級中學課本算術》中是這樣描述“比”:一個數是另一個數的幾倍或者幾分之幾,也可以說第一個數和第二個數的比是幾或者幾分之幾。當這一內容下放到小學階段進行學習后,其定義描述相比較初中要來的形象一些,在1963年人教社出版的《十年制學校小學課本算術(第十冊)》中定義已做微調,教材借助具體例子進行描述“我們常常要比較兩個數量的倍數關系,比如紅旗的長和寬,不說長是寬的幾倍或寬是長的幾分之幾,只說長和寬的比或者寬和長的比是多少”。從中我們清楚看到,初中教材中表示的是“數和數”的比,而下放到小學階段,則調整為“兩個數量的比”,同時教材中兩個數量倍數關系的書寫方式是帶“單位”的,也就是說,規定“兩個同類量才能相比,兩個不同類量是不能相比的”。而這一定義方式持續了近20來年時間后,由于實際應用和后續學習的需求,教材開始增設“異類量的比”,于是比的定義擴展為“兩個數相除又叫做兩個數的比”,當前大陸各主流版本教材大多還是以這一定義方式來解釋“比”,但是人教社2012版本教材卻對比的定義再次做出修訂,即“兩個數的比表示兩個數相除”。
二、鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景
擁有課程發展的歷史眼光和現實觀照,我們才能深刻理解課程改革的旨趣與實質,從而更加清晰理解概念的歷史變遷。盡管“比”的內容早在《周髀算經》中就有記載,但是將其作為教材內容進行學習,還是因受美國學制影響,中國“壬戌學制”頒布促就1923年課程標準綱要的產生,“比例”內容才正式被編進教材。隨著我國社會主義革命和建設事業的不斷發展,小學算術的學習內容越來越不能適應實際的需要,1957---1961年,全國開始了第三次課程改革,提出“現行小學算術教材內容,完全有必要增多和加深”,于是探索嘗試中學數學下移到小學。至此“比例”內容借助《十年制學校小學課本·算術(試用本)》正式進駐小學數學教材,定義也隨之進行了具體形象化的界定。此后數學課程改革經歷了“冒進期、文革期”,第六次課程改革提出了“撥亂反正,重建小學數學課程”,1977年8月8日,鄧小平同志指出“關鍵是教材,教材要反映出現代科學文化的先進水平,同時要符合我國的實際情況”。“比的定義”在這樣的歷史背景下,由于現實生活中有大量的異類量比的存在,且后續的正反比例學習也會出現“異類量比”,因此1981年的教材中,對“比”進行了補充,囊括了“同類量的比和異類量的比”,比定義進一步得到擴展。世紀之交,新一輪基礎教育課程改革拉開序幕,隨著《全日制義務教育數學課程標準》的實驗和修訂,“比定義”在深化課程改革的浪潮中,再一次經歷歷史洗禮,最終修訂為“兩個數的比表示兩個數相除”。
三、繼承發揚解讀“比定義”的教學啟示
1.解讀“比定義”概念的內涵。比的概念源于測量。當我們以乙為單位來度量甲時,叫做“甲比乙”,比較的結果指出“甲是乙的幾倍或幾分之幾”,由此而來,比的意義顯然是“比較兩個同類量之間的倍數關系”。在比較兩個同類量的過程中,還可以用同一個度量標準分別來度量每一種量,從而得到表示量的數,于是量的比就可以用表示它們的“數的比”來體現。這樣,要確定兩種量之間的倍數關系,只需對表示這兩個量的“數”做除法,從而得到數的比----數a除以數b即a:b。從除法運算來看,異類量也可以相除,且兩個異類量相比是客觀存在的,補充這一內容后,比的意義擴展為“兩個數相除又叫做兩個數的比”,它是同類量比和異類量比的概括。值得注意的是,兩個異類量的比必須有它的實際意義,它會延伸出一個新的量,如路程和時間比產生“速度”,總價和數量之比為“單價”等等。但不是任意兩個異類量都能相比,如“5支鋼筆與20千米的比”,一般來說就毫無意義,如“重量與時間的比”一般不屬于數學的研究范疇。由于“比”是通過兩個數相除的運算得到兩個量的倍比關系,為了避免描述方式產生歧義也為了凸顯比表示的是“量與量之間的關系”,因此,修訂版教材進一步完善了定義,解釋為“兩個數的比表示兩個數相除”。
2.深思“比定義”帶來的啟示。其一,小學數學的教學內容并不是一成不變的,而是在不斷的發展變化中。從“比的定義”內容在初中出現,到后續的下放到小學,比定義經歷了一次又一次的調整變化,體現了內容發展的與時俱進。從總體上來說,小學數學教學內容會不斷增減,初中甚至高中的內容都有可能以不同的形式下放到小學階段。如我們熟悉的方程、等式的基本性質等內容,這就要求小學數學教師要有開放的心態,不斷接受、不斷實踐,使得小學數學教學能適應時代發展的要求。其二,比定義隨著現實生活的需求、數學后續學習內容的需求以及對概念本質解讀的不斷深入,其概念的內涵更加豐厚、外延更加擴展,因此要求小學數學教師要不斷的學習。教師不能再是“一桶水”,而是要具備“長流水”,源源不斷的學習才能支撐起數學本體性知識的理解,從而深刻清晰的解讀數學教學內容的本質含義。其三,由于一些概念的重新定義或完善修訂,很大程度受客觀因素的影響,尤其是小學階段的概念定義更多的會借助“生活原型”來解釋,因此需要教師不斷探索新的教學內容與相應的教學方法,要積極尋找典型的生活原型,以便在教學中充分體現從具體到抽象的概念形成過程。
作者簡介:浙江省溫州市少年藝術學校,吳春敏,系朱樂平名師工作室“一課研究”成員。