人教社教材“比的定義”歷史沿革與啟示

摘要：“比”是什么時候開始作小學數學教學的內容的，比的定義在小學數學教材中如何變化，這些變化又給小學數學的教學帶來怎樣的啟示？筆者追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷，鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景，繼承發揚解讀“比定義”的教學啟示。

關鍵詞：“比”的定義；變化；意義

“比”是什么時候開始作小學數學教學的內容的，比的定義在小學數學教材中如何變化，本文試圖根據文獻資料，談“比的定義”的歷史沿革及教學啟示。

一、追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷

“比和比例”并不是自古以來就是小學數學教學的內容。筆者從清朝末年政府頒布的兩個“學堂章程”即1902年的《欽定蒙學堂章程》和《欽定中學堂章程》入手，查閱有關“比和比例”內容，在1923年的《新學制課程標準綱要（初級中學算學課程綱要）》中，發現了比例的內容，之后40年該內容都屬于初中教學內容。人民教育出版社1959年出版的《初級中學課本算術》中是這樣描述“比”：一個數是另一個數的幾倍或者幾分之幾，也可以說第一個數和第二個數的比是幾或者幾分之幾。當這一內容下放到小學階段進行學習后，其定義描述相比較初中要來的形象一些，在1963年人教社出版的《十年制學校小學課本算術（第十冊）》中定義已做微調，教材借助具體例子進行描述“我們常常要比較兩個數量的倍數關系，比如紅旗的長和寬，不說長是寬的幾倍或寬是長的幾分之幾，只說長和寬的比或者寬和長的比是多少”。從中我們清楚看到，初中教材中表示的是“數和數”的比，而下放到小學階段，則調整為“兩個數量的比”，同時教材中兩個數量倍數關系的書寫方式是帶“單位”的，也就是說，規定“兩個同類量才能相比，兩個不同類量是不能相比的”。而這一定義方式持續了近20來年時間后，由于實際應用和后續學習的需求，教材開始增設“異類量的比”，于是比的定義擴展為“兩個數相除又叫做兩個數的比”，當前大陸各主流版本教材大多還是以這一定義方式來解釋“比”，但是人教社2012版本教材卻對比的定義再次做出修訂，即“兩個數的比表示兩個數相除”。

二、鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景

擁有課程發展的歷史眼光和現實觀照，我們才能深刻理解課程改革的旨趣與實質，從而更加清晰理解概念的歷史變遷。盡管“比”的內容早在《周髀算經》中就有記載，但是將其作為教材內容進行學習，還是因受美國學制影響，中國“壬戌學制”頒布促就1923年課程標準綱要的產生，“比例”內容才正式被編進教材。隨著我國社會主義革命和建設事業的不斷發展，小學算術的學習內容越來越不能適應實際的需要，1957---1961年，全國開始了第三次課程改革，提出“現行小學算術教材內容，完全有必要增多和加深”，于是探索嘗試中學數學下移到小學。至此“比例”內容借助《十年制學校小學課本·算術（試用本）》正式進駐小學數學教材，定義也隨之進行了具體形象化的界定。此后數學課程改革經歷了“冒進期、文革期”，第六次課程改革提出了“撥亂反正，重建小學數學課程”，1977年8月8日，鄧小平同志指出“關鍵是教材，教材要反映出現代科學文化的先進水平，同時要符合我國的實際情況”。“比的定義”在這樣的歷史背景下，由于現實生活中有大量的異類量比的存在，且后續的正反比例學習也會出現“異類量比”，因此1981年的教材中，對“比”進行了補充，囊括了“同類量的比和異類量的比”，比定義進一步得到擴展。世紀之交，新一輪基礎教育課程改革拉開序幕，隨著《全日制義務教育數學課程標準》的實驗和修訂，“比定義”在深化課程改革的浪潮中，再一次經歷歷史洗禮，最終修訂為“兩個數的比表示兩個數相除”。

三、繼承發揚解讀“比定義”的教學啟示

1.解讀“比定義”概念的內涵。比的概念源于測量。當我們以乙為單位來度量甲時，叫做“甲比乙”，比較的結果指出“甲是乙的幾倍或幾分之幾”，由此而來，比的意義顯然是“比較兩個同類量之間的倍數關系”。在比較兩個同類量的過程中，還可以用同一個度量標準分別來度量每一種量，從而得到表示量的數，于是量的比就可以用表示它們的“數的比”來體現。這樣，要確定兩種量之間的倍數關系，只需對表示這兩個量的“數”做除法，從而得到數的比----數a除以數b即a：b。從除法運算來看，異類量也可以相除，且兩個異類量相比是客觀存在的，補充這一內容后，比的意義擴展為“兩個數相除又叫做兩個數的比”，它是同類量比和異類量比的概括。值得注意的是，兩個異類量的比必須有它的實際意義，它會延伸出一個新的量，如路程和時間比產生“速度”，總價和數量之比為“單價”等等。但不是任意兩個異類量都能相比，如“5支鋼筆與20千米的比”，一般來說就毫無意義，如“重量與時間的比”一般不屬于數學的研究范疇。由于“比”是通過兩個數相除的運算得到兩個量的倍比關系，為了避免描述方式產生歧義也為了凸顯比表示的是“量與量之間的關系”，因此，修訂版教材進一步完善了定義，解釋為“兩個數的比表示兩個數相除”。

2.深思“比定義”帶來的啟示。其一，小學數學的教學內容并不是一成不變的，而是在不斷的發展變化中。從“比的定義”內容在初中出現，到后續的下放到小學，比定義經歷了一次又一次的調整變化，體現了內容發展的與時俱進。從總體上來說，小學數學教學內容會不斷增減，初中甚至高中的內容都有可能以不同的形式下放到小學階段。如我們熟悉的方程、等式的基本性質等內容，這就要求小學數學教師要有開放的心態，不斷接受、不斷實踐，使得小學數學教學能適應時代發展的要求。其二，比定義隨著現實生活的需求、數學后續學習內容的需求以及對概念本質解讀的不斷深入，其概念的內涵更加豐厚、外延更加擴展，因此要求小學數學教師要不斷的學習。教師不能再是“一桶水”，而是要具備“長流水”，源源不斷的學習才能支撐起數學本體性知識的理解，從而深刻清晰的解讀數學教學內容的本質含義。其三，由于一些概念的重新定義或完善修訂，很大程度受客觀因素的影響，尤其是小學階段的概念定義更多的會借助“生活原型”來解釋，因此需要教師不斷探索新的教學內容與相應的教學方法，要積極尋找典型的生活原型，以便在教學中充分體現從具體到抽象的概念形成過程。

作者簡介：浙江省溫州市少年藝術學校，吳春敏，系朱樂平名師工作室“一課研究”成員。