部分簡單不定方程的求解問題的討論

郭夢媛 高麗

摘 要：利用一些基本的代數和數論方法總結出了關于二元一次不定方程的四種解法和關于二元二次不定方程的七種解法，為求解簡單的不定方程問題提供了便利。

關鍵詞：二元一次不定方程 二元二次不定方程 問題討論

中圖分類號：O112.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）02（a）-0211-021 一次不定方程的概述

一次不定方程是指未知量次數為一的不定方程，為方便計算，本文在此主要研究二元一次不定方程，即形如的方程，求其整數解的問題叫做解二元一次不定方程。

定理1[2]：二元一次不定方程有整數解的充要條件是。

定理2[2]：如果二元一次不定方程有整數解，則此方程一切解可以表示為。

1.1 視察法

在二元一次不定方程中，當系數以及的絕對值較小時，可以用觀察法求它的一個特解，從而得到其通解。

這種方法是很簡單，但是它的適應范圍比較有局限性，有些方程就會不變觀察，所以我們還需要繼續尋找其他方法。

1.2 輾轉相除法

輾轉相除法就是對整個不定方程用輾轉相除法，以此化為等價的不定方程，直至得到有一個變元的系數為的不定方程為止，這樣的不定方程是可以直接解出的。再依次反推上去，就可以得到原方程的通解。

例1：求方程的整數解

解

用輾轉相除法求特解

由

逆推得：

兩邊乘以5得：

即：

所以方程的一般解是

如果不定方程無解，則在實施這種算法時，到某一步就會直接看出，下面來舉一個例子。

例2：求的解

解

最后一式表明：不可能同時為整數，所以不定方程無解。

1.3 參數法

這種方法是解出系數絕對值較小的未知數，將其寫成幾個部分的和的形式，然后引進參數，于是便又得到一個新的不定方程，這時用觀察法便可得出新方程的特解，然后再用代入法就能得出原方程的特解，進而求出通解.下面用例子說明此種方法的解題過程：

例3：求整數解

解 從系數絕對值較小的解之得：

于是得到新不定方程

這時用觀察法便知，是新不定方程的特解。將代入得

所以原方程的通解為：

注：有時要求不定方程的正整數解，這時只需要均大于0，解不等式組便可求t的范圍，然后t取整數就可以得出正整數解了。

參數法一般對于系數較大的不定方程適用，最后再介紹一種其他的方法。

1.4 同余式法

定義：當且僅當時，我們稱與對模m同余，用記號可寫為：

例如：

對于方程就是兩個同余式：我們可選其中任一個并解出其變量，然后將結果代入原方程而求得其全部解，下面用例子說明其具體作法：

例4：求二元一次不定方程的一切整數解。

解 取模4得知原方程等價于同余式

上述同余式的解為

把代入原方程，得

由此得原方程的解為

以上介紹的四種方法便是解二元一次不定方程常用的幾種方法，當然了，每種方法都既有利，又有弊，所以我們在解題時要選擇一種合適的方法，這就需要我們多做題，總結經驗了。

2 簡單二次不定方程的解法探究

2.1 估計法

所謂估計法就是利用不等式估值，已達到縮小未知數的取值范圍的目的，然后求得不定方程的解或證明不定方程無解。

例5：求的正整數解

解：原方程兩邊同除以得

若，則故即由上式可知，故得時，時。由原方程中的對稱性，的原方程的正整數解為

2.2 數與式的分解

先把方程變形、分解，將含未知數的代數式化為積的形式，把常數寫成標準分解式，然后利用整數的唯一分解定理將原方程轉換成若干個方程組求解。這是解不定方程的一種十分有效的方法。

2.3 配方法

通過配方，使方程變形為一邊是平方和的形式，另一邊為常數，然后求解或判斷方程無解的方法稱為配方法。

例6：求的整數解

解 將原方程變形為，即

由上式得

當

于是有

解得

所以有：

解得

當，上式無整數解.

于是原方程的整數解是

2.4 分離整數法

把某些方程的一部分寫成分式的形式，然后從分式中分離出整數的部分，再對真分式進行分析，就能得到方程的解.

例7：求方程的整數解

解 將原方程變形得

顯然，故

又因為故即

又因為23為素數，所以時

與是原方程的解為

2.5 求根公式法

把不定方程看成是某個未知數的二次方程，然后利用二次方程的有關知識，有時能較快的解出方程或證明方程無解。

例8：求的整數解

解 當時，

當時，可將原方程看成是關于的二次方程，若它有整數解

設，則由韋達定理得

消去得即

由此得

解得

當時，；

當時，

所以原方程的整數解是。

綜上所述關于二元一次不定方程有四種解法，分別是：觀察法、輾轉相除法、參數法、同余式法和關于二元二次不定方程有七種解法，分別為：估計法、數與式的分解、配方法、分離整數法、求根公式法、奇偶討論法和同余法，本文主要分析前五種解法。

參考文獻

[1] 潘承洞，潘成彪.初等數論[M].北京：北京大學出版社，2003.

[2] 周煒.數論，群論，有限域[M].北京：清華大學出版社，2013.