淺談數學解題的自然性

唐模斌

【摘要】數學是一門高度抽象的學科，學數學離不開解題，解數學題需要有良好的思維品質。要想學好數學，必須要培養良好的數學思維習慣。很多學生對數學充滿恐懼，上課能聽懂，課后卻做不來題。因此，教師在組織教學的過程中，應力爭做到解題方法分析自然、求解或證明過程符合思維的自然性。注重解題方法的自然性，培養學生的數學直覺是提高學生數學素養的一條有效途徑。

【關鍵詞】自然性 數學直覺 數形結合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）17-0123-02

《高中數學課程標準》指出“人們在學習數學和應用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與構建等思維過程。”這些過程的落腳點就是數學思維方式和方法的自然性。本文將從幾個數學題的解法和思路分析當中探求解題方法的自然性及其對數學直覺思維的意義。

例1：已知函數f（x+a）=-f（x），求證f（x）為周期函數。

筆者在聽課時遇到一位老師是這樣講解的：這種題，討論函數的周期性一般的做法是猜想常數a的倍數是否是函數的周期，。

接著老師又出了一個變式題：已知函數，則T=________。

很快學生得出了答案：T=2a。表面上看，學生迅速地接受了這種題的解法，但是這絕對是一種假象。才講了例題，馬上給出一個變式練習，學生當然能依葫蘆畫瓢。但是時間久了，誰能確保學生還能記住這種經驗？“一般的做法是猜想常數a的倍數是否是函數的周期”這種處理方式非常不自然。學生肯定會疑惑為什么要這樣做。

筆者認為，此題引導學生從直覺上來認識這個問題更有利于學生對問題本質的把握。自變量加a，函數值變為相反數。一個很自然的想法是，自變量再加a，兩次取相反數，函數值就回到f（x）了。所以猜想函數的周期為2a。本題的關鍵是要能猜想出函數的周期，通過直覺分析比通過所謂的經驗去嘗試得到結果顯然更自然，學生掌握與運用也將更靈活。

例2：在ΔABC中，若對任意的λ∈R，都有，則ΔABC（ ）

A.一定為銳角三角形 B.一定為鈍角三角形

C.一定為直角三角形 D.可以為任意三角形

解法1：設AB=c，AC=b，BC=a，將兩邊平方得，即關于λ的不等式在R上恒成立。因此Δ≤0，整理為，再由正弦定理得又，故，則角C為直角，故選C

解法2：當λ=0時有AB≥BC，故角A只可能為銳角。如圖1所示，過點B作AC的平行線，顯然，對任意的。由題意，故，從而角C為直角。

評析：解法1通過平方得到關于λ的二次不等式，再借助一元二次不等式恒成立的等價條件以及利用正弦定理，通過代數運算得出角C為直角。解法2體現了數形結合思想，這種方法不僅對問題得出了一種直觀的認識，而且免去了繁雜的計算。通過這種方法，學生能更好地把握問題的本質。

例3：在銳角三角形ABC中，邊c=2，角，求三角形面積S的取值范圍。

解法1：由正弦定理，，又該三角形為銳角三角形，所以。所以。

解法2：如圖2所示：在半徑為的圓中，90°的圓心角所對的弦AB=2，則弦AB所對的圓周角為又三角形ABC為銳角三角形，故點C位于劣弧上。由圖可知，當C位于C1或C2時，S=2；當C位于劣弧的中點時，

評析：解法1從正弦定理與三角形面積公式出發，再利用積化和差公式求得結果。現行教材對積化和差公式已不作要求，學生很難想到這種方法。另一方面，數缺形時少直覺。解法2能以“形”的直觀啟迪思路，揭示出試題的幾何特征，變抽象為形象，使解法比較繁瑣的這道題變得簡單明了，學生更容易理解和入手解決。

例4：（1）已知函數，求f（x）的最大值。

（2）設函數若函數的最小值為g（a）求g（a）。

很多資料書都把這類問題歸類為“軸動區間定”和“軸定區間動”。這種歸納方法表面上看條理很清晰，實則是把簡單問題復雜化。學生學了物理就知道，運動是相對的，無論是“軸動”還是“區間動”，都可以看成對稱軸在運動。一元二次函數求最值關鍵看對稱軸與給定區間的位置關系，從直觀上對稱軸與區間的關系就只有“左邊”、“中間”、“右邊”三種情況。當然當二次函數開口向上（下）時，求最大（小）值時，對稱軸位于區間中間還應考慮對稱軸更靠近左邊還是右邊。因此，只考慮對稱軸位置的變換，討論的情況就形象直觀，學生接受起來簡單易懂。從位置關系來決定討論點顯得很自然，突出了問題的幾何特征，學生很容易理解和掌握。

例5：已知數列滿足a1=an=0，且當時，，令求S（An）的最大值。

參考答案：由，可設，則或，，，所以。

因為a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n為奇數，c1，c2，…，cn-1是由個1和個-1構成的數列。所以S（An）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cn-1）=（n-1）c1+（n-2）c2+…+2cn-2+cn-1。則當c1，c2，…，cn-1的前項取1，后項取-1時S（An）最大。此時，。

評析：本題的難點是得出，時S（An）取最大值。參考答案的做法過于抽象，解題思路不夠自然。若能從數形結合的角度來考慮就簡單明了。

則a2，a3，…an-1對應的點全部位于等腰直角三角形兩腰上面，否則a2，a3，…an-1對應的點就會有一些位于三角形內部，此時S（An）自然要小些。

在現行教育體制下，為了提高學生考試成績，很多老師急功近利，填鴨式地給學生灌輸各種所謂的經驗、技巧。然而數學問題千變萬化，誰能夠記住各種方法？沒有把握數學的本質，即使記住了很多方法，拿什么來發現與創新？愛因斯坦曾經說過：“想象比知識更重要。”所謂想象其實就是一種思維直覺，要想有所發現，有所創新必須具有超強的直覺。數學學科的教學必須讓學生對知識有一個直觀上的認識。發現問題的能力比解決問題的能力更重要。要有所發現、有所創新，必須培養超強的數學直覺。 從認知規律上講，直觀上的東西更容易被記住，運用起來更靈活。在以高考為主要目標的同時，我們可能有些忽視培養學生對知識的直觀體驗，因為這些東西在高考題中體現并不明顯。然而生搬硬套、死記硬背得來的數學知識終究缺乏靈活性，在實際應用中完全發揮不出來。數學直覺是數學研究能力的重要表現，過分強調對知識、技巧的記憶、數學學習太依賴模式化的解題經驗，學生的數學能力就得不到提高。這也就解釋了中國學生在國際上的一些學業水平測試中很有優勢，但是與之形成鮮明對比的是我們在諾貝爾獎、菲爾茨獎等國際大獎獲獎方面的巨大差距。數學知識的掌握必須要有一個直觀體驗過程。注重解題思路的自然性不僅可以提升學生的學習成績，更能加深學生對數學本質的直觀認識，從而提高學生的數學素養。