弗賴登塔爾數學教育思想下的教學設想

張榮延

一、弗賴登塔爾的數學教育思想

我國的基礎教育正逐步由應試教育向素質教育全面推進，由此帶來了教育觀念、教育思想等方面的轉變。荷蘭數學家弗萊登塔爾認為數學教育的主要特征是：“現實、數學化、再創造”，并指出：數學教育應是現實數學的教育；數學教育的目標應是學會“數學化”；“再創造”的核心是數學過程的再現。他的這些數學教育思想對我國數學素質教育有一定的啟示。

二、基于數學教育思想對“平面向量基本定理”的認識

（一）對情境的認識。弗賴登塔爾的數學化理論告訴我們，學生數學概念的習得應架構在他們已知的周圍世界里，數學教育就是要聯系生活的現實，學生的現實，教師的現實，要引導學生從現實世界的問題著手。因此，教材上的實例對于學生而言，不容易直觀地體驗與感受到定理的意義，基于此，在教學設計中從情景問題、與實際生活相聯系的問題出發，重新優化整合，構造與學生生活密切相關的數學現實，從而發展學生的數學現實。

（二）對平面向量基本定理的認識。教材首先引導學生作圖研究同一平面內兩個不共線的向量與任意向量的關系，通過向量線性運算的性質得出結論，最后呈現出平面向量基本定理的概念。從學生來看，平面向量基本定理的學習已經超過學生關于平面向量的認知水平和接受能力，成為學生學習過程中難以理解和掌握的內容。從教學來看，定理中的一些邏輯詞匯，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，難以傳授，這就使其教學常采用定理的表述—解釋—證明—應用模式，這樣的講義方式似乎與概念學習的“數學化”過程不相符，不利于學生概念的形成，還有可能會造成理解的偏離。本節課從情景問題出發，從現實數學的視角引入新課，引導學生在力的分解與向量的分解之間建立聯系，引出兩個具體的問題，通過師生互動、討論和分析得到猜想，進而通過作圖分解、論證、多媒體演示等方式驗證猜想中的任意性、存在性，得到定理的雛形。在這一過程中，可以培養學生數學邏輯推理能力。然后從數形兩個角度說明基底的不唯一性，完善定理的內容。最后揭示定理的意義和應用價值，提高學生對知識體系的整體認識，采用引導啟發的教學方式，使學生經歷提出問題、觀察猜想、驗證推理、概括總結、理解定理、鞏固應用的數學研究過程。

三、“平面向量基本定理”的教學過程設計

教學基本流程：情景導入→問題探究→類比再探→得出結論并探究“不共線”、“任意性”、“唯一性”→鞏固應用→交流心得→布置作業。

（一）設置情景，導入新課。問題1：大家小時候都玩過滑梯嗎？那你們有沒有想過為什么我們能從高處沿著滑梯滑到地面呢？

預設：學生可能會用學過的物理知識去解釋，是因為重力的分解。教師引導學生再將這個問題轉化為數學問題：一個向量分解成兩個方向上的向量，那反過來說就是兩個方向上的向量可以表示同一平面內的某一個向量。

問題2：不共線的兩個向量是否可以表示平面內的任意向量？

[設計意圖]根據學生認知特點、已有的生活經驗和數學現實，從學生熟悉的力的分解和合成等物理背景出發，幫助他們構造認知引導學生思考：對于給定平面內任一向量，是否可以類似地進行分解和合成？從而將目標引向教學主題。

（二）問題探究，得出結論。根據問題2引導學生動手做圖，并利用多媒體進行演示（如圖2）：

1.定起點——在平面內任取一點O；

2.平移——將三個向量平移到同一起點O；

3.構造——平行四邊形；

4.共線——向量共線定理。

探究結論：不共線的兩個向量可以表示平面內的任意向量，并且向量之間的關系表達式為。

[設計意圖]在這一環節中通過數學實驗，讓學生動手做圖，自主探索，積極思考，大膽概括，向學生滲透了數形結合的思想，體現了數學化思想。

（三）引領反思，類比再探。問題3：在問題2中我們給定的是兩個不共線的向量，那么兩個共線向量可以表示任意向量嗎？

預設：學生對該問題可能會判斷不清，教師要給予及時的指導解釋：若兩個共線的向量可以表示，那么只能是與共線的那些向量，而不是任意的向量。得出結論：平面內兩個共線向量不能表示任意向量。

[設計意圖]新課程標準中對平面向量基本定理的要求是了解，而本節課使用了兩個問題去發現、驗證和理解，一方面，希望學生能夠認識到這個定理的價值；另一方面，希望學生通過這節課的探究，經歷一個數學概念形成的過程，體會其中蘊含的數學化思維方式。

（四）總結規律，得出結論。問題4：根據以上探究請同學們歸納猜想平面向量基本定理。預設：（學生交流討論，教師啟發引導）若是同一平面內兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使。

問題5：向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，這組基底是否唯一？

預設：（學生討論并回答）此時教師利用幾何畫板在圖2的基礎上再次作圖（如圖3）過點O再任意作出兩個向量，再構建一個平行四邊形，會發現這組向量也可以表示任意的向量，即也是表示任意向量的一組基底。探究結論：基底不唯一。

[設計意圖]首先通過師生的共同探究，由學生根據探究口述定理，然后教師進行完善并歸納平面向量的基本定理，而且在探究的整個過程中學生都處于思維活躍的狀態，定理中需要教師“一個定理，三項注意”的提醒，如：“不共線”、“唯一”、“不唯一”，這些在前面的探究中都已經很好的展示并解決，學生已經主動構建了知識，這樣的教學是非常有效的。

（五）鞏固應用，交流心得。例 已知向量，求作向量。

問題6：這節課學習了什么內容？有哪些關鍵詞？要注意哪些問題？

（六）任務后延，拓展探究。作業：①必做題：第23頁，第2題，②選做題：第23頁，第3題。

[設計意圖]必做題是對課內知識的鞏固，選做題是為了讓學有余力的學生能夠有充分的發展空間。

（七）教學反思。本節課的設計有三個指導思想，分別是：發現和認識平面向量基本定理的形成過程；探究平面向量基本定理中的“三項注意”；處理好數學抽象與直觀圖像的關系。結合弗賴登塔爾的現實數學教育觀：數學教學就是要通過“數學化”的方式來完成，其中最有效的方法就是引導學生“再創造”。只有這樣教學才能有好的效果，學生才能深入認識新概念新思想。

參考文獻：

[1]方均斌.數學教學設計與案例分析[M].杭州：浙江大學出版社，2012.

[2]張奠宙.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]劉紹學普通高中課程標準教科書A版·數學3（必修）教師教學用書[M].北京：人民出版社，2007.

[4]李斐真.試論弗萊登塔爾的數學教育思想及其啟示[J].寧波教育學院學報，2002.