例談競賽中含根號問題的解法

周友德

(安徽省蕪湖市無為縣蜀山鎮黃姑小學 238361)

一、利用平方差公式：a2-b2=a+ba-b

除了上述常見的分母有理化外，還有分子有理化：

故a

同理：

故x

評析利用平方差公式，將分數分母(或分子)有理化，從而使題目得到化簡，避免了繁瑣的解答.

二、利用完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2

例5 (2013年北京市初二競賽題改編)化簡

①②相加減即可得到如下公式：

評析利用完全平方公式，可以將含多個根號的數，逐步去根號，得到最終的答案，但是前提是知道根號下的數到底是什么數的平方，這才是關鍵.必需不斷的做題，練習，總結.

三、利用合情推理

……

評析合情推理是波利亞的"啟發法"中的一個推理模式2.就是從已有的知識和具體的事實經驗出發，通過觀察、實驗、類比、聯想、歸納、猜想等手段在某種情境和過程中推出可能性結論的推理．要做此類題時，一定要大膽猜想，通過對前幾項根號的逐步計算，通過合情推理，得出最終的結論.

四、利用完全立方公式：a+b3=a3+b3+3aba+b

?x3=4-3·x

?x3+3x-4=0

?x-1x2+x+4=0

?x=1

?x3=12+5x

?x3-5x-12=0

?x-3x2+3x+4=0

?x=3

評析通過完全立方公式a+b3=a3+b3+3aba+b化簡這類根號題，必須先令整個式子為x，然后兩邊三次方，從而解出實數x.但要注意兩個三次根號下的數必須是對偶數才可以用此法.

五、其他升級

1.綜合化歸

綜合化歸,即綜合前面所講的所有方法進行化歸，對學生的能力要求更高.

①+②+③得：

2.整體代換

解可得1994=2x-12即4x2=4x+1993，故4x3-1997x-1994=x(4x+1993)-1997x-1994=4x2-4x-1994=1993-1994=-1

?4x3-1997x-19942001=-12001=-1.

解可得3=a+12?a2-a+1=3-3a

?原式=a3a2-a+1+a2-a+1=a3+1a2-a+1

=a+1a2-a+12

=a+13-3a2

3.裂項變形

4.因式分解

評析含根號的題目變化萬千，但只要掌握其本質，就能一招制敵，要會舉一反三.這樣才能在做題時，多角度，多思維地去考慮，才能在做題中找到合適的方法.

通過以上的多種方法的化歸，轉化過渡，就能使問題能由繁變簡，由難變易，通過多元化的解題方法能讓學生更加體會到數學中的千變萬化的美.學生應在不斷做題中，在方法的不停的交匯中，就能達到自身水平的提高，這樣才會在解題時，找到渾然天成的解題方法.