中考以圓為背景的最值問題

程志南

(海南省瓊中縣中平(南方)學校初中部 572915)

一、應用軸對稱性

例1 (2016·黑龍江龍東)如圖1，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為 .

分析直接求解兩線段和PA+PB的最小值比較困難，考慮到圓的對稱性，故可作出某一點(如點A)的對稱點A′，此時PA′+PB=PA+PB.根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，可知A′B≤PA′+PB=PA+PB，由“兩點之間線段最短”知A′B即為所求.

評注本題實際上是“將軍飲馬問題”融進圓中動點問題.考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理和解直角三角形，熟記定理并作出圖形，將問題轉化為求另一條線段的最值是解題的關鍵.此類問題用“將軍飲馬的思想”去解決，先作對稱點，然后連結求最值.

二、應用垂線段最短

分析由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF的長度有最小值.

評注本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用.關鍵是根據運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形.

三、應用極值法

例3 (2016·四川瀘州)如圖3，在平面直角坐標系中，已知點A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，點P在以D(4，4)為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是____.

分析由題意∠BPC=90°和A、B兩點坐標，可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上點P到點A的最大距離即可解決問題，而這個最大距離的點P′就在圓外一點A到圓上的最遠點.

解∵A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，∴AB=1-(1-a)=a，CA=1+a-1=a，∴AB=AC.∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a.延長AD交⊙D于P′(如圖4)，此時AP′最大.∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD=5，∴AP′=5+1=6，即a的最大值為6.

評注本題將最值問題融進圓背景中，考查圓、最值問題、直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是發現PA=AB=AC=a.找出動點的極端位置往往能確定最值，而圖形的性質最容易在極端狀態和臨界情形顯露出來，所以在解決最值問題時，常常利用極端、臨界元素進行突破.

四、應用切線的性質

例4 (2010·江蘇蘇州)如圖5，已知A、B兩點的坐標分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標為(-1，0)，半徑為1.若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是( ).

分析關注△ABE，由于△ABE的底邊BE上的高OA是定值，若△ABE面積的最小，則BE最短.可以判斷當AD與⊙C相切時，BE最小.

評注本題主要考查了坐標與圖形的性質、勾股定理、切線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形面積的求法等知識.能夠正確判斷△ABE面積最小時AD與⊙C的位置是解題的關鍵.