一道拋物線定點(diǎn)問(wèn)題的命題手法探究

劉振龍

(福建省泉州市培元中學(xué) 362000)

一、試題呈現(xiàn)

(2017年石家莊市第一次模考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)M(m,2)，其焦點(diǎn)為F，且|MF|=2．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線C和圓F′:(x-1)2+y2=1相切，切點(diǎn)分別為A,B，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

解(1)利用拋物線的定義，可得拋物線C的方程為y2=4x，解法不再贅述．

二、解題反思

第(2)題存在多種解法，例如可以利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；或者利用O,B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作者在研究試題的多種解法之后，進(jìn)行了解題反思：命題者是如何發(fā)現(xiàn)直線AB過(guò)某一定點(diǎn)，從而命制試題？圓F′的方程是否有特殊限制？其命題手法是否可以借鑒？圍繞這些問(wèn)題，作者進(jìn)行更深層次的探究，發(fā)現(xiàn)該題的命制，是基于拋物線的切線性質(zhì)進(jìn)行的，其命題手法具有較強(qiáng)的借鑒作用．

三、命題手法探究

又∠A′AE，∠FAE都是銳角，所以∠A′AE=∠FAE，即切線AE為∠A′AF的平分線．

推論2：拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線上任一點(diǎn)A(異于頂點(diǎn))作切線，切線與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A′，則A′,E,F三點(diǎn)共線．

四、命題展示

在欣賞完本題的命題手法之后，作者效仿其命題思路，結(jié)合推論1、推論2，命制若干拋物線定點(diǎn)(定值)問(wèn)題，展示如下：

題1 設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C:y2=4x的切線，切點(diǎn)為A(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)E作直線AF的垂線l，求證：直線l必與某定圓相切，并求出該圓的方程．

題2 已知E(0,3)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C:y2=2px(p>0)的切線，切點(diǎn)為A(異于原點(diǎn))，連結(jié)AF，過(guò)點(diǎn)E作EB⊥AF于點(diǎn)B，求證：線段EB的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

題3 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，分別過(guò)A,B作拋物線的切線交y軸于點(diǎn)M,N，求證：以MN為直徑的圓必與直線l相切．