異質(zhì)隊列的分布式魯棒解耦控制

高 鋒 王曉彤

重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院，重慶，400044

0 引言

日益增加的用車需求給交通帶來了沉重的負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致交通堵塞等問題［1］。隊列行駛能夠提高交通效率和行駛安全性［2-3］。最早關(guān)于隊列控制的研究可追溯到20世紀(jì)80年代末美國PATH項目［4］。此后，科研人員進(jìn)一步對隊列控制涉及的跟車策略［4-6］、通信拓?fù)涞挠绊懀?-9］、通信延遲［10-11］、均質(zhì)和異質(zhì)隊列［12］等問題開展了廣泛研究。為實現(xiàn)更小的跟車間距和隊列穩(wěn)定性等性能，先進(jìn)的控制方法也得到了廣泛應(yīng)用，并實現(xiàn)了示范運行，如荷蘭GCDC項目［13］、歐洲SARTRE項目［14］和日本Energy-ITS項目［15］等。

總結(jié)現(xiàn)有成果，隊列控制主要有兩種設(shè)計方法。一種是把所有車輛作為整體考慮。基于該方法，GUO等［16］考慮參數(shù)不確定性、通信延遲和跟蹤性能設(shè)計了隊列控制器，其缺點是控制器僅適用于固定長度和通信拓?fù)涞年犃?。另一種采用分布式控制結(jié)構(gòu)，將隊列分解成多個子系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計。STANKOVIC等［17］基于該方法設(shè)計了狀態(tài)反饋次優(yōu)控制器；HERMAN等［18］提出一種無需引導(dǎo)車信息，保證隊列穩(wěn)定的雙向不對稱控制器；ZHENG等［10］給出了不同拓?fù)錀l件下，狀態(tài)反饋控制的漸進(jìn)穩(wěn)定條件。上述研究成果僅適用于均質(zhì)隊列，即所有節(jié)點動態(tài)特性一致，且未考慮模型誤差的影響，而實際隊列一般由不同車輛構(gòu)成，且動力傳動系統(tǒng)特性等難以精確建模，并隨環(huán)境和工作狀態(tài)變化。

此外，與一般的控制系統(tǒng)不同，為保證外部擾動引起的控制誤差沿隊列方向不被放大，隊列穩(wěn)定性也是需要考慮的重要性能。對于采用車載傳感器或簡單通信拓?fù)涞年犃?，如跟隨引導(dǎo)車［4-7］，其節(jié)點間耦合簡單，隊列穩(wěn)定性已得到深入研究［19-20］。近年，DSRC（dedicated short range communication）、VANET（vehicular ad-hoc networks）等技術(shù)的發(fā)展，使得無線通信用于隊列控制成為可能。但是無線通信會產(chǎn)生延遲和數(shù)據(jù)丟失，增大不確定性，同時車輛節(jié)點間的信息耦合也更加復(fù)雜［21］，已有隊列穩(wěn)定性理論不再適用，因此，基于解耦策略設(shè)計隊列控制系統(tǒng)時，需綜合考慮異質(zhì)性和模型誤差對穩(wěn)定性、跟蹤性能和隊列穩(wěn)定性的影響。

本文針對異質(zhì)隊列，提出了一種分布式魯棒性能控制器的解耦設(shè)計方法。該方法采用乘性不確定性模型描述車輛及下位控制器構(gòu)成的車輛節(jié)點的動態(tài)特性。在對通信矩陣對角化分解基礎(chǔ)上，通過線性變換實現(xiàn)系統(tǒng)解耦，將其分解成范數(shù)有界的不確定部分和一個確定的對角系統(tǒng)。應(yīng)用H∞理論對系統(tǒng)的魯棒性能進(jìn)行分析，并給出了隊列穩(wěn)定的充分條件。最后通過臺架試驗對比驗證了所提方法的有效性。

1 問題描述

研究的隊列如圖1所示，由N+1輛車構(gòu)成，可包含多種通信拓?fù)洌绺S型、引導(dǎo)車跟隨型、雙向型等［10］。

圖1 異質(zhì)隊列Fig.1 Heterogeneous vehicular platoon

文中引入如下縮寫和符號：RN×N為N×N階實數(shù)矩陣；s為拉普拉斯算子；1N是元素全為1的向量，1N∈ RN；diag(A1,A2,…,AN)為由元素Ai構(gòu)成的對角陣；I為單位陣；0為零矩陣；‖·‖2和‖·‖∞為信號的L2范數(shù)和導(dǎo)出范數(shù)（H∞范數(shù)）；σ(·)為奇異值(·)和-σ(·)表示最大和最小奇異值。

1.1 節(jié)點動力學(xué)和拓?fù)淠Ｐ?/h3>

隊列采用分層結(jié)構(gòu)，節(jié)點i由車輛縱向動力學(xué)和下層控制器構(gòu)成下位系統(tǒng)的動態(tài)特性，采用乘性不確定性模型描述［22］：

式中，pi為位移；vi為速度；ai為加速度；ui為期望加速度（控制輸入；P(s)為標(biāo)稱模型；Ω(s)為權(quán)函數(shù)；Δi為歸一化后的不確定性，滿足‖Δi‖∞＜1，包含節(jié)點異質(zhì)性和建模誤差。

通信拓?fù)銰采用圖論法描述［8］：

其中，L是Laplacian矩陣，L=[lij]∈RN×N。若節(jié)點i與節(jié)點j通信，則lij=-1，否則lij=0。L的對角元素滿足P是Pining矩陣，P=diag(g1,g2,…,gN)，用來描述引導(dǎo)車和跟隨車之間的關(guān)系。若引導(dǎo)車和節(jié)點i通信，則gi=1，否則gi=0。與節(jié)點i通信的車輛構(gòu)成的集合為

1.2 分布式控制器

隊列采用恒定車距策略［3］，控制目標(biāo)為

式中，di,0為期望車間距；p0(t)和v0(t)分別為引導(dǎo)車的位置和速度。

采用如下基于狀態(tài)反饋的分布式控制器進(jìn)行隊列控制［18］：

式中，Ks、Kv和 Ka為反饋系數(shù)。

為應(yīng)用H∞理論，將式（1）轉(zhuǎn)化為線性分式形式：

進(jìn)一步考慮式（3），定義誤差ei(s)=pi(s)-p0(s)-di,0/s和 K(s)=Ks+Kvs+Kas2，式（4）轉(zhuǎn)化為

由式（2）、式（5）和式（6）得到隊列控制系統(tǒng)模型：

Δ=diag(Δ1,Δ2,…,ΔN)滿 足 ‖Δ‖∞＜ 1［23］。 式（7）將隊列控制系統(tǒng)分解成確定和不確定部分，便于應(yīng)用H∞理論設(shè)計分布式控制器。

2 控制系統(tǒng)解耦

原控制系統(tǒng)中，G使節(jié)點間產(chǎn)生耦合，增加了系統(tǒng)綜合的復(fù)雜度。本節(jié)介紹如何通過線性變換實現(xiàn)系統(tǒng)解耦，原理如圖2所示。

圖2 隊列控制系統(tǒng)解耦Fig.2 Decoupling of vehicular platoon

對于無定向通信拓?fù)渚哂腥缦绿卣髦捣纸猓?0］：

式中，λi為G的特征值；X由特征向量構(gòu)成，X∈RN。

式中，β為模型誤差的上界。

將式（8）代入式（7）得到

3 分布式H∞隊列控制系統(tǒng)分析

根據(jù)式（3）的隊列控制目標(biāo)，設(shè)計控制器時需

要滿足：①具有良好的魯棒穩(wěn)定性；②具有良好的抗擾動能力性能；③具有隊列穩(wěn)定性。

3.1 魯棒穩(wěn)定性

為方便控制器設(shè)計，由式（9）和式（11）得到新的隊列系統(tǒng)方程如下：

Twz(s)的元素為

根據(jù)小增益定理知，式（7）魯棒穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)下式成立：

由于‖Δ‖∞≤β，式（14）成立等價于

進(jìn)一步，由1Na0(s)=[a0(s)a0(s)…a0(s)]T（a0(s)為引導(dǎo)車加速度）和sΓ0=s[d10d20… dN0]T可得

將式（14）～式（16）代入式（12）得

由‖W(s)‖2≤ ‖Z(s)‖2和式（17）可知，由模型誤差引起的擾動滿足：綜合上述分析可知，當(dāng)分布式控制器使得各子系統(tǒng)滿足式（15）時，隊列魯棒穩(wěn)定。

3.2 魯棒性能分析

為分析隊列跟蹤性能，由式（9）和式（11）得到

類似于魯棒穩(wěn)定性的分析，由式（19）可得

若分布式控制器K(s)使得各子系統(tǒng)同時滿足式（18）和下式

則此時跟蹤誤差滿足如下魯棒性能要求：

3.3 隊列穩(wěn)定性

采用分布式狀態(tài)反饋控制策略時，引導(dǎo)車信息是保證隊列穩(wěn)定性的必要條件［9］。因此，在跟隨車均能與引導(dǎo)車通信的條件下（P=I）對隊列穩(wěn)定性進(jìn)行分析。由式（2）可以得到

可知1是G的特征值，對應(yīng)特征向量為1N。為分析解耦特性，定義如下特征值分解：

式中，Λ1為由λi構(gòu)成的對角陣，λi≠ 1。

由X-1X=XX-1=I得到

進(jìn)一步，由式（24）和式（25）可得

因 Λ1由 λi構(gòu)成，當(dāng)且僅當(dāng)·1N=0時，式（28）成立。

根據(jù)上述分解，由式（25）和式（26）將式（7）分解為

式（29）中第二個等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

進(jìn)一步，由式（26）和式（30）可得

將式（31）代入式（29）第一個等式，結(jié)合式（26），有

兩邊同乘X1和考慮得到

將式（34）代入式（32）得到隊列等效解耦形式

可以看出，引導(dǎo)車信息能夠使各子系統(tǒng)實現(xiàn)解耦：

根據(jù)文獻(xiàn)［24］，當(dāng)K(s)可鎮(zhèn)定P(s)[1+ Ω (s)Δi]時，隊列穩(wěn)定，且控制誤差滿足‖ei(s)‖2≤

4 臺架試驗驗證和分析

本節(jié)通過圖3所示的臺架試驗驗證提出的解耦魯棒控制方法的有效性。車輛模型運行在NI的PXI實時仿真平臺上，控制算法運行在i.MX6開發(fā)板上，節(jié)點間的無線通信通過該開發(fā)板的wifi通信模擬，實時仿真平臺和開發(fā)板之間通過CAN總線傳輸信號。

圖3 臺架測試平臺Fig.3 Test bench

實驗時，隊列每個節(jié)點模型由車輛逆模型和縱向動力學(xué)模型組成，采用分層控制結(jié)構(gòu)，將隊列控制器產(chǎn)生的期望加速度輸入到下位控制器，計算得到節(jié)氣門/制動指令［22-24］。隊列的期望跟車距離為20 m。引導(dǎo)車初始速度為20 m/s，10 s處加速，其加速度曲線如圖4所示。

圖4 引導(dǎo)車加速度Fig.4 Acceleration profile of leader

4.1 魯棒性能

測試隊列包括6輛車（含引導(dǎo)車），采用雙向通信拓?fù)洌?0］，此時 G 的特征值分別為 0.08、0.69、1.72、2.83和3.68。將測試結(jié)果與非魯棒控制器K(s)=-s2-4s-0.4進(jìn)行對比，無模型誤差時的距離誤差如圖5所示。引導(dǎo)車停止加速后約20 s時，距離誤差收斂至零且無明顯振蕩。

圖5 無模型誤差的距離誤差Fig.5 Distance tracking error when no model errors

無模型誤差時系統(tǒng)雖然穩(wěn)定，但由式（13）可知，當(dāng) Δi≠0 時，max(||τwz(λi,s)||∞)=1.1＞ 1，隊列可能不穩(wěn)定。考慮車輛質(zhì)量對車輛特性影響較大，將其作為不確定因素。當(dāng)車輛質(zhì)量隨機產(chǎn)生（1.No.1，2.No.2，3.No.3，4.No.4，5.No.5，圖6a所示）時，非魯棒控制器產(chǎn)生振蕩劇烈（圖6b），此時設(shè)計的魯棒控制器K(s)=-0.6s2-2.7s-0.5，max(||τwz(λi,s)||∞)=0.86＜ 1。距離誤差如圖6c所示，距離誤差最大值約13 m。引導(dǎo)車停止加速后，約50 s收斂至零且無明顯振蕩。與非魯棒控制器相比，隊列的魯棒穩(wěn)定性能得到顯著改善。但由于提高魯棒穩(wěn)定性需要犧牲其他性能［24］，所以收斂時間和最大誤差有所增加。

圖6 節(jié)點模型存在誤差的測試結(jié)果Fig.6 Test results with model errors

4.2 異質(zhì)隊列穩(wěn)定性

本節(jié)對比雙向通信（BD）和雙向引導(dǎo)車通信（BDL）兩種通信拓?fù)洌?0］。跟蹤性能由最大距離誤差衡量，結(jié)果如圖7所示。雖然雙向通信拓?fù)湎孪到y(tǒng)穩(wěn)定，但最大誤差隨隊列長度線性增大，隊列不穩(wěn)定。而采用雙向引導(dǎo)車通信拓?fù)洌嚯x誤差不隨隊列長度增大而增大，此時隊列穩(wěn)定，與前文的理論分析一致。

圖7 最大距離跟蹤誤差與隊列長度的關(guān)系Fig.7 Maximum distance tracking error vs.platoon length

5 結(jié)論

（1）對于分布式隊列控制系統(tǒng)，節(jié)點動力學(xué)異質(zhì)性和建模誤差可能引起系統(tǒng)性能衰減，進(jìn)行控制器設(shè)計時，需要考慮魯棒穩(wěn)定性和跟蹤性能。

（2）本文提出的分布式魯棒解耦控制器設(shè)計方法能夠保證隊列的魯棒穩(wěn)定性，跟蹤性能和隊列穩(wěn)定性。

（3）與跟隨車信息相比，引導(dǎo)車信息對提高控制性能更加重要，且能夠?qū)崿F(xiàn)通信連接引起的動力學(xué)特性耦合的解耦。