中國股票市場的波動率聚集性研究
——基于Markov機制轉換Copu1a模型的實證分析

吳鑫育 ，李心丹，馬超群

（1.南京大學 工程管理學院，南京 210093；2.安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030；3.湖南大學 工商管理學院，長沙 410082）

“波動率聚集”是指金融資產價格的變化往往大的波動后緊跟著大的波動（高波動率的聚集），小的波動后緊跟著小的波動（低波動率的聚集）。波動率聚集是金融資產收益率序列中的一個重要特征，它反映了波動率的正相關性（即后一期的波動率與前一期的波動率的相關性為正）。事實上，波動率的相關性是波動率建模和預測的前提和依據，而波動率是資產組合配置、風險管理及期權定價中的一個重要變量。因此，準確描述波動率動態特征，考察波動率的相關性結構（波動率線性、非線性相關性及高、低波動率的非對稱相關性等），對波動率聚集性進行建模具有重要的意義，有助于加深對金融市場微觀結構的了解，為投資者和風險管理者提供信息和決策參考。

傳統上，學者們主要采用（G）ARCH模型和隨機波動率（SV）模型來捕獲波動率聚集性[1-3]。然而，這些模型并不能用于測度和解釋波動率聚集性。近年來，學者們提出了新的模型對波動率聚集性進行了考察。文獻[4-6]中提出基于Agent的模型來考察波動率聚集性；Jiang等[7]基于無標度網絡模型對金融市場的聚集行為進行了考察；Tseng等[8]提出一個量化方法來測度波動率聚集性；Xue等[9]提出了一個離散時間多階段的市場微觀結構模型來考察波動率聚集性；Stádník[10]探討了波動率聚集的金融學解釋；Kumar[11]考察了波動率聚集對期權效用無差別定價的影響。

綜上所述，已有研究主要考察的是正常市場條件下線性、對稱的波動率聚集性，但對極端市場條件下的波動率聚集性及其可能存在的尾部非線性、非對稱以及動態特征的考察還非常少見[12]，但是，文獻[12]中沒有考慮波動率聚集的動態性。鑒于此，本文采用Copula方法來捕獲和測度中國股票市場的波動率聚集性。Copula方法是金融市場變量相關性結構研究中的一種重要方法，它能靈活且有效地捕獲金融市場變量間復雜的相關性結構，如非線性相關性、極端市場條件下的尾部相關性、非對稱相關性以及動態相關性等。此外，Copula允許對金融市場變量的邊際分布與相關性結構分別進行建模，通過選擇不同的邊際分布和Copula來構造復雜的非正態聯合分布，這使得建模的靈活性增加，有助于充分刻畫金融市場變量（如波動率）的“偏斜”“尖峰厚尾”等非正態特征。因此，Copula在金融學文獻中引起了眾多學者的關注[13-14]。

傳統靜態Copula模型假定相關性參數是常數，不能捕獲變量間的動態相關性結構。為了克服該問題，近年來，學者們提出了許多動態Copula模型，例如時變Copula模型[15-16]、半參數動態Copula模型[17]、隨機Copula模型[18]以及Markov機制轉換Copula模型[19-21]。Manner等[22]對這些動態時變Copula模型進行了綜述，研究表明，Markov機制轉換Copula模型相比其他動態Copula模型具有更為優越的數據擬合效果，且模型較為簡單、易于實現。

鑒于Markov機制轉換Copula模型在理論與實踐中的優越性，以及為了彌補目前國內學者對中國股票市場的波動率聚集性研究的不足，本文通過考察極端市場條件下我國股票市場波動率的尾部相關性結構，選擇合適的Copula函數，構建相應的Markov機制轉換Copula模型，對中國股票市場的波動率聚集性進行研究，考察波動率聚集可能存在的尾部非對稱、動態特征。

1 Markov機制轉換Copu1a模型

1.1 模型構建

這部分構建Markov機制轉換Copula模型來描述波動率聚集性（波動率期限結構）。令x t為股票收益率的波動率，波動率聚集性即由t和t-1時刻的連續波動率變量x t和x t-1的聯合分布函數H（x t，x t-1）刻 畫。根 據Sklar定 理，存 在 一 個CopulaC（·，·）：[0，1]2→[0，1]，使得

式中：u1=F（x t），u2=F（x t-1），分別為x t和x t-1的邊際分布函數；θ為Copula的參數向量。可見，Copula是由均勻分布在區間[0，1]上的邊際分布u1=F（x t）和u2=F（x t-1）構造的一個聯合分布函數，它充分捕獲了連續波動率變量x t與x t-1的相關性（波動率聚集性）。

基于Copula可以方便地測度兩變量在極端市場情形下的尾部相關性，即兩變量同時處于下（左）尾或上（右）尾的概率。連續波動率變量x t和x t-1的下尾和上尾相關系數分別為：

式中，λL，λU∈[0，1]。如果λL（λU）∈（0，1]，則x t和x t-1存在下（上）尾相關性；如果λL（λU）=0，則x t和x t-1不存在下（上）尾相關性。通過選擇不同的Copula函數可以刻畫不同的尾部相關性結構。實際中，常用的Copula函數及其各Copula函數的尾部相關性表達式如下所示：

可見，Gaussian Copula不能描述尾部相關性，Student-tCopula能夠描述對稱的尾部相關性，Gumbel Copula和Survival Clayton Copula能夠描述上尾相關性，但不能描述下尾相關性，Survival Gumbel Copula和Clayton Copula能夠描述下尾相關性，但不能描述上尾相關性。

考慮到連續波動率變量可能同時存在下尾和上尾相關性，且呈現非對稱特征，因此，引入能同時捕獲下尾和上尾相關性的SJC（Symmetrized Joe Clayton）Copula。SJC Copula[15]通 過 對“BB7”Copula（也稱為Joe-Clayton Copula）[23]進行修正后得到。SJC Copula允許非對稱的下尾與上尾相關性，且包含對稱的尾部相關性為一個特例。因此，它是一個非常靈活的Copula。SJC Copula的表達式為

當λL=λU時，SJC Copula是對稱的。

另一種能同時捕獲下尾和上尾相關性的Copula是混合Copula。構建如下兩種混合Copula——Gumbel混 合Copula和Clayton混 合Copula：

式中：θ=（ω，α1，α2）′；CGum、CSG、CClay和CSC分別表示Gumbel Copula、Survival Gumbel Copula、Clayton Copula和Survival Clayton Copula函數；ω反映了具有下尾相關性的Copula（Survival Gumbel Copula和Clayton Copula）在混合Copula中的相對重要程度。對于Gumbel混合Copula，下尾和上尾相關性分別為：

對于Clayton混合Copula，下尾和上尾相關性分別為：

上述傳統靜態Copula假設相關性參數不隨時間變化，不能捕獲連續波動率變量間可能存在的尾部動態相關性，因此，需要將靜態Copula模型擴展為動態Copula模型。本文采用動態Copula模型中的Markov機制轉換Copula模型展開研究。在Copula函數中引入狀態變量st，假設st=｛0，1｝服從一個一階兩狀態的Markov過程，狀態轉移概率

設

由此，Copula參數隨狀態變量st的變化而變化，可以捕獲波動率聚集的尾部動態性。

1.2 模型參數估計

本文采用半參數的兩階段估計法，即IFM（Inference Function for Margins）方法[23]來估計Markov機制轉換Copula模型。第1階段，對股票收益率的波動率的邊際分布進行非參數估計；第2階段，將估計的邊際分布代入Copula函數中，估計出Copula參數。根據已有研究[23-24]，兩階段法是非常有效的估計方法，且在計算上容易處理。此外，半參數估計可以使邊際分布免于設定誤差，獲得穩健的Copula參數估計結果[25-26]。

為了能夠充分刻畫股票收益率的波動率的“偏斜”“尖峰厚尾”等經驗特征事實，本文采用非參數方法來估計邊際分布函數F（x）。具體地，根據重標度的經驗累積分布函數估計得到邊際分布函數：

式中，1｛·｝為示性函數。經驗累積分布函數重標度是為了確保Copula對數似然函數的一階條件對所有有窮的T有定義。根據Glivenko-Cantelli定理，一致收斂于真實的經驗累積分布函數F（x）。

在Markov機制轉換Copula模型中，待估計的參數向量給定波動率的經驗累積分布函數的非參數估計，運用極大似然方法獲得Markov機制轉換Copula模型參數的估計為

式中：⊙為Hadamard乘積；初始值設為無條件概率（遍歷概率），即

2 實證研究

本文采用上證綜合（SSE）指數和深證成份（SZSE）指數日內5 min高頻交易價格數據作為研究樣本。數據抽樣的時間跨度為2010-01-04～2015-12-31，兩指數均有69 600個日內觀測值。所有數據均來源于天軟數據庫。

眾所周知，波動率不能從金融市場中直接觀測得到。基于此，本文采用日內高頻交易數據構建已實現波動率作為隱波動率的代理變量。第t交易日已實現波動率定義為

式中：n為日內收益率總數目；rt，i=100（lnPt，ilnP t，i-1）為t交易日的第i個日內（對數）收益率。研究表明[27]，在理想的市場條件下（不存在市場微觀結構噪聲、資產可連續交易以及資產價格不存在跳躍），已實現波動率RV依概率收斂于積分波動率（Integrated Volatility，IV），即

式中，σ2（t）為波動率過程。

式（18）計算的已實現波動率RV忽略了重要的隔夜信息，實際應用中往往低估真實波動率。為了克服該問題，Hansen等[28]引入“隔夜效應”，構建了如下修正的已實現波動率：

式中，rt，0=100（lnPt-1，n-lnPt，0）為隔夜收益率，

μ0、μ1和μ2分別為（r2t，0+RV t）、r2t，0和RV t的均值。研究表明[28]，修正的已實現波動率RV*是真實波動率的一個非常有效的代理指標。鑒于此，本文運用式（20）來構建已實現波動率，并以此作為隱波動率的代理變量。

圖1為SSE和SZSE指數已實現波動率序列。

圖1 SSE和SZSE指數已實現波動率序列圖

表1給出兩指數已實現波動率的描述性統計量。由表1可見，兩指數已實現波動率均呈現正偏（偏度＞0），且存在尖峰、厚尾特征（峰度＞3），也都拒絕正態分布的假定（Jarque-Bera統計量顯著）。

根據式（11）計算得到已實現波動率的邊際分布，進而采用極大似然方法得到各Copula的參數估計結果，如表2所示。由表2可見，所有Copula的相關性參數估計值均在統計上顯著，表明滬深股市波動率聚集存在線性或非線性相關性。由Gaussian Copula和Student-tCopula的估計結果可見，滬市波動率聚集（線性）相關性約為0.75，深市波動率聚集（線性）相關性約為0.7，滬市相比深市呈現更為明顯的波動率聚集性特征。比較Gaussian Copula和Student-tCopula的估計結果，發現Student-tCopula具有更大的對數似然值和更小的AIC值，表明能描述尾部相關性的Student-tCopula具有更好的擬合效果以及滬深股市波動率聚集尾部相關性的存在。基于AIC信息準則，能同時描述下尾和上尾相關性，且允許非對稱的下尾和上尾相關性的SJC Copula在所有Copula中具有最好的擬合效果。由SJC Copula的估計結果可見，上尾相關性參數估計值相比下尾相關性參數估計值明顯更大，表明高波動率的聚集相比低波動率的聚集發生概率要更高，滬深股市波動率聚集具有尾部非對稱特征。

表1 描述性統計量

表2 Copu1a參數估計結果

對波動率聚集非對稱性的一種解釋是信息到達率[29]，即波動率聚集來源于信息到達在時間上的聚集。在金融市場中，極端的與平穩的時期在時間上是聚集的。在極端的金融市場危機時期，股票市場波動率較高，信息到達速度快、頻率高，從而導致更高的高波動率聚集的可能性。而在平穩時期，股票市場波動率較低，信息到達速度慢、頻率低，從而導致更低的低波動率聚集的可能性。

為了捕獲滬深股市波動率聚集可能存在的尾部動態特征，選擇Copula為具有最優擬合效果的SJC Copula，構建相應的Markov機制轉換Copula模型進行分析。運用極大似然參數估計方法，得到模型的參數估計結果，如表3所示。由表3可見，基于AIC信息準則，引入機制轉換后，SJC Copula模型的擬合能力有較大提高。在st=0下，滬深股市波動率聚集的下尾相關性分別為0.215 8和0.148 0，上尾相關性分別為0.760 9和0.634 0；在st=1下，滬深股市波動率聚集的下尾相關性分別為0.496 7和0.653 8，上尾相關性分別為0.537 5和0.470 0。無論是st=0或st=1，滬市上尾相關性均明顯大于下尾相關性。深市在st=0下，上尾相關性明顯大于下尾相關性；但在st=1下，下尾相關性明顯大于上尾相關性。采用Hamilton[30]算法，計算得到滬深股市波動率聚集濾過的下尾和上尾部動態過程：

如圖2、3所示。由圖2、3可見，滬深股市波動率聚集確實呈現明顯的尾部動態特征。

表3 Markov機制轉換SJC Copu1a模型參數估計結果

圖2 SSE指數波動率聚集的下、上尾部動態相關性

圖3 SZSE指數波動率聚集的下、上尾部動態相關性

3 結語

波動率聚集性是金融資產收益率序列中的一個重要特征，也是金融領域關注的重要問題。通過對波動率聚集性的研究有助于加深對金融市場微觀結構的了解，對資產組合配置、風險管理及期權定價都具有重要意義。本文構建了Markov機制轉換Copula模型來研究中國股票市場的波動率聚集性（波動率相關性結構）。采用上證綜合指數和深證成份指數日內高頻數據，構造已實現波動率作為隱波動率的代理變量，對中國股票市場進行了實證分析。結果表明，SJC Copula函數相比其他Copula函數能更好地刻畫中國股票市場的波動率聚集性，波動率聚集具有明顯的尾部非對稱特征，高波動率的聚集相比低波動率的聚集發生概率要更高。波動率聚集非對稱性表明，股票市場中壞時刻的聚集相比好時刻的聚集更頻繁，金融市場動蕩相比平穩具有更高的可能性。另外，基于Markov機制轉換SJC Copula模型的研究表明，中國股票市場的波動率聚集還展現出明顯的尾部動態特征。