隨機需求下蓄冷式多溫共配優化模型

王淑云 ，孫 虹，牟進進

（1.山東威海外事學院 管理學院，山東 威海 264504；2.煙臺大學 經濟管理學院，山東 煙臺 264005；3.東南大學 經濟管理學院，南京 211189；4.仁荷大學校FTA與物流研究院，韓國 仁川 22212）

隨著人們對冷鮮品需求的不斷增長，冷鏈物流業發展迅速。然而，由于冷鏈物流投資大、能耗高，冷鏈需求呈現少量多樣和不確定性，冷鏈配送的“最后一公里”日益成為制約冷鏈發展的瓶頸問題。

冷鏈品多溫共配問題是傳統單一冷鏈品配送問題的延伸，早期的研究大多是單一冷鏈品的配送問題[1-9]。臺灣地區的運營實踐表明，蓄冷式多溫共配作為無冷凍動力運載系統，用常溫車搭配蓄冷保溫箱即可同時運送不同品溫的冷鏈品，在確保品質的同時，與傳統冷凍車相比，實現節能40%以上，降低油耗約12%。理論研究上，Cho等[10]總結了臺灣地區的實踐經驗，論述了蓄冷式多溫共配模式的可行性；Kuo等[11]綜合分析食品冷鏈的框架體系，提出了多溫共配的實施模式；Hsu等[12]運用層級軸輻式網絡，構建了多溫共配優化路徑模型，并通過算例證明了蓄冷式多溫共配對少量多樣冷鏈品配送的適應性；劉剛伯[13]研究了多溫共配物流的設施規劃及自動倉儲動態指派問題，利用實際案例驗證了模型的有效性；王淑云等[14]、Hsu等[15]通過與傳統單品溫配送模式的比較，論證了蓄冷式多溫共配的經濟性。另外，由于冷鏈品需求量極易受季節、氣候等因素影響，物流配送在開始訪問顧客前，有時難以提前獲知確切的顧客需求，只有到達才能獲知具體信息。因此，本文以蓄冷式多溫共配為研究對象，對隨機需求下配送車輛到達顧客點才能得知具體需求信息的蓄冷式多溫共配路徑優化問題進行研究具有重要的理論與現實意義。

本文在Lei等[16]、Pandelis等[17]對補貨路徑研究的基礎上，首先依據所有顧客的歷史需求，綜合考慮配送過程中的固定成本、行駛成本、保溫箱成本、碳稅成本以及顧客需求的隨機性，以配送成本最小化為目標規劃初始配送路徑；然后，根據顧客的實際需求進行路徑再優化。建模中既考慮了正向配送，又考慮了因隨機需求而帶來的回程補貨問題。對于回程補貨模型構建既采用事前估計策略，又根據概率分布構造了多維冷鏈品剩余量分布圖用以決策可能的前行方案/回程方案。在算法設計中，將容量無法交叉使用的多區隔車廂的補貨路徑隨機動態規劃算法拓展至車容量可以交叉使用的蓄冷式多溫共配。建模及算法設計給出的多維車輛前行或回程補貨的路徑規劃方案及靈敏度分析可以為我國冷鏈配送提供切實可行的理論依據和方法指導。本文與上述文獻的區別在于：①考慮了需求的隨機性，而以往對蓄冷式多溫共配的優化研究針對的是確定性需求，這與現實不符；②以往有關隨機需求的配送問題針對的是單一品種或單一品溫冷鏈品，本文則是對多品溫冷鏈品的共同配送進行優化建模和算法設計及靈敏度分析。

1 隨機需求下蓄冷式多溫共配優化問題建模

1.1 建模思路

對隨機需求下配送車輛到達顧客點才能得知具體需求信息的路徑優化問題，通常，物流企業會依據所有潛在顧客的需求期望規劃出初始路徑，并依序訪問服務顧客。當然，如果物流企業在依序訪問顧客前能夠獲知具體需求，就可以基于初始規劃進行配送路徑的再優化。因此，本文采用預優化策略，即在顧客需求狀態還未確定之前確定路徑，當需求狀態確定之后再簡單地調整路徑。具體地，第1階段，根據顧客的需求均值構建初始路徑；第2階段，配送車輛按照預定的配送路徑行駛，并根據顧客的實際需求、剩余貨物量，判斷是否進行回程補貨，最終按次序為預先指定的顧客完成配送任務。

1.2 建模假設和參數描述

1.2.1 模型假設

（1）每條路徑起始于配送中心并終止于配送中心。

（2）每個顧客節點需求必須得到滿足，有且只有一輛車為其配送。

（3）配送車輛的規格完全相同，總容量為Q。

（4）顧客需求隨機，只有當車輛到達顧客點處才得知其實際需求量。

（5）顧客節點j的需求總量不超過配送車輛的容量Q，即

（6）在第1階段預先設計初始配送路徑時不允許配送車輛回程補貨，第2階段為了完全滿足顧客的實際需求，對回程補貨次數沒有限制。

（7）不允許缺貨，配送中心的配送車輛及貨源充足。

1.2.2 參數描述 變量參數及含義：

L——配送車輛數量，L=｛1，2，…，l｝

K——冷鏈品種類，K=｛1，2，…，k｝

N——顧客數量，N=｛0，1，…，n｝

f——配送車輛固定成本

c1——配送車輛單位時間的行駛成本

c2——配送車輛單位時間的碳排放量

ui——顧客i卸載冷鏈品的總時間

——顧客i對第h類冷鏈品的需求數量

——第v輛車從配送中心出發時間

——第v輛車返回配送中心的時間

tij——車輛從顧客i開往顧客j的運輸時間

ti——車輛到達顧客i的時間

g h——用于裝載第h類冷鏈品的蓄冷保溫箱成本

b——每輛車最多可裝載的蓄冷保溫箱的數量

q——每個蓄冷保溫箱可裝載的冷鏈品總量

α——碳排放價格

——0-1變量，表示第k輛車是否連續服務顧客i與顧客j（1-是；0-否）

——0-1變量，表示顧客i的冷鏈品是否由第k輛車配送（1-是；0-否）

zi——實數變量，避免產生子回路的變量

——第v輛車中裝載第h類冷鏈品所使用的蓄冷保溫箱的數量

1.3 隨機需求下蓄冷式多溫共配優化模型

1.3.1 初始配送路徑優化模型 蓄冷式多溫共配利用常溫車搭配蓄冷保溫箱進行配送，與多區隔車輛問題的區別在于裝有各個溫層冷鏈品的保溫箱可以同時混合放于常溫車的車廂中，只要總量不超過車廂容量即可。由于蓄冷保溫箱可保持冷鏈品所需的溫度長達12 h，故本文假定在配送過程中不會產生變質成本，即蓄冷式的配送成本包括固定成本、行駛成本、保溫箱成本以及碳稅成本，其分別為：

即蓄冷式多溫共配初始總成本為：

式（5）為目標函數，即配送總成本最小化；式（6）表示每個顧客僅被一輛車服務一次，且每條路線的起止點均為配送中心；式（7）表示每個顧客的流量守恒限制；式（8）表示只有一條最優行駛路線；式（9）表示每輛車最多只能使用一次；式（10）表示車輛到達后一個顧客j的時間，大于到達前一個顧客i的時間與顧客i服務時間，以及從顧客i到顧客j行駛時間之和；式（11）表示車輛到達第1個顧客i的時間，為車輛從配送中心出發的時間與配送中心到達顧客i行駛時間之和；式（12）表示車輛返回配送中心的時間，位于車輛服務完最后一個顧客j之后；式（13）表示時間窗限制；式（14）表示保溫箱數量限制；式（15）表示變量的值域限制。

1.3.2 回程補貨路徑優化模型 有關回程補貨策略，大多數文獻采用當出現缺貨時進行回程補貨，這種策略簡單但會延長配送時間，不僅造成配送成本增加，而且導致冷鏈品品質下降。本文采用事前估計策略，即在未出現缺貨時就根據顧客的需求概率判斷選擇直接駛向下一顧客節點還是返回配送中心補貨。

由式（1）～（4）可知，除了式（1）表示固定成本在初始配送路徑確定之后便為常數，式（3）表示保溫箱成本只與顧客需求相關，趨向于一定值（由顧客需求的期望值決定），式（2）、（4）表示行駛成本和碳稅成本與配送時間呈正相關關系。這樣，可以近似認為配送總成本與配送時間呈正相關關系。因此，在構建回程補貨路徑過程中，以配送時間最小化為目標不僅可以保持與原問題的一致性，還可以使得模型更具可讀性。

任一初始路徑r，如圖1所示，定義向量z i為配送車輛上第i種冷鏈品實時的剩余量，向量為顧客j對第i種冷鏈品的需求量，向量為顧客j對冷鏈品i的需求概率，其中，顧客節點j的需求總量不超過常溫車的容量Q，即。配送車輛完成顧客j的配送任務后，配送車輛可以選擇直接駛向下一顧客節點或先返回配送中心補貨，如圖2所示。其中，配送車輛返回配送中心補貨后即處于滿載狀態，第i種冷鏈品的補貨量為θi，其中，0≤θi≤Q，且

圖1 初始配送路徑

圖2 配送路徑選擇圖

為了清晰地描述建模過程，首先以兩種冷鏈品為例構建模型。如果配送車輛直接駛向下一顧客節點，有4種情況可能發生，如圖3所示。

圖3 冷鏈品剩余量分布圖

區域A為配送車輛上冷鏈品的剩余量能夠完全滿足顧客j+1的需求L；區域B、C為顧客j+1只有一種冷鏈品能夠得到滿足，此時配送車輛需要返回配送中心補貨，然后返回顧客j+1處完成配送任務；區域D為顧客j+1的兩種冷鏈品需求均未得到滿足，此時配送車輛需要返回配送中心補貨，然后返回顧客j+1處完成配送任務。

如果配送車輛直接返回配送中心補貨，則駛向顧客j+1。由于兩種冷鏈品匹配量的差別（暫不做討論，以后續顧客節點的需求量比例進行匹配），有可能發生兩種情況：顧客j+1得到完全滿足；只有一種冷鏈品能夠得到滿足，此時配送車輛需要重新返回配送中心補貨，以便完成配送任務。由假設條件可知，兩種冷鏈品都無法得到滿足的情況不可能發生。

綜上所述，當k=2時，隨機需求下蓄冷式多溫共配路徑r上的期望配送時間為：

式中，j∈｛1，2，…，nr｝。

下面將推廣到k為任意正數的模型中，定義向量=（z1，z2，…，zk）為配送車輛上各種冷鏈品實時的剩余量，向量為顧客j對各種冷鏈品的需求量，向量為顧客j的需求為的概率，其中，。配送車輛返回配送中心，各種冷鏈品的補貨量=（θ1，θ2，…，θk），其中，

完成顧客j的配送任務后，配送車輛可以選擇直接駛向下一顧客節點或先返回配送中心補貨。若直接駛向下一顧客節點j+1時，存在兩種可能的情況：①配送車輛上各種冷鏈品能夠完全滿足顧客節點j+1的 需求，即?i∈K，ξi≤z i均成立，令集合

則此種情況的配送成本為

②配送車輛上冷鏈品的剩余量不能完全滿足顧客節點j+1的需求，即，則配送車輛將在滿足顧客節點j+1的部分需求后，返回配送中心補貨后再次返回顧客節點j+1處，完成顧客節點j+1的配送任務，此種情況的配送時間為

綜上所述，直接駛向下一顧客節點j+1的期望配送時間為

返回配送中心補貨的期望配送成本為

綜上所述，完成顧客j的配送任務后的最小期望配送成本為

2 隨機需求下蓄冷式多溫共配的優化算法

首先運用蟻群算法規劃初始配送路徑，然后運用動態規劃算法規劃蓄冷式回程補貨路徑。鑒于蟻群算法均是經典算法，其步驟省略，這里重點就隨機動態規劃算法對回程補貨路徑的規劃進行分析。

根據式（17）～（19）進行編程，為了優化算法的編程，給出引理1和定理1：

引理1對于初始路徑r上所有顧客j=1，2，均成立。

證明當j=nr時，fnr（ˉz）=tnr0，成立。

當j＜nr時，由式（18）、（19）可得

如果配送車輛在顧客j處滿載，顯然要直接駛向下一顧客節點j+1，

由式（20）、（21）推導可得

下面的定理1描述顧客j被滿足后的最優車輛路徑戰略。

定理1

如果zk≥sj（z1，z2，…，z k-1），則配送車輛直接駛向下一顧客j+1最優。

（2）sj（z1，z2，…，zk-1）是非增函數。

證明定理1所表達的含義為：是非增函數，同時也需要證明）是非增函數。

令=（0，…，1，…，0），只有第i項為1，其他為0。若是非增函數，則由式（17）可得：

定理1的意義在于，它為所構建的數學模型提供了一個簡單的求解思路，該結果可有效用于動態編程的遞歸算法實現中。根據定理1，運用動態規劃算法規劃回程補貨路徑的具體步驟為：

（1）輸入初始參數。需求變量、車廂的容量Q、時間參數tij以及初始配送路徑。

（2）配送車輛按照初始配送路徑行駛到顧客節點j處，計算返回配送中心補貨的期望配送成本A j。

（3）按照逐漸遞增的次序逐個求解，直到，此時的即為定理1中的臨界值sj（z1，z2，…，z k-1）。如 果），則選擇直接駛向下一顧客節點j+1；否則，返回配送中心進行補貨。

（4）直到配送車輛返回配送中心，算法終止。

2 算例分析

2.1 算例描述

為了驗證上述模型與算法的有效性，以k=2為例，即一個配送中心為30個顧客節點配送冷藏、冷凍兩種冷鏈品，坐標（x，y）與Solomon標準算例中RC101的前31個坐標一致，如表1所示。顧客對冷藏和冷凍產品的需求相互獨立，分別服從[0，5]和[0，3]上均勻分布，且需求量為整數。常溫車輛的固定成本為100元，行駛速度恒為60 km/h，最多可轉載20個保溫箱，其他參數如表2所示。

表1 節點位置坐標

表2 相關參數值

2.2 算例求解

首先，運用蟻群算法規劃初始配送路徑，在Matlab 8.0中運行得到6條配送路徑，求解結果如表3所示，其中，各條路徑的初始配送時間分別為：131.9 min、149.6 min、142.2 min、118.4 min、126.3 min、120.1 min，總配送時間為788.5 min。同時，可求得各條路徑的初始配送成本。

其次，根據隨機動態規劃算法規劃回程補貨路徑。以路徑1為例，運用逆向遞推方法，由邊界條件，，求得

表3 初始配送路徑及時間

依次求得j=9，j=20，j=30，j=1時，兩種冷鏈品各種剩余量對應的配送時間，并獲得整數臨界值sj（z1，z2，…，z k-1），如表4～7所示的結果。最后，運用邊界條件：

求得路徑1配送車輛行駛時間期望值為116.9 min，加上在各顧客節點的卸貨時間可得期望配送時間的最小期望值為166.9 min。若配送車輛上兩種冷鏈品的剩余量落在黑框中，則配送車輛選擇直接駛向下一顧客節點；否則，配送車輛需先返回配送中心補貨然后為下一顧客節點配貨。例如，假設當配送車輛完成節點3（j=20）的配送任務后，兩種冷鏈品的剩余量分別為3和2，由表6可知，剩余量落在黑框內，此時配送車輛將直接駛向下一節點j=9進行服務。

表4 節點4(j=9)

表5 節點3(j=20)

表6 節點2(j=30)

表7 節點1(j=1)

同理，可求得路徑2～6配送時間的最小期望值分別為：187.4 min、173.5 min、134.0 min、148.0 min、139.1 min，總配送時間的最小期望值為949.0 min。同時，可求得最小期望固定成本、行駛成本、保溫箱成本和碳稅成本分別為：600.0元、649.0元、120.0元、9.7元，最小期望總成本為1 378.7元。通過運用蟻群算法和隨機動態規劃算法分別進行兩階段的求解，得到最終的求解結果如表8、9所示。

2.3 靈敏度分析

2.3.1 需求方差對配送時間及成本的影響 以下將在保持兩種冷鏈品的需求期望不變的基礎上，改變需求方差，進而分析需求方差對配送成本的影響。由于需求期望不變，故不會影響初始配送路徑，只會對回程補貨路徑造成影響。以路徑1為例，實驗數據如表10所示。

表8 配送時間匯總 min

表9 配送成本匯總 元

表10 需求方差變化后的配送時間/成本

由表10可知，在保持兩種冷鏈品需求不變的情況下，配送時間隨需求方差的降低而下降。由此可知，配送時間與需求方差呈正向關系，所以，當顧客的需求方差較大時會導致較高的配送成本。因此，冷鏈配送企業應采用數據挖掘等技術對顧客的需求量進行預測，以降低配送成本、提高企業利潤。

2.3.2 車容量對配送時間及成本的影響 為了探討車容量對配送成本的影響，在保持其他條件不變的前提下，觀察當車容量發生變化時，配送成本的波動情況。令車容量分別增加/減少4個單位，重新規劃初始配送路徑和回程補貨路徑，并計算出相應的配送時間和配送成本，相關數據如表11所示。

表11 車容量變化后的配送時間/成本

由表11可知，隨著車容量的增加，配送路徑數量、配送時間、配送成本及時間差相應減少，但是每條路徑的配送時間都在增加。由于冷鏈品的配送時效性較強，故配送企業需根據自身配送業務的特點選取適宜容量的配送車輛。

3 結語

本文以蓄冷式多溫共配為研究對象，將需求的隨機因素引入數學模型，能更好地貼近實際。首先，綜合考慮配送過程中的固定成本、行駛成本、保溫箱成本、碳稅成本及顧客需求隨機所引起的成本，以配送總成本最小化為目標，構建了隨機需求下蓄冷式多溫共配優化模型，并設計了優化算法，通過算例驗證了模型的有效性。對冷鏈品的需求特性、車廂容量對車隊規模、配送車輛路線、配送時間與配送成本影響的靈敏度分析表明，配送時間與需求方差呈正向關系，即意味著當顧客需求波動大時會導致較高的配送成本；車容量與配送路徑數量、配送時間、配送成本及期望配送時間與初始配送時間之差呈負向關系，亦意味著冷鏈配送企業需采用數據挖掘等技術對顧客的需求量進行預測，并根據配送業務的特點選取適宜容量的配送車輛，以降低配送成本、提高企業利潤。值得說明的是，盡管本文考慮了顧客需求的隨機性，但并未將配送時間隨機等因素考慮在內。另外，假定蓄冷保溫箱的體積相同，然而，在實際配送中，冷鏈物流企業有可能根據不同產品特點及顧客需求特點配備不同容量的蓄冷保溫箱。所有這些都可能成為今后研究的重要方向。