分數次微分方程邊值問題正解的存在性和唯一性

沈 英

(蘇州幼兒師范高等專科學校，江蘇蘇州 215131)

隨著分數次微積分理論研究取得了重大進展，分數階微分方程在物理、化學、控制、工程等各個領域描述了許多不同現象，這些現象相比整數階微分方程更能刻畫事物內在的實質問題.目前對分數階微分方程研究的方法比較多，其中不動點定理是較為常見且富有成效的工具，利用錐理論獲得了豐富的成果.Bai Z[1]利用錐拉伸與壓縮不動點定理，得到了分數階微分方程兩個正解的存在性.Liu Y[2]利用Avery-Peterson不動點定理獲得至少3個正解的存在性.Liang S H[3]利用上下解結合不動點定理也獲得了正解的存在性.但是，對于分數次微分方程邊值問題正解唯一性的研究不多.為此，本文主要研究如下的分數階多點邊值問題：

(1)

1 預備知識

定義偏序：

x,y∈C[0,1]，x≤y?x(t)≤y(t)，t∈[0,1].

為了證明問題(1)正解的唯一性，我們使用的基本定理是偏序集上的不動點定理[4-6].

定理1 設(E,≤)是偏序集，在E中存在一個度量單位d，則(E,d)是一個完備的度量空間.假設E滿足下列條件：如果{xn}在E中為一個單調非增數列，且xn→x，那么xn≤x，?n∈N.

設T:E→E為一個單調非增的映射，且d(Tx,Ty)≤d(x,y)-Ψ(d(x,y))，x≥y.其中，Ψ:[0,+)→[0,+)是連續且單調非增的函數，Ψ在(0,+)上有定義且.

如果存在x0∈E使得x0≤T(x0)，那么T有一個不動點.

考慮(E,≤)滿足條件(H1)：由于x和y是可以比較的，根據x,y∈E且存在z∈E.

定理2 假設定理1的條件和(H1)成立，則得到邊值問題(1)正解的唯一性.

引理1 若0<β<2,h∈C[0,1]，分數階多點邊值問題：

(2)

其中，

(3)

引理2 函數G(t,s)具有如下性質：

(a)G(t,s)是一個連續函數且G(t,s)≥0，?(t,s)∈[0,1]×[0,1]；

2 主要結論及其證明

定理3 邊值問題(1)中的f如果滿足下列條件：

(i)f(t,u(t))≠0，對任意的t∈Z?[0,1]，這里μ(Z)>0(μ為測度)，f：[0,1]×[0,+)→[0,+)是第二變量的單調非增的連續函數；

(ii)當u≥v，t∈[0,1]時，存在0<λ

則邊值問題(1)存在唯一的正解.

下面將驗證算子T滿足定理1和定理2所有的假設條件.

首先，當u,v∈K且u≥v時，通過條件(i)可得：

這就證明了算子T是單調非減的.

另一方面，當u≥v時，通過條件(ii)可得：

由于函數h(x)=ln(x+1)是單調非減的，通過條件(ii)可知:

=λln(‖u-v‖+1)·L

≤‖u-v‖-(‖u-v‖-ln(‖u-v‖+1)).

設ψ(x)=x-ln(x+1)，顯然ψ:[0,+)→[0,+)是連續單調非減函數，且有.此外，當u≥v時，則有：

d(Tu,Tv)≤d(u,v)-ψ(d(u,v)).

由于G(t,s)≥0，f≥0，則得到：

由定理1可知，對于邊值問題(1)至少有一個正解.如果(K,≤)滿足條件(H1)，那么由定理2可知該正解是唯一的.