面向關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)多層級維修服務(wù)的性能合同設(shè)計(jì)及激勵(lì)機(jī)制

秦緒偉 ，劉 虹 ，蔣忠中，紀(jì)俊杰

（東北大學(xué)1a.工商管理學(xué)院；1b.行為與服務(wù)運(yùn)作管理研究所，沈陽 110819）

近年來，越來越多的制造企業(yè)商務(wù)模式由賣產(chǎn)品轉(zhuǎn)變?yōu)橘u服務(wù)，其中關(guān)鍵設(shè)備制造業(yè)服務(wù)化趨勢尤為顯著，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)、高檔機(jī)床、高端服務(wù)器等[1-2]。售后服務(wù)逐漸成為關(guān)鍵設(shè)備制造行業(yè)極其重要的利潤增長來源，例如GE航空在2009年獲得850億美元收益，其中75%的收益來源于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)售后的備件和維修服務(wù)，比2007年度的65%顯著增加[3]，售后服務(wù)市場往往是產(chǎn)品銷售市場的4～5倍，甚至更高[4]。關(guān)鍵設(shè)備供應(yīng)商獲得高額利潤的同時(shí)，也日益加重運(yùn)營商購買這些服務(wù)的成本。因技術(shù)復(fù)雜性、維修難度和專業(yè)性等因素往往導(dǎo)致關(guān)鍵設(shè)備的整個(gè)生命周期，從產(chǎn)品設(shè)計(jì)到售后維修服務(wù)階段，都嚴(yán)重依賴于設(shè)備供應(yīng)商（OEM）或OEM 授權(quán)專業(yè)服務(wù)供應(yīng)商，這里統(tǒng)稱為供應(yīng)商。在關(guān)鍵設(shè)備制造-服務(wù)領(lǐng)域中這種特有的高度依賴性和傳統(tǒng)基于資源的維修合同（RBC）機(jī)制，共同導(dǎo)致運(yùn)營商與供應(yīng)商之間的激勵(lì)沖突，如圖1（a）所示。其原因在于[5]：RBC 合同規(guī)定運(yùn)營商基于維修服務(wù)所消耗的資源給予供應(yīng)商補(bǔ)償；運(yùn)營商希望關(guān)鍵設(shè)備具有高可靠性、減少故障停機(jī)和維修時(shí)間，而供應(yīng)商并沒有把設(shè)備可用度提高到運(yùn)營商所期望水平的動(dòng)力，提高可用度不僅意味著增加成本投入，還減少了設(shè)備售后維修服務(wù)業(yè)務(wù)量、影響服務(wù)收益。基于關(guān)鍵設(shè)備制造-服務(wù)領(lǐng)域出現(xiàn)的上述新問題，如何設(shè)計(jì)運(yùn)營商與供應(yīng)商之間的服務(wù)合同、改善激勵(lì)機(jī)制成為學(xué)術(shù)和工業(yè)界關(guān)注的焦點(diǎn)。

圖1 RBC合同和PBC合同的激勵(lì)機(jī)制示意圖

基于性能的合同（PBC）是關(guān)鍵設(shè)備供應(yīng)商與運(yùn)營商之間的新型服務(wù)合同，由美國國防部于2004年正式提出，并在美軍軍事裝備領(lǐng)域逐步擴(kuò)大實(shí)施，目前成為制造業(yè)巨頭GE、Rolls-Royce、IBM、Boeing 等公司重點(diǎn)推廣的合同選項(xiàng)。PBC 合同規(guī)定運(yùn)營商基于服務(wù)性能結(jié)果給予供應(yīng)商補(bǔ)償，而不是維修服務(wù)所消耗的備件、維修勞動(dòng)等資源，它由固定支付、性能指標(biāo)和激勵(lì)等構(gòu)成[6-7]。根據(jù)Guajardo等[5]對Rolls-Royce公司的2002～2007年60余家客戶700余臺航空發(fā)動(dòng)機(jī)維修數(shù)據(jù)研究證實(shí)，相對于RBC 合同時(shí)期，自實(shí)施PBC 合同以來，發(fā)動(dòng)機(jī)大修間隔時(shí)間平均增加790 h，正常飛行時(shí)間由6 016 h提高到6 575 h，發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性能力提高10%～25%，同時(shí)總體維修成本也大幅度減少。近幾年，PBC合同應(yīng)用實(shí)踐表明，相對RBC 合同，PBC合同實(shí)現(xiàn)了運(yùn)營商與供應(yīng)商之間的激勵(lì)聯(lián)盟，如圖1（b）所示，增強(qiáng)了對供應(yīng)商存在道德風(fēng)險(xiǎn)的服務(wù)能力的激勵(lì)，如產(chǎn)品可靠性。目前關(guān)于關(guān)鍵設(shè)備制造-服務(wù)領(lǐng)域的PBC 合同研究集中在如下方面：①PBC合同的內(nèi)涵、機(jī)制、風(fēng)險(xiǎn)等定性分析和應(yīng)用實(shí)證調(diào)查[5-8]；②PBC 合同背景下供應(yīng)商的服務(wù)能力集中優(yōu)化[9-11]；③以委托-代理理論為建模框架的PBC合同設(shè)計(jì)和激勵(lì)機(jī)制分析。本文與第3類研究密切相關(guān)，其研究進(jìn)展如下：Kim 等[12]最早研究了由固定價(jià)格合同、成本共擔(dān)合同和PBC 合同及組合構(gòu)成的維修服務(wù)合同設(shè)計(jì)問題，分析了合同類型選擇決策對供應(yīng)商投資服務(wù)能力的影響；Kim等[13]著重考慮了關(guān)鍵設(shè)備故障稀少且后果嚴(yán)重的風(fēng)險(xiǎn)特征，探討如何設(shè)計(jì)PBC合同才能激勵(lì)供應(yīng)商投資應(yīng)急維修能力，重點(diǎn)分析了故障頻率、恢復(fù)時(shí)間及組合對PBC 合同有效性的影響；Jain 等[14]考慮PBC合同導(dǎo)致的供應(yīng)商資金流風(fēng)險(xiǎn)特征，以雙側(cè)道德風(fēng)險(xiǎn)模型為框架，分別研究線性和分級線性兩種PBC合同結(jié)構(gòu)下的供應(yīng)商投資服務(wù)能力的規(guī)律；謝文明等[15]以有新設(shè)備加入和設(shè)備報(bào)廢退出影響下的動(dòng)態(tài)設(shè)備隊(duì)列為服務(wù)對象，以設(shè)備的維護(hù)數(shù)量、故障數(shù)量和報(bào)廢數(shù)量為性能指標(biāo)，研究OEM 與第三方維修服務(wù)供應(yīng)商之間的多周期PBC 合同設(shè)計(jì)問題。上述文獻(xiàn)中，PBC 合同設(shè)計(jì)均限定在單個(gè)供應(yīng)商與運(yùn)營商之間；從設(shè)備生命周期角度均只涉及設(shè)備售后階段，盡管設(shè)備制造階段的可靠性能力投入很大程度上決定了服役期間的可用度，跨越制造與售后兩階段的服務(wù)能力聯(lián)合決策還沒有涉及。

運(yùn)營商的核心生產(chǎn)設(shè)備系統(tǒng)往往由多個(gè)關(guān)鍵子系統(tǒng)通過串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)構(gòu)成，如熱電廠的汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)、飛機(jī)的航電系統(tǒng)和發(fā)動(dòng)機(jī)等。由于這些子系統(tǒng)的技術(shù)復(fù)雜性，各個(gè)子系統(tǒng)往往由各自的供應(yīng)商提供客戶化的維修服務(wù)，故多個(gè)供應(yīng)商與運(yùn)營商之間就構(gòu)成了多層級服務(wù)供應(yīng)鏈。工業(yè)實(shí)踐中供應(yīng)商通常以最小成本改善自己子系統(tǒng)性能為原則獨(dú)立進(jìn)行服務(wù)能力決策，顯然，多個(gè)供應(yīng)商的服務(wù)能力彼此相互影響，共同決定了運(yùn)營商的生產(chǎn)設(shè)備系統(tǒng)的整體性能；而運(yùn)營商希望獲得整個(gè)多層級服務(wù)供應(yīng)鏈最優(yōu)性能，這就需要運(yùn)營商精準(zhǔn)設(shè)計(jì)多個(gè)服務(wù)合同和激勵(lì)機(jī)制。目前只有Kim 等[16]以兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成的關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)為對象，設(shè)計(jì)5種懲罰機(jī)制來分配兩個(gè)供應(yīng)商之間的故障責(zé)任，以完全信息靜態(tài)博弈為框架，研究如何激勵(lì)兩個(gè)供應(yīng)商協(xié)同投資故障預(yù)防和恢復(fù)能力。本文研究與上述文獻(xiàn)有顯著區(qū)別：本文側(cè)重運(yùn)營商與兩個(gè)供應(yīng)商之間的合同設(shè)計(jì)及其激勵(lì)機(jī)制問題，決策PBC合同服務(wù)性能激勵(lì)系數(shù)、各子系統(tǒng)在制造階段的可靠性能力與服役階段的維修能力；而文獻(xiàn)[16]中側(cè)重考慮子系統(tǒng)之間的故障級聯(lián)問題，僅限于兩個(gè)供應(yīng)商之間的競爭性服務(wù)能力投資問題，沒有涉及RBC 和PBC 合同設(shè)計(jì)問題。

本文以多層級服務(wù)供應(yīng)鏈為研究對象，以設(shè)備制造階段的可靠性能力與售后階段的維修能力作為各個(gè)供應(yīng)商的服務(wù)能力決策變量，采用兩階段序貫博弈理論為建模框架，研究基于RBC 和PBC 的多層級服務(wù)合同設(shè)計(jì)模型；以RBC 合同為參照，分析PBC合同對供應(yīng)商投資服務(wù)能力的激勵(lì)機(jī)制，著重探討PBC合同對多個(gè)供應(yīng)商之間的服務(wù)能力投資激勵(lì)機(jī)制。本文考慮多層級服務(wù)供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)和服務(wù)能力跨越兩個(gè)生命階段決策這兩個(gè)新特征，這種PBC合同協(xié)同設(shè)計(jì)問題與激勵(lì)機(jī)制分析目前還沒有理論成果見諸于學(xué)術(shù)期刊。

1 問題描述及決策

考慮由一個(gè)運(yùn)營商與兩個(gè)供應(yīng)商構(gòu)成的多層級服務(wù)供應(yīng)鏈，運(yùn)營商以兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成的N套設(shè)備為其關(guān)鍵生產(chǎn)系統(tǒng)。每個(gè)關(guān)鍵子系統(tǒng)的日常維護(hù)和緊急維修服務(wù)工作由其原始設(shè)備供應(yīng)商（OEM）獨(dú)家提供。任何子系統(tǒng)故障均可導(dǎo)致關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)停機(jī)，子系統(tǒng)可用度取決于供應(yīng)商對其可靠性能力和維修服務(wù)能力投資大小，以及運(yùn)行環(huán)境隨機(jī)因素期望ε。從子系統(tǒng)生命周期角度，供應(yīng)商在制造階段（第1階段）投資可靠性能力r≡｛ri｝，在售后服役階段（第2階段）投資維修服務(wù)能力u≡｛ui｝，這里維修能力是由備件庫存、維修中心能力和人員數(shù)量等可觀測資源構(gòu)成的綜合能力。多個(gè)子系統(tǒng)的可用度共同決定關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)可用度A0。

（1）系統(tǒng)可用度。假設(shè)子系統(tǒng)故障服從泊松分布，令λi為子系統(tǒng)i的故障到達(dá)率，則1/λi為子系統(tǒng)故障到達(dá)的間隔時(shí)間[13]。到達(dá)率λi與運(yùn)行環(huán)境隨機(jī)因素期望ε以及子系統(tǒng)可靠性能力有關(guān)，可以合理假設(shè)λi與ε成正比，與自身可靠性能力成反比，記λi=ε/ri；假設(shè)子系統(tǒng)發(fā)生故障后的維修時(shí)間服從參數(shù)ui的負(fù)指數(shù)分布，則1/ui為子系統(tǒng)的平均維修時(shí)間[16]。可見，子系統(tǒng)i的故障時(shí)間服從參數(shù)u i/λi的負(fù)指數(shù)分布，即期望維修時(shí)間為

將關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)段簡化為1，忽略多個(gè)子系統(tǒng)同時(shí)故障的小概率事件，則關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)級可用度為

由式（1）、（2）可見，子系統(tǒng)增加可靠性能力與維修能力能夠減小故障的到達(dá)率與期望維修時(shí)間，從而增加系統(tǒng)級可用度。

運(yùn)營商要求關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)的系統(tǒng)級可用度不低于下限α，即A0≥α，即系統(tǒng)總期望維修時(shí)間應(yīng)滿足如下約束：

（2）服務(wù)能力成本。服務(wù)能力成本由可靠性能力和維修能力改善成本構(gòu)成。設(shè)供應(yīng)商i投資于子系統(tǒng)i的可靠性能力成本函數(shù)為ψi（ri），滿足對任意，對任意有。這種假設(shè)是合理的，因?yàn)殡S著系統(tǒng)可靠性的提高，提升單位可靠性能力需要付出更高的成本[17]。

設(shè)供應(yīng)商i增加單位維修能力的成本為c i，則將維修能力提升到ui需要的費(fèi)用為。考慮到最優(yōu)維修能力與初始維修能力無關(guān)。為計(jì)算方便，令=0，記維修能力改善成本為ciu i。因此，供應(yīng)商投資服務(wù)能力的總成本為ψi（ri）+ciu i

（3）服務(wù)合同類型及決策。在設(shè)備生命周期兩個(gè)階段，PBC 合同和RBC 合同的服務(wù)能力決策不同，如圖2所示。在第1階段，無論P(yáng)BC 合同還是RBC合同均由供應(yīng)商決定其子系統(tǒng)可靠性能力大小。在第2階段，對于RBC 合同，運(yùn)營商與各個(gè)供應(yīng)商協(xié)商決定維修能力大小并寫入合同；對于PBC合同，運(yùn)營商并不指定或控制供應(yīng)商的維修能力，而是選擇系統(tǒng)故障時(shí)間懲罰系數(shù)υi，由供應(yīng)商根據(jù)性能懲罰系數(shù)υi決定各自的維修能力。根據(jù)企業(yè)實(shí)踐和學(xué)術(shù)文獻(xiàn)，設(shè)定性能罰金與期望維修時(shí)間成正比，記為υi T i（ri，ui）。

圖2 服務(wù)合同類型及其不同階段決策

基于上述情境下，需要解決的問題是：在RBC和PBC合同下，多個(gè)供應(yīng)商如何投資各自子系統(tǒng)可靠性和維修服務(wù)能力？ 兩類合同如何影響各個(gè)供應(yīng)商投資服務(wù)能力決策？ 以及內(nèi)在的激勵(lì)機(jī)制是什么？

2 合同設(shè)計(jì)模型及服務(wù)能力決策

2.1 基準(zhǔn)——最優(yōu)服務(wù)能力

（1）最優(yōu)維修能力。假定運(yùn)營商獨(dú)自運(yùn)營和維修關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)，以集中決策環(huán)境下的最優(yōu)服務(wù)能力作為比較基準(zhǔn)，以主從博弈為建模框架，采用逆向歸納法為求解策略。首先從第2階段開始，求解最優(yōu)維修能力u*≡（u1，u2），在滿足式（3）約束條件下最小化第2階段的維修能力成本，具體模型為：

命題1約束式（3）取等號時(shí)，獲得子系統(tǒng)i的最優(yōu)維修能力為

子系統(tǒng)i的期望維修時(shí)間為

證明假設(shè)最優(yōu)解不能在約束式（3）取等號時(shí)獲得，即＜β。因 為∑i T i（ri，ui）是ui的減函數(shù)，所以，使得

令L=∑I ciu i+θT i（ri，ui｛｝）-θβ，其中θ為拉格朗日乘子。

所以L是凸的，最優(yōu)解，又∑i T i（ri，ui）=β，解得：

由式（4）、（5）可見，子系統(tǒng)i最優(yōu)維修能力與期望維修時(shí)間不僅與ri有關(guān)，還與rj有關(guān)，這種依賴性源于系統(tǒng)級可用度約束式（3）。此外，式（5）給出了維修時(shí)間指標(biāo)下限β的簡單分配規(guī)則：運(yùn)營商分配給子系統(tǒng)i的比率為該比率表示子系統(tǒng)i的故障到達(dá)率與維修能力單位成本的加權(quán)值。考慮到故障率增加導(dǎo)致最優(yōu)維修能力的增加，可見，維護(hù)一個(gè)高故障率且高單位維修費(fèi)用的子系統(tǒng)需要更多能力投資；利用該規(guī)則，分配較大比例的β給該子系統(tǒng)，以有效節(jié)約服務(wù)能力成本。

整理得

命題2①目標(biāo)函數(shù)Ψ（r）是凸的；②可靠性能力最優(yōu)解存在且唯一，并由下式得出：

證明

Ψ（r）是凸的，最優(yōu)解存在。

其Hessian矩陣為

所以H是正定的，最優(yōu)解唯一。 證畢

（3）可靠性能力決策變量敏感性分析。這部分分析子系統(tǒng)的可靠性能力增加如何影響自身及其他子系統(tǒng)的維修能力投資和期望維修時(shí)間。通過影子價(jià)格θ來解釋子系統(tǒng)可靠性能力決策如何相互依賴。根據(jù)式（3），用θ（r）重寫最優(yōu)解ui與T i為：

由式（9）可見，子系統(tǒng)i與其他子系統(tǒng)之間的可靠性能力投資依賴性正源于影子價(jià)格θ（r），任意ri的增加都會導(dǎo)致θ（r）的減小。對維修能力ui[ri，θ（r）]求ri的導(dǎo)數(shù)，得

式（10）中，第1項(xiàng)揭示可靠性能力與維修能力之間的直接關(guān)系：可靠性能力越大，維修能力越低；第2項(xiàng)表示子系統(tǒng)i的可靠性能力如何影響整個(gè)關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)和自身，例如高可靠性能力投資松弛了系統(tǒng)級維修時(shí)間約束，減小了影子價(jià)格（?θ（r）/?ri＜0），而反過來也減少子系統(tǒng)i的維修能力投資水平（?ui（ri，θ）/?θ＞0）。

對期望維修時(shí)間Ti｛ri，ui[ri，θ（r）]｝求ri的導(dǎo)數(shù)，得

通過圖3可以更直觀地理解式（11）所揭示的可靠性能力增加對期望維修時(shí)間的影響規(guī)律。式（11）中，第1項(xiàng)說明，在維修能力不變時(shí)增加可靠性能力能夠減少期望維修時(shí)間，如圖3中①～②所示；第2項(xiàng)中的第1部分說明，可靠性能力增加導(dǎo)致維修能力投資減少，而維修能力減小又會導(dǎo)致期望維修時(shí)間增加，如圖3中②～③所示；第2項(xiàng)中的第2部分表示可靠性能力增加導(dǎo)致影子價(jià)格減小，從而使維修能力減小，進(jìn)而使期望維修時(shí)間增加，如圖3中虛線箭頭③～④所示；式（11）同時(shí)也說明，可靠性能力ri增大導(dǎo)致間接期望維修時(shí)間增加幅度小于直接導(dǎo)致期望維修時(shí)間的減少幅度。原因在于：各個(gè)子系統(tǒng)共享影子價(jià)格θ（r），因子系統(tǒng)i的可靠性能力增加導(dǎo)致的維修能力減少效用作用于影子價(jià)格后，子系統(tǒng)i只能從中分得部分收益，其他子系統(tǒng)則分享剩余部分收益，結(jié)果導(dǎo)致間接的期望維修時(shí)間增加不能完全抵消直接效應(yīng)導(dǎo)致的期望維修時(shí)間減少值。

圖3 子系統(tǒng)i的可靠性能力增加對其維修能力和期望維修時(shí)間的影響規(guī)律

繼續(xù)分析子系統(tǒng)i的可靠性能力增加對子系統(tǒng)j的維修能力需求和期望維修時(shí)間的影響規(guī)律。分別對uj[rj，θ（r）]和Tj｛rj，uj[rj，θ（r）]｝求ri的 導(dǎo)數(shù)，得：

可見，子系統(tǒng)i的可靠性能力增加導(dǎo)致影子價(jià)格減小，從而使子系統(tǒng)j的維修能力需求減小，進(jìn)而使子系統(tǒng)j的期望維修時(shí)間增大，如圖4中的A～B所示。

圖4 子系統(tǒng)i的可靠性投資對子系統(tǒng)j 的影響

總之，子系統(tǒng)i的可靠性能力增加效應(yīng)為：①減少了所有子系統(tǒng)的維修能力需求；②降低自身的期望維修時(shí)間、同時(shí)增大其他子系統(tǒng)的期望維修時(shí)間。

2.2 RBC合同模型及服務(wù)能力決策

RBC合同下運(yùn)營商以合同條件形式規(guī)定各個(gè)供應(yīng)商的維修服務(wù)能力，在滿足系統(tǒng)級期望維修時(shí)間指標(biāo)β時(shí)，給予各個(gè)供應(yīng)商補(bǔ)償，補(bǔ)償量設(shè)為單位維修能力成本的s倍（0≤s≤1）。RBC 合同情景下，第2階段的維修服務(wù)能力可視為運(yùn)營商觀察到兩個(gè)供應(yīng)商在第1階段可靠性能力獨(dú)立決策后的最優(yōu)決策。基于此類決策情景特征，采用二階段序貫博弈為建模框架，以逆向歸納法為求解策略，具體建模過程：

（1）維修能力決策。RBC 合同下，第2階段運(yùn)營商的維修能力決策模型類似于模型（IM），不同之處僅在于單位成本系數(shù)s，獲得：

子系統(tǒng)i的期望維修時(shí)間為

同時(shí)解得影子價(jià)格為

（2）供應(yīng)商之間可靠性能力均衡解。第1階段供應(yīng)商最小化自身的可靠性和維修能力成本，即

整理得：

命題3①Ψi（ri）是凸的；②RBC合同下各個(gè)供應(yīng)商投資可靠性能力的均衡解存在且唯一，即

故Ψi（ri）是凸的，納什均衡解存在。

其Hessian矩陣為

故H是正定的，納什均衡解是唯一的。 證畢

（3）供應(yīng)商之間服務(wù)能力投資激勵(lì)機(jī)制。這部分分析一個(gè)供應(yīng)商增加自身的可靠性能力是如何影響其他供應(yīng)商的決策。對影子價(jià)格θRC求導(dǎo)，獲得：

可見，任意供應(yīng)商增加可靠性能力投資都會降低其他供應(yīng)商的維修能力需求。

綜上可見，任意供應(yīng)商增加可靠性能力都會減少所有供應(yīng)商的維修能力需求、減少其他供應(yīng)商的服務(wù)能力總成本，這就造成理性供應(yīng)商都不會全力增加可靠性能力投資，而是期望能從其他供應(yīng)商的投資中獲取額外利益，即供應(yīng)商之間存在“搭便車”心理。因此，RBC合同機(jī)制會導(dǎo)致供應(yīng)商對服務(wù)能力投資不足，特別是可靠性能力。

2.3 PBC合同模型及服務(wù)能力決策

在PBC 合同情景下，首先由運(yùn)營商選擇PBC合同性能懲罰系數(shù)（υ1，υ2），然后兩個(gè)供應(yīng)商決定各自在第2階段的維修能力（u1，u2）和在第1階段的可靠性能力（r1，r2）。基于此類決策情景特征，仍采用二階段序貫博弈為建模框架，以逆向歸納法為求解策略，具體建模過程：

（1）維修能力決策和PBC 合同性能懲罰系數(shù)。第2階段，在觀察到運(yùn)營商的PBC合同最優(yōu)性能懲罰系數(shù)后，兩個(gè)供應(yīng)商決定各自的維修能力（u1，u2），使得由維修能力成本和性能懲罰構(gòu)成的總成本最小化，即

在第2階段，運(yùn)營商的目標(biāo)是在滿足性能約束下，使得維修服務(wù)補(bǔ)償和性能損失罰金之差最小化，選擇最優(yōu)的罰金系數(shù)（υ1，υ2），即

命題4在PBC合同下，運(yùn)營商選擇對各供應(yīng)商的最優(yōu)性能懲罰系數(shù)為

此時(shí)各供應(yīng)商的最優(yōu)維修能力和相應(yīng)子系統(tǒng)期望維修時(shí)間為：

說明L是擬凸的，即此處取最小值。

將υi（r）代入式（20），解得：

（2）供應(yīng)商之間可靠性能力均衡解。在第1階段，兩個(gè)供應(yīng)商的可靠性能力決策過程為同時(shí)行動(dòng)博弈。基于第2階段的最優(yōu)懲罰系數(shù)和維修能力，通過最小化各自的服務(wù)能力成本和性能損失罰金總成本，兩個(gè)供應(yīng)商獲得可靠性能力均衡解（r1，r2），即

整理得

命題5①Ψi（ri）是凸的；②PBC合同下各個(gè)供應(yīng)商投資可靠性能力的均衡解存在且唯一，即

故Ψi（ri）是凸的，納什均衡存在。

其Hessian矩陣為

所以H是正定的，納什均衡是唯一的。 證畢

（3）供應(yīng)商之間可靠性能力激勵(lì)機(jī)制。為了分析PBC合同下，供應(yīng)商之間可靠性能力投資激勵(lì)機(jī)制，對式（26）左右兩邊同時(shí)乘以，得

故L是增函數(shù)，所以當(dāng)rj增大時(shí)，式（27）右邊減小，從而ri減小。可見，供應(yīng)商i的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是遞減的，供應(yīng)商之間的可靠性能力投資具有可代替性。

3 兩類合同對可靠性能力投資激勵(lì)機(jī)制

以可靠性能力最優(yōu)解（rFB）為基準(zhǔn)，分析兩類合同（RBC和PBC）對供應(yīng)商投資可靠性能力（rRC，rPC）的激勵(lì)機(jī)制。因?yàn)?個(gè)可靠性能力的解參數(shù)不同，這里重點(diǎn)分析對稱結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵設(shè)備系統(tǒng)，即各子系統(tǒng)供應(yīng)商的特征參數(shù)都相同，如單位維修能力成本及可靠性能力成本函數(shù)等。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展到非對稱供應(yīng)商可靠性能力投資規(guī)律。

命題6①對于對稱系統(tǒng)，供應(yīng)商的可靠性能力滿足rRC＜rFB＜rPC；②對于非對稱系統(tǒng)，至少存在一個(gè)i，使得，并且至少存在一個(gè)j，使得。

證明為了方便比較3種決策環(huán)境下的可靠性能力，令分散環(huán)境下si→0。對于對稱系統(tǒng)，整理式（8）、（18）和式（26）分別有：

所以F（ri）是增函數(shù)；又有，故rRC＜rFB＜rPC。

對于非對稱系統(tǒng)，整理式（8）、（18）和式（26），F(xiàn)B最優(yōu)環(huán)境、RBC合同環(huán)境以及PBC 合同環(huán)境分別為：

上述命題說明，相對于最優(yōu)可靠性能力，RBC合同導(dǎo)致供應(yīng)商投資可靠性能力不足，而PBC合同導(dǎo)致供應(yīng)商過度投資各自的可靠性能力。對于對稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時(shí)，命題6①完全支持該結(jié)論；對于非對稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時(shí)，命題6②也為該結(jié)論提供部分支持。即在RBC合同下，不可能存在對所有子系統(tǒng)可靠性能力的過度投資；而在PBC 合同下，不可能存在對所有子系統(tǒng)可靠性能力均投資不足情況。

為了進(jìn)一步了解兩類合同如何影響供應(yīng)商投資可靠性能力，針對維修能力成本不同（ci≠cj）的非對稱系統(tǒng)，采用如下32組數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真：令c1固定為c1=10，令c2從2～18取不同值，獲得如圖5所示的3種決策環(huán)境下供應(yīng)商的可靠性能力曲線。仿真曲線展現(xiàn)明顯規(guī)律為：，顯然，該仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持了上述結(jié)論。

為什么PBC合同能夠?qū)е鲁^最優(yōu)可靠性能力的過度投資激勵(lì)？ 從如下兩個(gè)方面解釋：①消除可靠性投資不足根源；②影子價(jià)格收斂為最優(yōu)性能懲罰率。理解這類原因的核心是第2階段系統(tǒng)級維修時(shí)間約束式（3）取等號時(shí)獲得的影子價(jià)格θ（r）。由于

圖5 非對稱系統(tǒng)供應(yīng)商投資可靠性能力變動(dòng)曲線

式（28）說明，因供應(yīng)商i的可靠性能力投資增加，供應(yīng)商j的邊際維修能力成本節(jié)約等于影子價(jià)格與供應(yīng)商i自身的期望維修時(shí)間減小值的乘積。即懲罰供應(yīng)商的自身單位維修時(shí)間等效于迫使其消化其他供應(yīng)商的邊際維修能力。RBC 合同下，供應(yīng)商自身的可靠性能力投資只會減少其他供應(yīng)商的邊際維修費(fèi)用；而PBC合同下，對供應(yīng)商自身的維修時(shí)間懲罰卻會增加其他供應(yīng)商的邊際維修費(fèi)用。可見，PBC合同機(jī)制消除了供應(yīng)商固有的投資不足激勵(lì)。

繼續(xù)分析式（28）中影子價(jià)格θ（r），可知影子價(jià)格隨任意一個(gè)供應(yīng)商的可靠性能力的增加而減少。在集中最優(yōu)環(huán)境和RBC合同下，影子價(jià)格是一個(gè)隱性的，不會影響供應(yīng)商的可靠性能力投資決策；PBC合同下，影子價(jià)格θ（r）不再是隱性的，它收斂為對子系統(tǒng)維修時(shí)間的最優(yōu)懲罰系數(shù)υi（r），即成為顯性的費(fèi)用。這顯然對各個(gè)供應(yīng)商可靠性能力投資產(chǎn)生額外激勵(lì)：一方面，使得子系統(tǒng)的期望維修時(shí)間減少；另一方面，減少了單位維修時(shí)間的懲罰值；此外，這種激勵(lì)機(jī)制均等作用于所有供應(yīng)商。上述分析揭示了在PBC 合同下供應(yīng)商的可靠性能力投資過度的根源。

4 結(jié) 論

本文針對由運(yùn)營商與多個(gè)供應(yīng)商構(gòu)成的多層級維修服務(wù)供應(yīng)鏈，以系統(tǒng)級可用度為關(guān)鍵設(shè)備維修服務(wù)性能指標(biāo)，以設(shè)備制造階段的可靠性能力與售后階段的維修能力為服務(wù)能力決策變量，研究了集中決策、RBC 合同和PBC 合同商務(wù)模式下的供應(yīng)商服務(wù)能力決策問題。在服務(wù)供應(yīng)鏈的多層級結(jié)構(gòu)新特征環(huán)境下，發(fā)現(xiàn)RBC 合同和PBC合同對供應(yīng)商投資可靠性能力產(chǎn)生截然不同的激勵(lì)效應(yīng)并揭示其激勵(lì)機(jī)制：RBC 合同導(dǎo)致供應(yīng)商對可靠性能力投資激勵(lì)不足，這是因?yàn)楣?yīng)商不能吸納因改進(jìn)可靠性能力帶來的全部收益；多個(gè)供應(yīng)商之間存在可靠性能力投資“搭便車”行為。PBC合同過度激勵(lì)供應(yīng)商對可靠性能力投資，可靠性能力投資甚至大于集中決策下的最優(yōu)可靠性能力，這是因?yàn)镻BC 合同將系統(tǒng)級可用度相關(guān)的隱式成本轉(zhuǎn)化為供應(yīng)商的顯式懲罰成本，導(dǎo)致可靠性能力投資激勵(lì)過度。這些新發(fā)現(xiàn)證實(shí)，制造階段的可靠性能力是關(guān)鍵設(shè)備售后服務(wù)合同管理中的重要角色，這一點(diǎn)被以往相關(guān)研究所忽視；同時(shí)也提示服務(wù)供應(yīng)鏈的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性也是設(shè)備售后服務(wù)合同設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素。

這些新結(jié)論有助于運(yùn)營商更深入地了解RBC合同和PBC合同的激勵(lì)機(jī)制和無效性根源，根據(jù)自身服務(wù)供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇和設(shè)計(jì)適合的服務(wù)合同。盡管業(yè)界實(shí)踐PBC 合同已經(jīng)展現(xiàn)了強(qiáng)大生命力，這些新發(fā)現(xiàn)也展現(xiàn)了PBC 合同應(yīng)用的復(fù)雜性，如何設(shè)計(jì)以PBC 合同為主的組合合同以控制PBC合同對某些服務(wù)能力的過度激勵(lì)還需進(jìn)一步研究，以推動(dòng)PBC合同這一新生產(chǎn)-服務(wù)管理模式在我國關(guān)鍵設(shè)備制造業(yè)的推廣和應(yīng)用。