不同采購模式下的配套部件采購策略

徐永鋒

（蘭州財經大學 甘肅商務發展研究中心；工商管理學院，蘭州 73020）

隨著全球化和信息技術的快速發展，企業之間的競爭越來越劇烈。眾多跨國企業為了降低成本，往往對產品部件的采購采取集中采購模式。集中采購不僅可以通過集中企業采購資源和規模效應來降低采購成本，而且有利于維持與上游供應商的戰略合作伙伴關系，從而能夠在貨款結算、技術開發和售后服務等諸多方面獲得供應商的支持與合作，使得制造商能夠在商品質量、準時交貨等方面得到全面提升，增強企業的競爭力。但是集中采購這種低成本、長周期的采購模式無法滿足消費者快速多變的需求，致使企業產品競爭力下降。此時，分散采購這種高成本、短周期的采購模式作為補充策略受到企業的廣泛青睞。因此，當企業面臨多變的市場需求時，根據以往的銷售信息對市場需求進行初步預測，采用長提前期、低成本的集中采購模式提前儲備一部分部件（原材料），而獲得了相對比較清晰的需求更新信息后，采用短提前期、高成本的分散采購模式對不足的部分進行補充采購。這樣，制造商既能夠最大限度地滿足快速多變的市場需求，又降低了采購成本，從而提高了制造商的利潤。如何確定信息更新條件下不同采購數量成為企業采購決策的關鍵問題。

對于信息更新的問題，Iyer等[1]最早比較了快速反應策略與傳統訂貨策略的差異性，為信息更新下的兩次采購策略奠定了基礎。隨后，眾多學者對該成果進行了多方面地拓展。Gurnani等[2]及Choi等[3]假設第2階段的訂貨成本未知，分別在雙元正態分布和貝葉斯更新的基礎上，探討了單周期兩階段兩次訂貨策略。Lau等[4]比較了正態分布和貝塔分布的狀況下，一次訂貨和兩次訂貨的差異性。文獻[5-8]中構建了需求信息更新下帶有服務水平約束的采購策略模型，推導出零售商兩個階段的最優訂貨量，并分析了服務水平約束和更新信息對零售商最優訂貨策略及其期望利潤的影響。姚澤有等[9]假設批發價格隨機的情況下，探討了不同需求和價格信息更新條件下零售商的最優訂貨策略和期望利潤。梁羅等[10]及胡覺亮等[11]研究了需求預測更新下的零售商三階段采購策略。李熙等[12]以均值方差理論為基礎，探討了帶有風險規避特征的零售商在需求信息更新條件下的最優采購策略。宋華明等[13]構建了無信息更新、完全信息更新和部分不完全信息更新的3種采購模型，探討了零售商在不同信息條件下的最優采購策略，并比較了不同信息類型產生的價值。王圣東等[14]建立了兩生產模式和期末二次訂購的Newsvendor型產品供應鏈協調模型，并設計了改進的收益共享契約使該供應鏈達到完美協調。汪峻萍等[15]將銷售季末二次訂購策略與銷售期前的二次訂購策略相結合，構建了需求信息更新點與期末緊急訂購聯合決策模型。Zheng等[16]構建了具有有限采購時間和最大采購數量約束的采購模型，并通過算例分析了兩種供應模式對更新信息價值的影響。上述研究者對信息更新的采購策略研究僅探討了零售商采購一種產品的最優策略。周艷菊等[17]將信息更新納入研究框架，借助條件風險值法和基于布朗運動的貝葉斯預測方法，構建了兩銷售周期多產品兩次訂貨的風險決策模型。但文獻[17]中的研究是建立在產品需求獨立的假設基礎之上的，并且僅使用算例估計了采購策略的特征，而沒有證明最優采購策略的存在性。

綜上所述，雖然現有文獻對信息更新下的采購策略從信息更新形式、約束條件、采購次數和風險偏好等方面進行了深入研究，但是尚存在兩方面的不足：①現有文獻的研究主要針對制造商和零售商構成的下游供應鏈中的采購問題，卻很少探討零部件供應商和制造商構成的上游供應鏈在需求信息更新下的采購策略；②現有研究多數建立在零售商采購單一產品或具有獨立需求的多產品假設基礎上，卻沒有考慮產品具有相關需求時的采購策略。與前人不同，本文將零部件供應商和制造商構成的上游供應鏈作為研究對象，假設制造商以不同的采購模式采購兩種具有相關需求的部件。第1種部件僅可以使用集中模式采購，第2種部件可以按照集中采購和分散采購結合的混合方式采購。文章研究了制造商采購兩配套部件的最優采購策略，并探討了二元正態分布條件下需求更新信息質量對采購策略的影響；推導出了無有效需求更新信息以及完全需求更新信息兩種情形下的最優采購策略；通過3種信息狀態的比較，分析了不同信息數量和信息質量對制造商采購策略和利潤的影響。

1 模型假設與符號定義

假設制造商需要采購兩部件（1和2）組裝其產品，兩部件配套比為1∶1，組裝的產品市場售價為p，市場需求為D，是一個隨機變量。制造商將分別在t1和t2進行兩次采購。但是由于部件1是非核心部件，制造商對部件1使用長提前期、低成本的集中采購模式進行采購，其單位采購成本為c1，采購數量為q1。部件2是核心部件，必須加強控制，制造商先根據原始需求預測使用集中采購模式采購q21的部件2。當制造商獲得較為清晰的市場需求更新信息并更新需求預測后，對不足的部分以短提前期、高成本的分散采購模式作為補充，增加q22的部件2訂單。具體的決策過程如圖1所示。

圖1 制造商采購決策過程圖

顯而易見，由于部件1僅能集中采購，不能分散采購補貨，即不能調整采購量。因此，使用混合采購模式的部件2的累計采購量不會大于使用集中采購模式的部件1的采購量，即q2≤q1。

由圖1可以看出，使用混合采購模式的部件2有兩次采購機會，設兩次采購的單位成本分別為c21、c22，為了避免不恰當的結果出現，假設c21＜c22，（否則，企業將永遠在t2進行采購）。在t1、t2期間，制造商可通過各種手段獲得市場需求更新信息i，該需求更新信息是一個隨機變量，其密度函數和累計分布函數分別為g（i）和G（i）。制造商通過收集需求更新信息來更新市場需求，此時市場需求的密度函數和累計分布函數分別為。企業因未滿足市場需求而產生的單位缺貨成本為m；過剩部件不進行組裝，單位部件殘值分別為l1和l2。

符號說明：

j=1，2——兩種采購模式

k=s，n，p——部分需求更新信息、無有效需求信息和完全需求信息3種狀態

πjk——制造商在兩種采購模式時不同信息狀態下的利潤

V j——兩個階段的決策問題

m——制造商生產的產品單位缺貨成本

l1，l2——單位部件的殘值

q2j——部件2兩階段的采購數量

q1，q2——部件1、2的采購數量

q1n，q1p——部件1 無有效需求更新信息和完全需求更新信息下的采購數量

q21n，q21p——部件2無有效需求更新信息和完全需求更新信息下集中采購的采購數量

q22n，q22p——部件2無有效需求更新信息和完全需求更新信息下分散采購時的采購數量

c1——部件1的單位采購成本

D——市場需求

c2j——部件2在模式下的單位采購成本

qs1——給定需求更新信息i的條件下分位數為s1的部件2的采購量

i——市場需求更新信息

s1，sn，sp——部分有效需 求信息、無有效需求信息和完全需求信息時累計分布函數的分位數

μ2，σ2——分散采購時需求服從正態分布時的均值和均方差

μ，σ——集中采購時需求服從正態分布時的均值和均方差

ρ——集中采購時需求與其更新信息的相關系數

η，γ——需求更新信息服從正態分布時的均值和均方差

iθ（q）——市場信號閾值，θ為概率分布的分位數

對于給定的集中采購數量q1、q21和觀測的市場需求更新信息i，制造商分散采購時的利潤為

式（1）右邊第1項為分散采購的采購成本，第2項及以后部分為分散采購的期望利潤，即期望收入加上期望殘值減去期望缺貨損失。令q2=q21+q22，則式（1）第2項可寫為

分散采購時最優采購決策即為

給定q1、q21和i的情況下，制造商在分散采購的問題是決定最優的分散采購時部件2的最優采購數量q22≥0，使得分散采購時的收益函數π2最大。此時，集中采購時最優問題可寫為

由此可見，上述問題是一個兩層規劃問題。為了求解方便，用部件2的累積采購數量q2替代分散采購時的采購數量q22。為了求解該二層規劃問題，使用逆向求解法，即先求出分散采購的最優采購策略，將其代入集中采購最優決策問題V1中，求出集中采購的最優策略。

2 模型求解

2.1 分散采購的最優采購策略決策

由式（2）可知，

顯然，對于任意給定的i，EL（q2，i）是關于q2的凹函數。在給定需求更新信息i的條件下，由制造商分散采購時的期望利潤函數關于部件2的累計采購量q2的一階條件可得

則分散采購時最優累計采購量為

因此，分散采購時部件2的最優采購量為

由式（7）可見，分散采購時的最優采購策略是一個分段函數。為了得到其表達式，必須對制造商獲得的市場需求更新信息進行分析。

定義

其中0＜θ≤1。在給定q和θ的情況下，iθ（q）是市場信號閾值。當市場信號小于該閾值時，企業采購商品為q且滿足更新需求的概率將大于θ；反之，企業采購商品為q且滿足更新需求的概率將小于θ。對于任意給定的θ和i，qθ（i）是使得滿足更新需求的條件概率等于θ的商品采購數量。

引理1

（1）iθ（q）是關于q的增函數，是關于θ的減函數。

（2）qθ（i）是關于θ的增函數，是關于i的增函數。

證明

（1）假設

由iθ（q）的 定 義 知。由 于）是累計分布函數，故是關于q的增函數，所以有。由于，根據iθ（q）定義可得i′＜i″，即iθ（q′）＜iθ（q″），故是關于q的增函數。假設0＜θ′＜θ″≤1，

（2）根據qθ（i）的定義及是關于q的增函數，可知其反函數為θ的增函數。假設i′＜i″。根據qθ（i）的定義及反函數的性質可得

由于i′＜i″，故有

定理1對于任意給定的集中采購組合（q1，q21）和制造商獲得市場信號i，最優的分散采購數量滿足：

證明根據引理1（1）和假設條件q1≥q21，可得is1（q21）≤is1（q1）。如果i＜is1（q21），根據引理1（2）可知，

由式（7）可知，

因此，由式（8）可知，

同理，如 果is1（q21）≤i＜is1（q1），可 知q21≤qs1＜q1，因此，

同理，如果i≥is1（q1），因此，

由于部件1、2是配套性產品，其必須配套使用，故當制造商集中采購時，部件2的采購量不應當大于部件1的采購量，否則部件2將產生剩余，會造成浪費。當制造商集中采購時，部件2的采購量小于部件1的采購量，其可以通過分散采購補充部件2的數量。如果制造商獲得需求更新信息后發現市場需求小于集中采購時部件2 的采購數量，即i＜is1（q21），制造商同樣不會進行分散采購；反之，當制造商獲得需求更新信息后發現市場需求大于集中采購時部件2的采購數量，但小于部件1的采購數量，即is1（q21）≤i＜is1（q1），此時制造商累計采購部件2的數量正好滿足市場需求，即qs1-q21；而當制造商獲得需求更新信息后發現市場需求大于部件1的采購數量，即i≥is1（q1）時，此時兩部件采購數量正好配套，制造商分散采購部件2的數量正好是集中采購時兩部件的差額。

2.2 集中采購的最優采購策略決策

要求得制造商集中采購最優采購策略，必須證明最優策略的存在性。因此，將制造商分散采購時的最優解代入集中采購的期望利潤函數中，證明二階導數小于0即可。但是由于制造商分散采購時最優采購策略是分段函數，故在集中采購時應當分段分析。

定理2制造商集中采購時的期望利潤E（π1）是關于集中采購時的采購數量q1、q21的聯合凹函數。

證明由于q1≥q21，根據引理1和定理1，可將式（4）重寫為

制造商的期望利潤函數關于q1、q21的二階偏導數和混合偏導數分別為：

因此，可得其海塞矩陣K的行列式為

由于海塞矩陣K一階順序主子式小于0、二階順序主子式大于0，故該曲面凹向原點，即制造商集中采購時的期望利潤E[π1]是關于集中采購時的采購數量q1、q21的聯合凹函數。

定理2說明，總是存在一組最優的采購策略，使得其利潤最大。制造商集中采購時的決策目標就是找到這一組最優的采購策略。

定理3制造商集中采購時的最優采購策略由下式決定：

證明由式（10）關于q1、q21的一階導數為0即可得到。

特別地，當q1=q21時，制造商集中采購時的最優采購策略為

上述討論都是假設制造商獲得的需求更新信息僅能部分揭示市場需求的情況，下面將分析兩種極端情況：①制造商在分散采購時無法獲得任何關于市場需求的有效信息；②制造商在分散采購時可以獲得全部市場需求信息。

2.3 無有效信息和完全信息時的采購策略分析

2.3.1 需求更新信息無效時的采購策略 無效需求更新信息是指制造商在兩次采購期間搜集的市場需求更新信息對需求不確定性無任何影響。用數學語言刻畫即為需求更新信息i和市場需求D相互獨立，因此，有。由于制造企業在t2時獲得的需求更新信息對更新市場需求沒有幫助，并且，部件2在t2時的采購成本比t1時高；同時，部件1與部件2是配套商品，必須配套使用才有價值，故企業的最優采購策略必然與集中采購時采購相同數量的部件1 與部件2，分散采購時不進行采購。該問題實際上退化為無需求信息更新的單階段報童模型。此時，兩部件集中采購數量相同，即

2.3.2 完全需求更新信息情況的采購策略 在這部分研究另一個極端情況，即制造企業獲得關于市場需求的全部信息。在完全需求更新信息情況下，市場需求D成為市場需求更新信息i的函數，可表示為D=τ（i）。由采購的性質可知，D=τ（i）是關于市場需求更新信息i的增函數。為方便起見，假設D=τ（i）的反函數存在，則制造企業的期望利潤為

按照定理2相同的證明方法，可得制造商期望利潤函數的海塞矩陣為：

因為D=τ（i）是關于i的增函數，所以其反函數是關于D的增函數，因此，有dτ-1（D）/dD＞0。其一階順序主子式小于0，而二階順序主子式大于0，因此，該函數是凹的。

根據式（15）關于q1、q21的一階條件可知，制造企業集中采購時最優的采購策略為：

由前文的分析可見，制造商的采購策略與其在分散采購時能夠獲取的需求更新信息有很大的相關性，因此，有必要對制造商獲取的需求更新信息質量和最優采購策略的相互關系進行分析。由于部分需求更新信息下制造商的采購策略由式（11）、（12）所決定，可以看出，采購策略是一個隱函數，為了分析需求更新信息質量對最優采購策略的影響，本文選擇二元正態分布這一特殊的分布來進行討論。

2.4 需求更新信息質量對最優采購策略的影響

假設市場需求更新信息i和需求D服從均值為η和μ、標準差為γ和σ、相關系數為ρ的二元正態分布，因此，可得市場需求更新信息i的邊際分布密度函數g（.）服從均值為η、標準差為γ的正態分布。更新后的市場需求密度函數為條件密度函數，其服從均值μ2=μ+ρσ（i-η）/γ、均方差的正態分布。因此，可知：

明顯地，其累計分布函數G（i）和是關于D和i的嚴格增函數。由引理1分析可知：

因此，可得：

式中，Zs1為分位數為s1時標準正態值。同樣可得q1和q21關于需求更新信息i的表達式分別為：

定理4當時，隨著制造企業獲取需求更新信息的質量ρ提高，其在集中采購時采購部件1的數量將增加，而采購部件2的數量將減少；當時，需求更新信息質量ρ的高低與第1階段采購策略無關。

證明當時，首先討論與ρ的關系。根據式（11），假設

分別確定該等式分子分母的符號。根據式（23）可得

結合?f/?ρ＜0和可知，。

其次，討論q21與ρ的關系。根據式（12），假設

結合?f/?ρ＜0和可知，。

定理4表示，當參數一定的條件下，隨著需求更新信息質量的提高，制造企業對部件1的采購量將增加。這是因為由于制造企業只能在集中采購時采購部件1，其預見到其在分散采購時能夠獲得更準確的需求更新信息，為了把握市場機會，避免因部件不配套而帶來的缺貨損失，企業將更加冒險，從而采購更多的部件1。而隨著需求更新信息質量的提高，制造企業集中采購時對部件2的采購量將減少。這是因為企業有機會在分散采購時依據更為準確的需求更新信息進行補充采購，從而避免了提前采購數量過多造成的浪費。這一結論與Gurnani等[2]的命題3.4中的結論相符。定理4還說明，在特定條件下，即使制造企業有能力獲得更準確的市場需求信息，但是由于部件采購成本和配套性的約束，導致企業并不是總能利用這種需求更新信息優勢。

3 算例驗證

（1）信息數量的敏感性分析。假設制造商面臨的市場需求與更新信息服從N（35，10，20，6，0.5）的二元正態分布。產品銷售價格p=3，產品缺貨損失m=1，部件1的集中采購成本c1=1，殘值l1=0.5，部件2的集中采購成本和分散采購成本分別為：c21=1，c22=1.5，殘值l2=0.5。可得部件2的累計采購數量如圖2所示。由圖2可見，當更新信息i≤12.9或大于i≥16.9時，部件2的累計采購數量均為直線，分別為：

這是因為當制造商獲得較少的信息時，由于不確定性下降節約的成本不足以補償分散采購增加的成本，此時企業不會采取分散采購；當信息獲得較多時，雖然不確定性下降節約的成本大于分散采購增加的成本，但是由于部件配套性的限制，制造商分散采購數量最多是兩部件集中采購的差額。當更新信息介于12.9＜i＜16.9時，部件2分散采購數量不斷增大，這與定理1相符。

圖2 部件2累計采購數量變動趨勢

（2）信息質量的敏感性分析。首先考察信息質量對集中采購策略的影響。假設其他參數值不變，市場需求與更新信息的相關度不斷增大，可以得到集中采購數量變動趨勢，如圖3所示。

圖3 集中采購數量變動趨勢

由圖3可見，當更新信息的相關度大于0.3時，隨著市場需求與更新信息的相關度不斷增大，部件1的集中采購數量不斷增大，而部件2的集中采購數量不斷減小。這是因為市場需求與更新信息的相關度越大，制造商在分散采購階段對市場需求的預測越準確，由于部件2允許分散采購，為了減少不確定性帶來的過剩或短缺損失，制造商更傾向于使用分散采購模式采購部件2，從而減少了集中采購部件2的數量。而由于制造商在集中采購階段知道分散采購階段能夠非常準確地的預測市場信息，為了減少因部件不配套帶來的缺貨損失，制造商對部件1的采購將會采用更加冒險的策略，即將增加部件1的集中采購數量。

但是制造商并非總能利用高質量的更新信息。當產品銷售價格p=3.2，i產品的缺貨損失m=0.5，部件2分散采購成本分別為c22=2時，其他參數不變，即使市場需求與更新信息相關性達到0.7，也即信息質量很高的情況下，制造商也不會采用分散采購模式。此時，制造商僅會使用集中采購模式，采購量為：。這是由于部件配套性使得利用高質量信息增加的成本高于需求不確定性降低節約的成本，此時制造商利用高質量信息不會得到更高的收益，反而會統一采用集中采購模式。

圖4 制造商利潤變動趨勢

其次，進一步考察信息質量對制造商利潤的影響。除市場需求與更新信息的相關系數外，還有其他參數與信息數量的敏感性分析中的假設一致。由圖4可以看出，當市場需求與更新信息的相關度大于0.3時，隨著市場需求與更新信息的相關度的增大，制造商采購數量不斷增大，并且曲線凹向原點。這是因為制造商獲得了較為準確的市場需求信息，使得制造商部件2的采購更為準確，從而降低了該部件的缺貨損失或過剩成本，帶來制造商期望利潤增加；當相關度不斷增大時，需求不確定的范圍不斷減小，故對制造商期望利潤的影響幅度在減小，所以表現為邊際利潤減小，這符合邊際報酬遞減規律。當市場需求與更新信息的相關度小于0.3時，制造商的利潤近似于一條水平線。這是由于此時兩部件面臨相同的需求不確定性，其采購數量相同，市場需求與更新信息的相關度對利潤的影響太小，可以忽略不計。

4 結 語

傳統信息更新下的采購決策模型均未考慮采購商的采購模式與部件的相關性。本文將兩者納入到信息更新條件下的采購決策模型中。通過采購商的利潤最大化，證明了其最優采購策略的存在性及其存在形式，并進一步探討了更新信息質量對集中采購策略的影響。發現隨著需求更新信息質量的提高，制造企業對僅采用集中采購模式的部件的采購量將增加，而采用混合采購模式的部件集中采購數量將減少，也即更傾向于使用分散采購。但是由于部件采購成本和配套性的約束導致企業并不是總能利用這種需求更新信息優勢。

本文沒有考慮信息更新時機、庫存成本和供應鏈利潤最大化等問題。因此，在今后研究中可從兩個方面來深入探討：①當信息更新時機不同，考慮庫存成本時，采購策略會否發生變化；②當考慮供應鏈利潤最大化的條件下，采購策略是否會發生變化。