怎樣解方案設計題

文/ 房延華

方案設計問題是中考的重要題型.它以生活中的素材為背景，考查我們運用數學知識解決實際問題的能力.下面以中考題為例，把方案設計題的解法歸類總結如下.

一、圖形設計問題

例1三塊正方形紙板的邊長都是60cm，請分別按下列要求設計一種剪裁方法，折疊成一個禮品包裝盒（紙板的厚度忽略不計）．要求盡可能多地利用紙板，用虛線表示你的設計方案，并把剪裁線用實線標出．

（1）包裝禮盒的六個面由六個矩形組成（如圖1），請畫出設計圖；

（2）包裝禮盒的上蓋由四個全等的等腰直角三角形組成（如圖2），請畫出設計圖；

（3）包裝禮盒的上蓋是雙層的，由四個全等的矩形組成（如圖3），請畫出設計圖．

解：答案不唯一．如圖4所示.

圖1

圖2

圖3

圖4

例2閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．

圖5

平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質都非常熟悉.生活中還有一種特殊的四邊形——箏形．它的形狀與風箏的骨架相似．

定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖5，四邊形ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形；

②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.

顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點和不同點.

如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據以上材料完成下列任務：

（1）請說出箏形和菱形的相同點和不同點各兩條；

（2）請仿照圖5的畫法，在圖6所示的8×8網格中重新設計一個由四個全等的箏形和四個全等的菱形組成的新圖案.具體要求如下：

圖6

①頂點都在格點上；

②既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

③將新圖案中的四個箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）．

解：（1）相同點：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③一條對角線垂直平分另一條對角

線；④一條對角線平分一組對角；⑤都是軸對稱圖形；⑥面積等于對角線乘積的一半.

不同點：①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形的鄰角互補，箏形的鄰角不互補；⑥菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，箏形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.

（2）如圖所示：

圖7

二、利用方程或不等式設計方案

例3足球比賽規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．某足球隊共進行了6場比賽，得了12分，該隊獲勝的場數可能是（ ）

A.1或2. B.2或3. C.3或4. D.4或5.

解：設該隊勝x場，平y場，則負（6-x-y）場，

根據題意，得3x+y=12，∵x，y均為非負整數，且x+y≤6，

∴ 當y=0時，x=4；當y=3時，x=3. 選C．

例4某中學計劃購進甲、乙兩種規格的書柜，若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個，共需資金1020元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元．請解答：

（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購進這兩種規格的書柜共20個，其中乙種書柜的數量不少于甲種書柜的數量，學校至多能夠提供資金4320元，請設計幾種購買方案供這個學校選擇．

解：（1）設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元.

答：設甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元．

（2）設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20-m）個.

∵m取整數，∴m為8，9，10．

購買方案有三種：甲種書柜8個，乙種書柜12個；甲種書柜9個，乙種書柜11個；甲種書柜1個，乙種書柜10個．

三、利用函數設計方案

例5江南農場收割小麥，已知1臺大型收割機和3臺小型收割機1小時可以收割小麥1.4公頃，2臺大型收割機和5臺小型收割機1小時可以收割小麥2.5公頃．

（1）求每臺大型收割機和每臺小型收割機1小時收割小麥各多少公頃？

（2）大型收割機每小時費用為300元，小型收割機每小時費用為200元，兩種型號的收割機一共有10臺，要求2小時完成8公頃小麥的收割任務，且總費用不超過5400元，有幾種方案？請指出費用最低的一種方案，并求出相應的費用．

解：（1）設每臺大型收割機1小時收割小麥x公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥y公頃.

（2）設大型收割機有m臺，總費用為w元，則小型收割機有（10-m）臺.

根據題意得w=300×2m+200×2（10-m）=200m+4000．

∴有3種方案．

∵w=200m+4000，200＞0，∴w隨m值的增大而增大，

∴當m=5時，總費用取最小值，最小值費用為5000元．