基于單粒子模型的鋰離子電池荷電狀態(tài)估計(jì)

崔鷹飛，陳則王

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 211106)

0 引言

在能源危機(jī)和環(huán)境污染日益嚴(yán)重的背景下，節(jié)能和環(huán)保是時(shí)代的主題，尋求安全、清潔、高效的能源轉(zhuǎn)化和存儲(chǔ)技術(shù)是目前科技領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。電池作為一種電能的存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)化載體，能夠在幾乎不付出環(huán)境污染代價(jià)的同時(shí)以極高的效率轉(zhuǎn)化能量，因而受到科技領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。荷電狀態(tài)估計(jì)(state of charge, SOC)是電池管理系統(tǒng)的核心部分，它不僅可以使用戶直觀明確地了解電池電量的使用及剩余情況，還決定著電池的使用性能和安全。由此可見，電池SOC的估算研究有著重要的意義[1]。

目前常用的SOC估計(jì)方法大多是基于電池模型實(shí)現(xiàn)的。將模型應(yīng)用于電池管理系統(tǒng)當(dāng)中，不僅要考慮模型的準(zhǔn)確性，使模型盡量準(zhǔn)確地還原電池的工作情況，還要考慮模型的簡(jiǎn)便程度，以使模型的計(jì)算合理占用資源，提高效率[2]。常用的電池模型主要有經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚3]、等效電路模型[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[5]和電化學(xué)模型。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⑸窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精度受限于訓(xùn)練樣本，而等效電路模型中的模型參數(shù)并沒有實(shí)際物理意義，在復(fù)雜工況上誤差較大，且這3種模型都無法分析電池的老化和安全問題。而電化學(xué)模型從機(jī)理上分析電池特性，模型精度更高。

常用的電池電化學(xué)模型有準(zhǔn)二維多孔電極模型(P2D model)和單粒子模型 (SP model)。P2D模型[6-7]包含一系列耦合偏微分方程，模型復(fù)雜度很高，不適合直接應(yīng)用于電池管理系統(tǒng)。

SP模型[8-9]就是利用單個(gè)粒子來代替活性物質(zhì)中的所有粒子，忽略了電解液濃度梯度、液相擴(kuò)散過電勢(shì)、固相濃度在電極厚度方向上的濃度分布，并假設(shè)各電極內(nèi)電化學(xué)反應(yīng)均勻，各點(diǎn)反應(yīng)率完全一致，從而減少了偏微分方程的個(gè)數(shù)，使計(jì)算過程得到簡(jiǎn)化。單粒子模型與P2D模型相比，計(jì)算過程得到簡(jiǎn)化，在中低倍率下能較好地描述電池工作狀態(tài)。

由于實(shí)際應(yīng)用中仍然存在需要中低倍率工作的電池，如手機(jī)等。本文選用單粒子模型來對(duì)電池建模，通過單粒子模型即可根據(jù)電池工作電流求解出相應(yīng)時(shí)刻的電池端電壓和活性粒子內(nèi)平均濃度cs,avg,i，而電池SOC可以通過活性粒子內(nèi)平均濃度進(jìn)行求解。因此可以通過單粒子模型得出電池端電壓與電流以及SOC的關(guān)系方程，將該方程作為擴(kuò)展卡爾曼濾波的觀測(cè)方程，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)SOC的在線估計(jì)，最后基于COMSOL的仿真數(shù)據(jù)來分析SOC估計(jì)的精度。

1 鋰電池電化學(xué)模型

1.1 偽二維多孔電極模型

鋰電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由正極集流體、正極活性材料、隔膜、負(fù)極活性材料、負(fù)極集流體、電解液組成[2]。假設(shè)活性粒子為球形顆粒，鋰離子在活性粒子中沿著r方向擴(kuò)散，這是鋰離子的固相擴(kuò)散過程。對(duì)于鋰離子在電解液中的遷移，即液相擴(kuò)散過程，偽二維多孔電極模型只考慮x方向上鋰離子的遷移。總的來說，偽二維多孔電極模型由10個(gè)耦合的非線性偏微分方程組成。

簡(jiǎn)單來說，準(zhǔn)二維多孔電極模型即可以根據(jù)電流輸入來模擬仿真得出對(duì)應(yīng)時(shí)刻的電池端電壓、相關(guān)鋰離子濃度等信息。由于在鋰電池電化學(xué)建模領(lǐng)域存在相關(guān)參數(shù)獲取困難的問題，一般通過將P2D模型仿真結(jié)果作為一個(gè)參考值來驗(yàn)證其他簡(jiǎn)化模型的精度高低，因此本文將準(zhǔn)二維仿真得到的端電壓以及基于準(zhǔn)二維模型采用安時(shí)積分法求出的SOC作為參考值來驗(yàn)證本文提出的SOC估計(jì)算法的準(zhǔn)確性。具體的控制方程見表1。相關(guān)參數(shù)見表2(參數(shù)來源于COMSOL仿真軟件以及文獻(xiàn)[6])。

表1 偽二維數(shù)學(xué)模型各區(qū)域的控制方程及邊界條件

表2 電池模型參數(shù)

續(xù)表2

1.2 單粒子模型

圖1 鋰電池結(jié)構(gòu)原理示意圖

單粒子模型指的是利用一個(gè)球形粒子來代表整個(gè)電極而建立的一種電池簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。建立電池單粒子模型的第一個(gè)前提條件是假設(shè)整個(gè)電池內(nèi)(正極、隔膜和負(fù)極)各處的液相濃度值均是一個(gè)常量;另一個(gè)前提條件是假設(shè)一個(gè)電極內(nèi)各處的固相電勢(shì)相等。基于這些假設(shè)條件可知一個(gè)電極內(nèi)各處的反應(yīng)離子流密度也相等，這樣電極內(nèi)一個(gè)活性粒子的電化學(xué)特性就可以代表整個(gè)電極的特性，進(jìn)而得到了電池的單粒子模型。由于單粒子模型假設(shè)電極內(nèi)各處的反應(yīng)離子流密度相等，則正負(fù)極集流體邊界處的反應(yīng)離子流密度為：

(1)

式中：I為電池工作電流，放電為正，充電為負(fù)，A為電極有效面積；Ri為活性粒子顆粒半徑；li為極板厚度；εi為材料孔隙率；εf,i為填充物質(zhì)體積分?jǐn)?shù)；F為法拉第常數(shù)；p為正極，n為負(fù)極。

這里利用三參數(shù)拋物線近似法[10]來簡(jiǎn)化固相擴(kuò)散過程，進(jìn)而求解得到固相粒子表面鋰離子濃度。則粒子表面鋰離子濃度可以通過下式近似求解。

(2)

(3)

式中：cs,avg,i為正負(fù)極活性粒子內(nèi)平均鋰離子濃度；cs,0,i為固相初始鋰離子濃度；Ri為正負(fù)極活性粒子顆粒半徑；ji為正負(fù)極反應(yīng)離子流密度；cs,surf,i為正負(fù)極活性粒子表面鋰離子濃度；Ds,i為正負(fù)極固相擴(kuò)散系數(shù)；qi,avg(t)為是固相擴(kuò)散過程中粒子內(nèi)鋰離子體積平均濃度流量；n為負(fù)極區(qū)域，p為正極區(qū)域。

在恒流放電工況下，qi,avg(t)的計(jì)算式為：

(4)

(5)

在其他任何充放電工況下，qi,avg(t)的計(jì)算式為：

(6)

活性粒子的表面濃度決定了鋰電池的開路電壓，如式(7)所示。

(7)

式中:UP為正極開路電壓，Un為負(fù)極開路電壓。根據(jù)Bulter-Volmer方程，可以推導(dǎo)出反應(yīng)極化過電勢(shì)如式(8)所示。

(8)

(9)

在單粒子模型中，認(rèn)為電池的歐姆極化過電勢(shì)主要是SEI膜歐姆極化過電勢(shì)。歐姆極化過電勢(shì)表示為：

ηSEI=RSEI,pFjp-RSEI,nFjn

(10)

則電池端電壓可以表示為：

U=Up(cs,avg,p)-Un(cs,avg,n)-ηact-polarzation-ηSEI

(11)

本文將SOC定義為：

(12)

(13)

(14)

式中：cs,avg,i為正負(fù)極固相平均鋰離子濃度；cs,max,i為正負(fù)極固相最大鋰離子濃度；θ100%為荷電狀態(tài)為100%時(shí)的化學(xué)計(jì)量比；θ0%為荷電狀態(tài)為0%時(shí)的化學(xué)計(jì)量比；n為負(fù)極；p為正極。

則式(11)可以記為:

V=Up(SOC)-Un(SOC)+f(C)

(15)

式中C為放電倍率。

2 基于EKF的鋰離子電池SOC估計(jì)方法

2.1 安時(shí)計(jì)量法

通過對(duì)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)流過電池的電流進(jìn)行積分，計(jì)算出流入或者流出電池的電量，如果已知電池的初始SOC值，便可用初始SOC值加上或者減去流過電池的電量，得到電池剩余電量。

本文基于安時(shí)積分法估計(jì)出的SOC作為SOC參考值，如式(16)所示。

(16)

式中Ck為k時(shí)刻放電倍率。

2.2 基于EKF的SOC估計(jì)方法

卡爾曼濾波算法通過采用遞推線性最小方差估計(jì)方法，利用系統(tǒng)可觀測(cè)的輸出估計(jì)誤差去修復(fù)不可觀測(cè)的狀態(tài)估計(jì)誤差。卡爾曼濾波主要用于估計(jì)線性時(shí)變模型，而當(dāng)被估計(jì)的系統(tǒng)模型是非線性的時(shí)候，就需要使用擴(kuò)展卡爾曼濾波來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)。卡爾曼濾波是一個(gè)遞推的過程，而本文采用卡爾曼濾波，則可以根據(jù)電流量輸入依次遞推求解相應(yīng)時(shí)刻的SOC值，即可實(shí)現(xiàn)SOC的在線估計(jì)。

鋰離子電池SOC在線估計(jì)的離散空間狀態(tài)方程與觀測(cè)方程如式(17)、式(18)。

(17)

Vk=Up(SOCk)-Un(SOCk)+f(Ck)+νk

(18)

式(17)為狀態(tài)方程，可以記為：

xk=f(xk-1,uk-1)+wk

(19)

式(18)為觀測(cè)方程，可以記為：

Yk=h(xk,uk)+vk

(20)

式中：xk是狀態(tài)變量(SOC)，Yk是觀測(cè)量(端電壓)，uk是輸入量(充放電倍率)，f和h是傳遞函數(shù)，wk與vk分別是系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲，默認(rèn)為互不相關(guān)高斯白噪聲。

定義：

xk=SOCk

(21)

uk=Ck

(22)

(23)

(24)

(25)

EKF濾波算法的循環(huán)遞推計(jì)算如下:

1) 初始化狀態(tài)變量x0和協(xié)方差P0

x0=E[x(0)]

(26)

P0=E[(x(0)-x0)(x(0)-x0)]

(27)

2) 狀態(tài)預(yù)測(cè)

(28)

3) 觀測(cè)預(yù)測(cè)

Yk=h(xk,uk)

(29)

4) 求協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)

(30)

5) 求Kalman增益

(31)

6) 狀態(tài)更新

(32)

7) 協(xié)方差更新

(33)

3 仿真驗(yàn)證與分析

由于單粒子模型在中低倍率工況下精度高，因此本文選取0.2C恒流放電工況和0.5C恒流放電工況來驗(yàn)證本文所提出的SOC估計(jì)算法的有效性。由于安時(shí)積分法在初始值準(zhǔn)確的情況下求出的SOC是準(zhǔn)確的，仿真實(shí)驗(yàn)已知電池初始SOC，因此可采用安時(shí)積分法求出的SOC當(dāng)做真實(shí)值，來對(duì)本文提出的SOC估計(jì)方法的精度進(jìn)行比較分析。而另外安時(shí)積分法又不存在修正能力，本文又對(duì)初始值存在誤差情況下的安時(shí)積分法求解出的SOC與本文提出的方法進(jìn)行了比較，來分析本文提出的SOC估計(jì)方法的誤差修正能力。SOC估計(jì)曲線和曲線細(xì)節(jié)圖如圖2-圖4所示。

圖2 初始SOC存在0.1誤差下0.2C恒流放電工況SOC估計(jì)曲線

圖3 初始SOC存在0.1誤差下0.5C恒流放電工況SOC估計(jì)曲線

圖4 初始SOC存在0.1誤差下0.5C恒流放電工況SOC估計(jì)曲線細(xì)節(jié)圖

從圖2和圖3可以看出，本文所采取的SOC估計(jì)算法精度較高，且有一定的誤差修正能力。當(dāng)SOC初始值存在10%的誤差情況下，AH法嚴(yán)重偏離真實(shí)值，而本文采取的擴(kuò)展卡爾曼濾波法能夠較好修正SOC值。從圖4可以看出，EKF遞推到第4步時(shí)SOC誤差<2%。

4 結(jié)語

1) 在電池單粒子模型的基礎(chǔ)上，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)SOC在線估計(jì)，精度較高。

2) 當(dāng)SOC初始值不準(zhǔn)確時(shí)，本文采用的擴(kuò)展卡爾曼濾波法具有很好的魯棒性，能夠準(zhǔn)確地校正SOC，使之回歸真值附近。