具有雙時滯及Holling II型功能反應捕食模型的Hopf分支

，

(太原理工大學 數學學院，山西 太原 030024)

在種群動力學研究中，時間因素對捕食系統的影響是不容忽視的，并且近年來關于時間對捕食系統的研究已經取得了許多有價值的成果，因此對含時滯項捕食系統的研究很有必要。在捕食模型中，功能反應函數是一個關鍵性的因素。文獻[1-6]中研究了時滯與功能反應函數的捕食者-食餌模型，文獻[7]中研究了食餌、捕食者2種群模型，文獻[8-10]中對具有延遲的捕食者-獵物系統進行研究，文獻[8]中探討了有時滯項和Holling II型功能反應函數的2種群捕食模型在每個平衡點的穩定性和正平衡點處的Hopf分支。本文中考慮到種群的生物學意義，只對正平衡點處的穩定性和Hopf分支進行研究，探討雙時滯3種群之間的捕食模型的正平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性。

1 系統正平衡點的穩定性

基于雙時滯和Holling II型反應函數對種群密度的影響，本文中研究以下具有雙時滯3種群之間的捕食模型，

(1)

式中：x1(t)、x2(t)、x3(t)分別為時間t處的一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種的種群密度；r1為一級食餌的內稟增長率；r2和r3分別為二級食餌和捕食者的死亡率；a1為一級食餌相互之間的競爭率；a2為二級食餌捕食一級食餌的營養轉化率；a3和a4分別為捕食者對二級食餌的捕獲率和消化率；m為捕食者的半飽和度；a1、a2、a3、a4、r1、r2、r3、m均為大于0的常數；τ1為追捕時間；τ2為成熟期。 時滯τ1、τ2基于以下假設： 捕食者的變化情況取決于在之前一段時間內食餌和捕食者的數量。 假設x2(t)和x3(t)這2種群有相同的追捕時間τ1和相同的成熟期τ2，根據生態學中種群密度的實際意義，系統(1)定義在三維向量空間+3={(x1,x2,x3)∈3∶x1≥0,x2≥0,x3≥0}上且初值滿足條件

x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))∈C+=

{(-τ,0],+3},x1(t),x2(t),x3(t)>0。

其中C+為定義在定義域為(-τ，0]、值域為+3的連續函數的集合，τ為時滯量。

下面討論系統(1)正平衡點處的穩定性。

定理1 當系統(1)滿足條件

(2)

其中

證明：如果系統(1)存在平衡點,則應滿足

(3)

解(3)可得每個種群密度均不為0的平衡點只有

p1=

q=

λ3+p1λ2+(p2λ+q)e-λτ。

(4)

根據條件，顯然有p1>0,p2>0,q>0。

當τ=0時，特征方程(4)變為

λ3+p1λ2+p2λ+q=0。

(5)

由p1>0,p1p2-q>0，可得

H1∶p1>0，

證明：當τ>0時，假設特征方程(4)的一個純虛根為λ=iω(ω>0)，則ω滿足

由兩式平方相加可得

qcosωτ)2。

(6)

整理式(6)可得

即

從而得出ω0所對應的多個τ0,即

根據Bulter[12]引理，得證。定理3證畢。

2 Hopf分支的存在性

證明：將λ=λ(τ)代入特征方程(4),有

λ(p2λ+q)e-λτ，

則

顯然

則有

定理4證畢。

3 數值模擬

下面驗證當τ=0(見圖1)和τ≠0(見圖2、3)時，系統(1)在正平衡點的穩定性,并在分支參數值不同時對系統(1)進行模擬?？紤]系統

經計算可得該系統的正平衡點E*(0.65, 1.5, 0.2)，進一步計算可以得出τ0=0.785 4，取τ1=0.3,τ2=0.4時，τ=τ1+τ2=0.7<τ0，則E*(0.65,1.5,0.2)是穩定的平衡點(見圖2)；當τ1=0.3,τ2=0.5,即τ=τ1+τ2=0.8>τ0，E*(0.65,1.5,0.2)不具有穩定性，可以產生周期解(見圖3)。

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖1 在τ1=τ2=0條件下E?穩定時各分量的變化及解曲線

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ=τ0+τ1—時滯量;τ0—臨界滯量;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖2 在τ=0.7<τ0,τ1=0.3,τ2=0.4條件下E?穩定時各分量變化及解曲線

(a)x1(t)隨時間的變化(b)x2(t)隨時間的變化(c)x3(t)隨時間的變化(d)解曲線x1(t)、x2(t)、x3(t)—一級食餌、二級食餌和捕食者這3個物種在t時刻的種群密度;τ=τ0+τ1—時滯量;τ0—臨界滯量;τ1—追捕時間;τ2—成熟期;E?—正平衡點。圖3 在τ=0.8>τ0,τ1=0.3,τ2=0.5條件下E?不穩定時各分量變化及解曲線

4 結論

本文中討論了一類帶Holling II型功能反應的三維捕食系統并且引進了2個時滯項，分析了系統的正平衡點在時滯等于0和不等于0時的穩定性。隨著分支數值的增大，系統由穩定變成不穩定，當時滯小于臨界值時，系統是穩定的；當時滯大于臨界值時，系統是不穩定的，會產生Hopf分支，并產生周期解。在第II類功能反應函數的捕食系統中引入隨機項進行進一步討論是以后的研究方向。