一類四階有理差分系統的動力學行為

，，

(太原理工大學 數學學院，山西 太原 030024)

差分方程是研究離散型變量之間變化規律的有效方法。只要變量的離散值具有某種遞推關系，就會與差分方程有所關聯，而且離散的差分模型為進行計算機模擬提供了方便。近幾十年來，差分方程的理論和應用研究得到了迅猛發展，尤其是在經濟、醫學、物理、化學、生物學、軍事科學等領域。差分方程的理論和應用研究幫助人們解決了很多實際問題。近年來，諸多學者致力于研究高階有理差分方程的定性性質，并取得了豐碩的成果，這些結果不僅豐富了人們對差分方程的理論認識，同時使得差分方程的應用更加廣泛。文獻[1-3]中系統、全面地闡述了差分方程的基本理論。 Kurbanli等[4]研究了初值(xi,yi)≥0(i=1, 2)的差分系統

其中n∈。對于給定的初值(xi,yi)(i=-1,0)，該差分系統確定唯一的正解序列同時對解序列的性質進行了分析和討論。Zhang等[5]在初值(xi,yi)(i=-2,-1,0)和參數A、B均為正的條件下研究了差分系統

的正解和平衡點的穩定性等問題。Din等[6]研究了參數α、β、γ、α1、β1、γ1和初值x0、x-1、x-2、x-3、y0、y-1、y-2、y-3均為正實數的差分系統

平衡點的穩定性、不穩定性、全局性以及正解的周期性。Din等[7]研究了參數αi、βi、ai、bi(i=1, 2)和初值x0、x-1、y0、y-1均為正實數的差分競爭系統

正解的有界性、持久性、正平衡點的唯一性、局部和全局行為以及收斂速率問題。Hu等[8]研究了參數a、ai>0(i=0,1,…,k,k=0,1,…),初值x-k,…,x-1≥0,x0>0的差分系統

依賴于參數空間的全局動力學行為。Ignacio等[10]研究了參數a、b為實數，初值(x-1,x0)∈2的差分系統

解的漸近性態和穩定性。

在生態系統中，當世代不重疊的2個種群之間存在著一定的關系(如捕食、競爭、共生、寄生等)時，它們在幾代內的數量變化規律可以通過差分方程來較好地描述。在許多情況下，種群某代的數量往往會受到前四代生命活動的影響。本文中對四階有理差分系統

(1)

的平衡點的存在性及其穩定性、解收斂到平衡點的速率和階-2周期解的存在性等問題進行研究，其中參數a、a1、b、b1、c、c1及初值(xi,yi)(i=-3,-2,-1, 0)均為正實數。

1 解的正性與收斂性

證明：利用第二數學歸納法證明該結論。

假設命題中的條件成立，則當n=0時，由系統(1)可得

(2)

根據式(2)，可得0

現在設n≤p(n,p∈+)時結論成立，即當n≤p時，有0

(3)

進而由式(3)，可得0

由數學歸納法可知該定理結論成立。定理1得證。

定理2 若定理1的條件成立，則系統(1)以(xi,yi)(i=-3,-2,-1, 0)為初值的解序列{(xn,yn)}都有界且收斂于(0,0)。

證明：設{(xn,yn)}為系統(1)以(xi,yi)(i=-3,-2,-1,0)為初值的解序列。由定理1的證明過程，可得

x-1>x1>x3>x5>…>0,

x0>x2>x4>x6>…>0,

y-1>y1>y3>y5>…>0,

y0>y2>y4>y6>…>0。

記M0=max{x-1,x0,y-1,y0}，從而有

M0≥x-1>x1>x3>x5>…>0,

M0≥x0>x2>x4>x6>…>0,

M0≥y-1>y1>y3>y5>…>0,

M0≥y-1>y1>y3>y5>…>0。

由此可知，

進一步有

當n=2p時，有

當n=2p+1時，有

2 平衡點的存在性與穩定性分析

其中：

引理1[11]考慮差分系統

Xn+1=F(Xn),n=0,1,2,…,

(4)

P(λ)=l0λn+l1λn-1+…+ln-1λ+ln,

(5)

定理3 系統(1)存在平凡平衡點P0=(0, 0)，并且如果a>1,a1>1，則該平衡點是局部漸近穩定的。

證明：系統(1)存在平凡平衡點P0=(0,0)，且系統(1)在點P0處的線性近似系統為

Xn+1=FJ(P0)Xn，

其中

Xn=(xn,xn-1,xn-2,xn-3,yn,yn-1,yn-2,yn-3)T，

FJ(P0)的特征多項式為

P(λ)=|λE-FJ(P0)|=

定理3得證。

證明：系統(1)關于正平衡點P1的線性近似系統為

Xn+1=FJ(P1)Xn,

求得

FJ(P1)=

其中

由于a>1，a1>1，因此M,M1>0。

矩陣FJ(P1)的特征多項式為

P(λ)=|λE-FJ(P1)|=

化簡得

P(λ)=λ8-(M+M1+2)λ6-[M(M1+N1)+

M1(M+N)]λ5+[1-M(M1+N1)-

M1(M+N)-(M+N)(M1+N1)]λ4+

[(2(M+N)(M1+N1)+MN1+M1N]λ3+

[(M+N)(M1+N1)+N1(M+N)+

N(M1+N1)]λ2+[N1(M+N)+

N(M1+N1)]λ-NN1。

定理4得證。

3 系統(1)解收斂到平衡點的收斂速率分析

Xn+1=[A+B(n)]Xn，

式中：{Xn}(n∈)為m(m∈+)維矢量Xn的序列；A∈Cm×m為常數方陣，Cm×m為m階常數矩陣集；B(n)∶Z+→Cm×m為矩陣函數且為與向量范數相容的任意一種矩陣范數。

令

求得

(6)

則式(6)可寫為

In+1=T(n)In=

對Kj(n)、Lj(n)、Hj(n)、Rj(n)(j=0,1,2,3)取極限得

這時有

4 系統(1)階-2周期解的存在性

定理5 1)假設a>1,a1>1, 若b=c和b1=c1至少有一個成立, 則系統(1)存在正的階-2周期解；

2)若a=1,a1=1中的任意一個成立,則系統(1)存在階-2周期解。

證明：若系統(1)存在階-2周期解，則由階-2周期解的定義可知，存在2個數組(s1,t1)和(s2,t2)，s1=s2與t1=t2不同時成立，并且滿足

(7)

這樣，系統(1)階-2周期解的存在性就轉化為討論上述方程組s1=s2與t1=t2不同時成立的解(s1,t1,s2,t2)的存在性。

1)當s1、t1、s2、t2均非零且a>1，a1>1時，式(7)等價于

(8)

又由于b1=c1，因此，式(8)后2個方程為同一方程b1s1s2(s1+s2)=a1-1，即

綜上所述，假設a>1,a1>1，若b=c和b1=c1至少有一個成立，則系統(1)存在正的階-2周期解。

2)當a=1時，由式(7)可得，若s1=s2=0，此時只要選取滿足t1、t2不全為0的任意實數，且a1=1，則確定的序列(s1,t1),(s2,t2),(s1,t1),(s2,t2),…為系統(1)的階-2周期解；若s1,s2≠0，則有

t1t2(bt2+ct1)=t1t2(bt1+ct2)=0。

(9)

以下分4種情況進行討論。

①若t1=0,t2≠0,此時bt2+ct1≠0,bt1+ct2≠0,則s1與s2的取值須滿足s1s2(b1s1+c1s2)=a1-1，即

③若t1=0,t2=0，此時bt2+ct1=0,bt1+ct2=0,只要選取滿足s1,s2不全為0的任意實數，則確定的序列(s1,t1),(s2,t2),(s1,t1),(s2,t2),…為系統(1)的階-2周期解。

a1=1的情況類似可證。

綜上所述，若a=1，a1=1中的任意一個成立，則系統(1)存在階-2周期解。

定理5得證。

5 數值模擬

利用數值模擬的方法來驗證定理2解的收斂性、定理4正平衡點的不穩定性、定理5階-2周期解的存在性與不唯一性。

例1 在系統(1)中取a=1 126,b=0.008,c=2.1,a1=1 146,b1=2.01,c1=1.7,得到系統

(10)

(a) xn隨n的變化

(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈)—系統(10)所確定的解序列。圖1 系統(10)中xn、yn隨n的變化

例2 在系統(1)中a=9,b=0.62,c=0.38,a1=28,b1=0.3,c1=0.7, 得到系統

(11)

容易驗證定理4的條件成立，且P(3, 2)為該系統的一個正平衡點，取x-3=3.000 1,x-2=3.000 1,x-1=3.000 1,x0=3.000 1,y-3=2.001,y-2=2.001,y-1=2.001,y0=2.001,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖2所示。由圖可知，盡管初值與平衡點P相當接近，但是解序列未全留在P的足夠小鄰域內，即P是不穩定的，這與定理4相符。

(a) xn隨n的變化

(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈)—系統(11)所確定的解序列。圖2 系統(11)中xn、yn隨n的變化

例3 在系統(1)中a=85,b=1,c=1,a1=7,b1=1,c1=1,得到系統

(12)

容易驗證定理5中1)的條件成立。取x-3=1,x-2=2,x-1=1,x0=2,y-3=3,y-2=4,y-1=3,y1=4,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖3所示。由圖可知，{(1,3),(2,4),(1,3),…}為系統(12)的一個階-2周期解。再取a=10,b=0.5,c=0.5,a1=1,b1=0.3,c1=0.7,得到系統

(a) xn隨n的變化(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈?)—系統(12)所確定的解序列。圖3 系統(12)中xn、yn隨n的變化

(13)

容易驗證定理5中2)的條件成立。取x-3=0,x-2=0,x-1=0,x0=0,y-3=1,y-2=2,y-1=1,y0=2,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖4所示。由圖可知，{(0,1),(0,2),(0,1),…}為系統(13)的一個階-2周期解。這與定理5相符。

(a) xn隨n的變化(b) yn隨n的變化{(xn,yn}(n∈?)—系統(13)所確定的解序列。圖4 系統(13)中xn、yn隨n的變化

6 結論

本文中討論了一類特殊的四階有理差分系統的定性行為。 利用分析的方法證明了在一定條件下正解的存在性與收斂性；利用Hurwitz判據證明了當a>1,a1>1時，平凡平衡點的局部漸近穩定性及正平衡點的不穩定性；利用Poincaré-Perron方法分析了解收斂到平衡點的收斂速率；利用代數方法討論了當a≥1,a1≥1時，階-2周期解的存在性與不唯一性；通過數值模擬證明了解的收斂性、正平衡點的不穩定性以及階-2周期解的存在性與不唯一性的正確性。 該系統的全局行為是下一步要研究的內容。