特殊與一般思想在高考數學中的應用

張剛

在數學學習中，單純地進行題海戰術，是很難取得理想成績的. 因此，我們要想提高數學解題能力和意識，就必須注重數學思想的領會和運用，對平時所用的數學思想進行梳理與總結，認識本質，提高能力，以便靈活運用這些數學思想解決高考數學題.本文以特殊與一般思想在高考數學中的應用為例，來說明如何領會和運用這一思想.

一、依據題型，賦予特值

一般與特殊之間的轉化是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或者是將某些特殊問題進行一般化處理的方法.此法多用于選擇題或者填空題的解答.因此，破解此類問題的關鍵是確定關鍵元素尋找轉化元素轉化為新問題④得出結論.

例1. 已知數列{an}，{bn}都是公差為1的等差數列，其首項分別為a1，b1，a1+b1=5，a1，b1∈Z+，設cn={n∈Z+}，則數列{cn}前10項和等于（ ）

A. 55 B. 70 C. 85 D. 100

解析：用特殊化策略.設b1=1，則a1==4. 從而bn=n，于是有cn==+（bn-1）·1=4+n-1=n+3. c1+c2+…+c10=（1+2+…+10）+30=85.

點評：本題根據選擇題的特點，對賦予特殊值處理，求出數列{cn}的前10項和，從而排除錯誤的結果，選出符合題目要求的選項.

二、巧抓結構，構造公式

數學中的很多新符號、新定義都很抽象，對于同學們來說，往往難以理解，如果能夠根據所給式子的結構特征，恰當合理的構造出相關的數學公式或者定理，就可以將抽象問題具體化，實現數學問題的明朗化，從而轉化為所學的內容進行解決.

例2. 記max{a，b}為a，b兩數的最大值，當正數x，y變化時，t=max{，，x2+y2}的最小值為 .

解析：由題意知：t≥，t≥，t≥x2+y2，所以3t≥++x2+y2.又因為++x2+y2≥++2xy≥3=3，所以3t≥3，即t≥.

所以，當正數x，y（x>y）變化時，t=max{，，x2+y2}的最小值為.

點評：本題屬于抽象函數的最值問題，通過觀察所求式子中含有，，與x2+y2之間的結構特征，故考慮構造具體的不等式t≥，t≥，t≥x2+y2，然后將三式相加即可求解.因此，對于有些抽象的數學問題?？梢酝ㄟ^觀察結構特征，轉化為具體問題求解.通常遇到求t=max{，，+}最小值問題或者求t=min{，， + }的最大值問題，都可以考慮構造具體的基本不等式，進行類似處理.

三、特殊探路，猜測規律

很多較為復雜的高考數學壓軸題，由于題目長，數學符號多，往往考查特殊現象背后隱藏的一般性抽象規律，學生往往難于從題設條件尋找出一般規律，從而草草收場，丟分太多.如果能夠抓住圖中的特殊位置，取值范圍中的特殊值或者特殊角等等，通過嘗試代入特殊情況之進行試探，大膽猜測，或許會收到意想不到的效果.

例3. 橢圓E：++1（a>b>0）的左右焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=，過點F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（1）求橢圓E的方程.

（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

解析：（1）只需根據ABF2的周長為8的條件，結合橢圓定義即可求得橢圓方程為+=1.

（2）通過聯立直線與橢圓方程，即由y=kx+m，+=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0， 化簡得4k2-m2+3=0.

此時x0=-=-， y0=kx0+m=， 所以P（-，）.

由x=4，y=kx+m，得 Q（4，4k+m）. 下面探求點M的存在性.

假設平面內存在點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上. 取k=0，m=，此時P（0，），Q（4，），以為PQ直徑的圓為（x-2）2+（y-）2=4，交x軸于點

M1（1，0）， M2（3，0），取k=-，m=2，此時P（1，），

Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x-）2+（y-）2=，交軸x于點M1（1， 0）， M2（4， 0）. 所以若符合條件的點M存在，則點M的坐標必為（1，0）. 以下證明M（1，0）就是滿足條件的點.因為點M的坐標（1，0）. 所以 =（--1，）， =（3， 4k+m），從而 ·=--3++3=0，故恒有 ⊥，即存在定點M（1， 0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點M.

點評：對于這類圓過定點的問題，常常通過試探性的選取一些特殊點，進行探路，嘗試尋找是否有一般性的問題結果，然后在進行證明，顯得自然、合理. 這里從特殊到一般的數學思想體現了價值.也有了用武之地.

四、一般位置，特殊對待

形體位置關系主要針對幾何問題，往往采用特殊化位置處理，主要適用于空間幾何圖形的平行、垂直的證明以及幾何體的體積求法，有時需要將幾何體切割、挖補、延展、轉化形成便于觀察和計算的常見幾何體來處理.

例4. 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（）

A. B. 5 C. 6 D.

解析：將圖形特殊化，如圖所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2. 連接DF、AF，則EF⊥面ADE，△ADE為直角三角形.

S△ADE=·AD·DE =×3×2=3.于是

VF-ADE=·EF·S△ADE=××3=，

VF-ABCD=·DE·S△ABCD=×2×32=6.

所以VABCDEF=+6=.

答案選D.

點評：題目中提供的圖形，除底面是正方形以外，其他沒有任何特殊之處，如果直接用割補法求解，難度和計算量都會增加不小.因此，對于一般圖形求面積或者體積時，可以通過改變線線關系或線面關系，使之轉化為垂直或者平行等特殊化位置，進而使用換底、變高等方法分割求解.

五、由形悟數，數形結合

以形悟數，即借助形的直觀性來闡明、領悟數量之間的關系，常用手段是將圖形中的變化規律，數量變化代替圖形變化，將圖形變化轉化為具體的可推理的數字符號推理，再借助于相關數學知識解決. 形數結合現在普遍存在于高考中的數列通項公式、前n項求和、函數圖像、方程曲線的等問題中.

例5. 傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或者用小石子表示數. 他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數，1，3，6，10…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（1）b2012是數列{an}中的第 項.

（2）b2k-1= .（用k表示）

解析：由以上規律可知三角形數1，3，6，10，…的一個通項公式為an=，寫出其若干項有：1，3，6，10，15，21，28，

36，45，55，66，78，91，105，120，…發現其中能被5整除的為10，15，45，105，120，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.

從而由上述規律可猜想：b2k=a5k=（k為正整數），b2k-1=a5k-1==，故b2012=b2×1006=b5×1006=a5030，即b2012是數列{an}中的第5030項.

答案：（1）5030；（2）.

點評：遇到圖形問題，要善于將直觀的圖形與抽象的數學符號語言聯系起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的出現引發對數量變化的思考，使問題化難為易. 本題通過對三角形數的前幾項的歸納猜想，尋找出能被5整除的數字變化規律，發現數列{bn}的各項與數列{an}的各項的變化聯系，進而得出數列{bn}通項公式，再求出第2012項.這樣，由圖想數，數形結合使問題解決達到事半功倍之效.

責任編輯徐國堅