2018年高考函數(shù)與導數(shù)考點預測

藍云波

函數(shù)是高中數(shù)學的主線，也是學好其它內(nèi)容的基礎，因此其重要性不言而喻.函數(shù)內(nèi)容知識點多，考點豐富，解決問題的思想方法靈活多變，歷來是高考的重點與難點. 導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具，在高考中通常作為壓軸題的形式存在，是高考亮麗的風景所在，是兵家必爭之地.從最近幾年的新課標全國卷高考試題來看，函數(shù)與導數(shù)壓軸題主要以函數(shù)的單調性、極值、最值、函數(shù)的零點、函數(shù)不等式的證明為載體，考查考生的綜合素質與能力，具有一定的難度. 本文通過預測高考函數(shù)與導數(shù)的核心考點，以期幫助同學們更高效地備考.

一、函數(shù)的概念與性質

函數(shù)的概念在高考中往往不直接考查，一般都是以考查求函數(shù)值、分段函數(shù)的相關問題為主. 對于函數(shù)的性質問題，高考則重點考查，考查方式繁多. 多以單調性、奇偶性、對稱性、周期性為載體，綜合考查考生運用函數(shù)知識問題的能力.特別要關注借助函數(shù)性質進行求解不等式、判斷函數(shù)圖像等熱點問題.

預測題1 （1）已知函數(shù)f（x）=2018x-2018-x+log2018（+x），則關于x的不等式f（3x+1）+f（x）>0的解集為（ ）

A. （-∞， 0） B. （0， +∞） C. （-∞， -） D. （-， +∞）

（2）已知函數(shù)f（x）=（e2018x-e2018x）x2017，f（log2018x）+f（logx）≤2f（1），則x的取值范圍是 .

解析 （1）因為f（x）+f（-x）=2018x-2018-x+log2018（+x）+2018-x-2018-x+log2018（+x）=ln 1=0，即f（-x） = -f（x），顯然f（x）在[0， +∞）上單調遞增，由奇函數(shù)的性質知，f（x）在R上單調遞增，不等式f（3x+1）+f（x）>0等價于f（3x+1）>-f（x），即f（3x+1）>f（-x）， 所以3x+1>-x， 解得x>-， 即不等式f（3x+1）+f（x）>0的解集為（-， +∞）.

（2）因為f（x）=（e2018x-e2018x）x2017. 所以f（-x）=f（x）成立. 故 f（x）是偶函數(shù)，且在[0， +∞）上單調遞增，又因為f（logx）=f（-log2018x）=f（log2018x），故不等式f（log2018x）+f（logx）≤2f（1）等價于f（log2018x）≤ f（1），所以 | log2018x |≤1，即-1≤log2018x ≤1，解得≤x≤2018. 所以x的取值范圍是[， 2018].

點評 利用函數(shù)的性質解不等式是高考的熱門考點，考查頻率頗高. 對于一些比較復雜的函數(shù)不等式問題，借助函數(shù)的單調性與奇偶性是解題的鑰匙. 對于關于偶函數(shù)的函數(shù)不等式問題，利用偶函數(shù)的性質f（| x |）=f（x）往往可以避免繁雜的分類討論，在備考中特別要引起重視.

二、函數(shù)與方程

函數(shù)與方程是高考的核心考點，每年都考查，且常考常新，對于不涉及導數(shù)的函數(shù)與方程問題，一般以客觀題為主.隨著高考命題的深入開展，形成了不少熱門題型，如零點或方程的根之和問題、嵌套函數(shù)零點問題等，解題的關鍵是分離參數(shù)，或借助換元技巧各個突破，并結合數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想實現(xiàn)問題的求解.

預測題2 （1）若關于x的方程k（x-1）2 = 有4個不同的實數(shù)根，且其所有實數(shù)根的和為S，則實數(shù)S的取值范圍為（ ）

A. （2， ） B. （3， ）

C. （2， ） D. （3， ）

（2）已知f（x）是定義在上R的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x） =| ln （x-1） |，x>13sin ？仔x， 0≤x≤1若關于x的方程f 2 （x）-2bf（x）=0有13個不同的實根，則實數(shù)b的取值范圍是 .

解析 （1）顯然x=1是方程的1個根，當x≠1時，

== x| x-1 |=x（x-1），x>1x（1-x）， x<1且x≠0由題意，函數(shù)y=x（x-1），x>1x（1-x）， x<1且x≠0與y=的圖像有3個不同的交點，由圖可知，0<<，故k>4. 不妨設方程的4個實數(shù)根分別為x1， x2， x3， x4，且x11時），得x=，所以1

（2）由f 2 （x）-2bf（x）=0，得f（x）=0或f（x）=2b.

如圖所示，f（x）的大致圖像為：

因為方程f（x）=0的根的個數(shù)，即為y=f（x）與y=0有交點個數(shù)，而y = f（x）與y=0有五個不同的交點. 故要使方程f 2 （x）-2bf（x）=0有13個不同的實根，則y=f（x）與y=2b必有8個不同個交點，所以0<2b<3，即0

點評 函數(shù)與方程是高考重點考查的內(nèi)容，第一小題使用了分類討論的思想，當時，使用了分離參數(shù)的方法，通過數(shù)形結合，結合局部的對稱性，實現(xiàn)問題的求解.而第二小題是經(jīng)典的嵌套函數(shù)問題，通過換元策略，分解成兩個方程的解的問題，通過對內(nèi)外層函數(shù)的深入分析，得出答案.

三、函數(shù)模型

近幾年的高考，越來越重視數(shù)學建模的命題，新課標也明確把數(shù)學模型作為六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一. 因此，以后的高考會加大這方面的試題的比重. 特別是以立體幾何、數(shù)列、實際生活為背景，借助導數(shù)解決問題的試題更加要引起注意.

預測題3 如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器. 當這個正六棱柱容器的底面邊長為時，其容積最大.

解析 設被切去的全等四邊形的一邊長為x（如圖所示），

則正六棱柱的底面邊長為1-2x，高為x，所以正六棱柱的體積V（x）=6×（1-2x）2 ×x（00，V（x）在（0， ）上單調遞增，當x∈（， ）時，V′（x）<0，V（x）在（， ）上單調遞減. 所以當x=時，V（x）有最大值.

此時，正六棱柱的底面邊長為.

點評 此題是一道與立體幾何進行交匯的實際問題，應注意蘊含條件的挖掘. 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量、建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意得到的結果應與實際情況相符合. 在實際問題中，如果可導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較.

四、導數(shù)的概念及其計算

導數(shù)的幾何意義是高考的重點，難度適中，在高考中常以小題或解答題的第一問呈現(xiàn). 切線問題考查頻率頗高，較為靈活命題時，往往考查隱切線問題. 而可導抽象函數(shù)問題是高考命題的一大熱點，通過構造可導的抽象函數(shù)，可解決函數(shù)不等式、比較大小等問題.如何構造函數(shù)是解題的難點.

預測題4 （1）函數(shù)f（x）的定義域是（0， ），f′（x）是它的導函數(shù)，且f（x）+tan x·f ′（x）>0在定義域內(nèi)恒成立，則（）

A. f（）>f（） B. sin1· f（1）>f（）

C. f（）>f（） D. f（）>f（）

（2）設f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，且滿足f（x）+xf′（x） >0， 則不等式f（）>f（）的解集為 .

解析 （1）因為x∈（0， ），所以sin x>0，cos x<0. 由f（x）+tan x·f′（x）>0可得cos x·f（x）+sin x·f′（x）>0. 令g（x）=sin x·f（x），x∈（0， ）.

則g′（x）=cos x·f（x）+sin x·f′（x）>0，所以g（x）在（0， ）上是增函數(shù)，所以g（1）>g（），即sin 1·f（1）>sin ·f（），即sin 1·f（1）>f（），故選B.

（2）設F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x）>0，所以F（x）在R上單調遞增. 由f（）>f（），可得f（）>f（），即F（）>F（），所以>，所以x+1≥0，x2-1≥0，x+1>x2-1，解得1≤x<2.

故不等式f（）>f（）的解集為{x|1≤x<2}.

點評 本題是抽象可導函數(shù)問題，是近幾年命題的一大熱點. 下面是一些構造函數(shù)解決導數(shù)問題的常用模型：①條件：f′（x）>a，構造函數(shù)：h（x）=f（x）-ax；

②條件：f′（x） ± g′（x）>0，構造函數(shù)：h（x）=f（x） ± g（x）；

③條件：f′（x） + kf（x）>0，構造函數(shù)：h（x）=ekx f（x）；

④條件：f′（x） - kf（x）>0，構造函數(shù)：h（x）=；

⑤條件：xf′（x） + kf（x）>0，構造函數(shù)：h（x）=xkf（x）；

⑥條件：xf′（x） - kf（x）>0，構造函數(shù)：h（x）=.

五、定積分

定積分這塊內(nèi)容在近幾年的高考中考查得比較少，但在高考備考中也應引起重視. 預計這部分內(nèi)容主要以考查定積分的計算與借助定積分求解不規(guī)則圖形的面積問題. 在解答題中，直接考查的概率較小. 但對于某些數(shù)列和型不等式問題，可借助定積分可化難為易、化繁為簡.

預測題5 證明：++…+>n-ln （n+l）（n∈N？鄢）.

證明 如圖所示，dx是曲線y=，x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而++…+是圖中所示各矩形的面積之和.

所以++…+>dx.

而dx=（l-）dx==n-ln （n+l）.

所以++…+>n-ln （n+l）.

點評 證明形如f（i）>c（或g（n）（或

六、導數(shù)在函數(shù)中的應用

導數(shù)在函數(shù)中的應用，主要體現(xiàn)在函數(shù)的單調性、極值與最值方面. 特別是函數(shù)的單調性，是解決其它問題的基礎.高考在這部分的命題中，考查頻率高，考題靈活多變，對數(shù)學思想方法的成功運用是解題的關鍵.

預測題6 已知函數(shù)f（x）=a ln x-ax-3（a∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）函數(shù)的y= f（x）圖像在x=4處的切線的斜率為，若函數(shù)g（x）=x3+x2 [f′（x）+]在區(qū)間（1， 3）上不是單調函數(shù)，求m 的取值范圍.

解析 （1）依題意f′（x）=-a=（x>0）.

①當a=0時，f（x）=-3為常函數(shù)，不是單調函數(shù)；

②當a>0時，x∈（0， 1）時，f′（x）>0，x∈（1， +∞）時，f′（x）<0，所以f（x）的單調增區(qū)間為（0， 1），單調減區(qū)間為（1， +∞）；

③當a<0時，x∈（0， 1）時，f′（x）<0，x∈（1， +∞）時，f′（x）>0，所以f（x）的單調減區(qū)間為（0， 1），單調增區(qū)間為（1， +∞）.

（2）由f′（4）==，得a=-2，則f′（x）=-a=，所以g（x）=x3+x2 [f′（x）+]

=x3+x2 （+）=x3+ （+2）x2-2x.

所以g′（x）=x2+ （m+4）x-2. 因為g（x）在區(qū)間（1， 3）上不是單調函數(shù)，且g′（0）=-2<0.

所以g′（1）<0，g′（3）>0，即1+（m+4）×1-2<0，9+（m+4）×3-2>0，解得-

故m 的取值范圍為（-， -3）.

點評 分類討論要注意分類的標準，應做到分類合理，同時做到不重不漏.本題第二問考查了化歸與轉化的數(shù)學思想，同時考查了一元二次方程的根的分布這一高考高頻考點.

七、導數(shù)與函數(shù)的零點

借助導數(shù)解決函數(shù)的零點問題是高考的一大熱點，單調性與零點存在定理是確定零點個數(shù)特別要注意的兩個方面. 高考對零點問題的考查，還經(jīng)常結合參數(shù)進行考查，如何合理分類討論與避免分類討論要根據(jù)具體問題而定.

預測題7 設函數(shù)f（x）=x2-m ln x，g（x）=x2-（m+1）x. 當m ≥0時，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖像的交點個數(shù).

解析 令F（x）=f（x）-g（x）=-x2+（m+1）x-m ln x，x∈（0， +∞）. 所以函數(shù)f（x）與g（x）圖像的交點個數(shù)等價于函數(shù)F（x）零點的個數(shù).

①當m=0時，F(xiàn)（x）=-x2+x有唯一的零點2.

②當m≠0時，F(xiàn)′（x）=x+m+1+=-.

（i）當m=1時，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，

注意到F（1）=>0，F(xiàn)（4）=- ln 4<0，所以F（x）有唯一零點.

（ii）當m>1時，當0m時F′（x）<0，當10，所以函數(shù)F（x）在（0， 1）和（m， +∞）單調遞減，在（1， m）單調遞增. 注意到F（1）=m+>0，F(xiàn)（2m+2）=-m ln （2m+2）<0，所以F（x）有唯一零點.

（iii）當01時F′（x）<0，m0，所以函數(shù)F（x）在（0， m）和（1， +∞）單調遞減，在（m， 1）單調遞增，意到ln m<0，所以F（m）=（m+2-2 ln m）>0，而F（2m+2）=-m ln（2m+2）<0，所以F（x）有唯一零點. 綜上，函數(shù)F（x）有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.

點評 兩個函數(shù)的圖像的交點問題與函數(shù)的零點問題常?；ハ噢D化，關鍵是觀察函數(shù)的表達式的特征，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法決定解題策略；利用零點存在定理證明含參的函數(shù)的零點的存在性是此類問題的一大難點，如何賦值以確定函數(shù)值的符號是關鍵.

八、導數(shù)與不等式

借助導數(shù)證明不等式是高考的?？停绾螛嬙旌瘮?shù)是解決這類問題的關鍵. 而根據(jù)具體的不等式如何作適當變形是構造函數(shù)的依據(jù). 高考備考中特別要注意導數(shù)零點不可求問題.這個問題在近幾年的命題中屢見不鮮.

預測題8 求證：當x>1時，·>.

證明 因為x>1，所以原不等式等價于·>.

設g（x）=，則g′（x）=

=.

再設？漬（x） = x-ln x，則？漬′（x） = 1-=. 因為x>1，所以？漬′（x）>0，所以？漬（x）在（1， +∞）上是增函數(shù)，所以？漬（x）>？漬（1）=1>0，所以g′（x）>0，所以g（x）在（1， +∞）上是增函數(shù). 所以當x>1時，g（x）>g（1）=2，故>. 令h（x）=，則h′（x）==. 因為x>1，所以1-ex<0，所以h′（x）<0，所以h（x）在（1， +∞）上是減函數(shù)，所以當x>1時，h（x）h（x），即當x>1時，>得證.

點評 構造函數(shù)借助導數(shù)證明不等式，除了直接作差構造之外，還可通過下列技巧求解. ①分離參數(shù)后構造；②通過代數(shù)變形（如取對數(shù)）后構造；③換元構造；④構造雙函數(shù)；⑤主元構造；⑥放縮構造；⑦多次構造.有時還要同時使用上述多種技巧.

責任編輯 徐國堅