“動態圓”在有界磁場中的應用

易海玲

帶電粒子在磁場中的運動問題是電磁學的核心內容，一直是高考的考查重點，而試題絕大多數都是以帶電粒子在有界磁場中的運動類問題呈現。本類問題對知識考查全面，涉及到力學、電學、磁學等高中物理的主干知識，對學生的空間想象能力、分析綜合能力、應用數學知識解決物理問題能力有較高的要求，是考查學生多項能力的極好的載體，因此成為歷年高考的熱點。

從試題的難度上看，多屬于中等難度或較難的計算題。原因有二：一是題目較長，常以科學技術的具體問題為背景，從實際問題中獲取、處理信息，把實際問題轉化成物理問題。二是涉及數學知識較多（特別是幾何知識）。

解決帶電粒子在磁場中的運動問題的關鍵是做出粒子實際運動的軌跡圓，然而學生普遍感到學習困難，本文結合教學實踐通過典型例題和拓展訓練，由淺入深引導學生自主探究解決這類問題的兩種常見方法，即“放縮動態圓”法和“旋轉動態圓”法，并提高學生應用數學工具和物理規律相結合解決物理問題的能力。

帶電粒子在有界磁場中的運動類問題可以分為兩類：第一類是初速度方向一定，大小變化；第二類初速度大小一定，方向變化。

一、第一類問題——初速度方向一定，大小變化。

【例1】如圖1所示，在沿x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在xoy平面內，從原點O處沿與x軸正方向成θ角（0<θ<）以速率v發射一個帶正電的粒子（重力不計）.則下列說法正確的是（ ）

A. 若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的角速度越大

B. 若θ一定，v越大，則粒子離開磁場時與x軸正方向夾角越大

C. 若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的時間越短

D. 若θ一定，v越大，則粒子在離開磁場的位置距O點越遠

解析：在有界磁場中運動的帶電粒子一般僅受洛倫茲力作用，本題所有選擇項的條件都是θ一定，v變大，即粒子入射的初速度方向一定，大小發生變化，由于粒子在磁場中做圓周運動軌跡半徑r=，因此圓周半徑隨粒子速度的增大而增大；又因所受洛倫茲力提供向心力，所以所有沿同一方向入射的粒子做圓周運動的圓心都在過入射點且與初速度方向垂直的射線上，故可以先做一個半徑任意大小的圓如圖2中圓1，然后結合題意保持圓心在同一直線上，擴大半徑，畫出圓2和圓3，就得到圖2中圓1、2、3組成一組動態內切圓。盡管半徑不同，但是各個粒子運動的周期T=均相同。結合幾何知識，可知粒子離開磁場時與x軸正方向夾角與入射時夾角相等，即關于直線邊界對稱，粒子在磁場中運動軌跡對應的圓心角？琢=2π-2θ相同，離開磁場的位置距O點的距離L=2rsinθ不同，故本題正確答案為A.

【拓展1】如圖3所示的虛線框為一長方形區域，該區域內有一垂直于紙面向里的勻強磁場，一束電子以不同的速率從O點垂直于磁場方向、沿圖中方向射入磁場后，分別從a、b、c、d四點射出磁場，比較它們在磁場中的運動時間ta、tb、tc、td，其大小關系是（ ）

A. ta

C. ta=tb>td>tc D. ta=tb>tc>td

解析：本題在例1的基礎上從單邊界上升為多條邊界，因此可以參考例1的解法，先做一個任意半徑的軌跡圓，然后在逐漸放大的過程中應特別關注圓與邊界相交或相切的臨界位置，并讓軌跡圓依次經過給定的射出點，如圖4所示。結合圖4很容易確定各個粒子的實際運動軌跡分別是各個軌跡圓處在磁場區域的弧oa、ob、oc、od。各個粒子運動的周期T=均相同，利用粒子在磁場中運動時間公式t=T其中α為軌跡對應的圓心角，確定答案為D。

【拓展2】如圖5所示長為L的水平極板ab、cd間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，兩板間距離也為L，現有質量為m、電荷量為+q的粒子（不計重力），從左側中心處以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，則速度大小應滿足什么條件？

解析：如圖6所示，畫出任意軌跡圓1后，將軌跡圓1進行放大得到軌跡2、3可以找出粒子恰好從極板右側邊緣射出的臨界條件軌跡3；將軌跡圓1進行縮小可以得到軌跡4、5可以找出粒子恰好從左側邊緣射出的臨界條件軌跡4；分析出臨界條件，是突破本題的難點的關鍵。

綜上所述，帶電粒子在有界磁場中運動，若初速度方向一定，大小變化時，粒子圓周運動軌跡的圓心都在入射點位置所受洛倫茲力的射線上，但軌道半徑在變化，通常先做一個任意半徑的軌跡圓，再進行放縮，在放縮圓的動態變化中尋找“臨界點”是解決問題的關鍵——放縮動態圓法。

二、第二類問題——初速度大小一定，方向變化。

【例2】（雙選）如圖7在一水平放置的平板MN上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里，質量為m，帶電量為+q的同種離子a和b粒子，在

t=0時刻同時以相同的速率v從O點沿垂直磁場方向進入勻強磁場，最后打在O點左側板上，不計重力，下列說法正確的有（ ）

A. a，b均帶正電

B. a在磁場中飛行的時間比b的短

C. a在磁場中飛行的路程比b的短

D. a在P上的落點與O點的距離比b的遠

解析：如圖8所示，由于a、b粒子入射速度大小相等，方向不同，射入磁場的粒子均打在O點左側，說明粒子均沿圓周逆時針方向運動，帶正電，圓周運動的半徑相同。由于洛倫茲力始終與初速度垂直，且指向圓心，若a、b粒子入射速度方向夾角為θ，可視為a粒子沿入射方向逆時針旋轉θ角，故可先畫出a粒子的軌跡圓，然后將a粒子的軌跡圓沿逆時針方向旋轉相同角度θ即可確定b粒子的軌跡圓。因此，本題答案是AD。

【拓展1】若帶電粒子以速率 v沿紙面任意方向由小孔O射入磁場，其運動軌跡如何？它們的圓心位置有什么特點？

解析：此題考查學生空間想象能力和應用數學知識解決物理問題能力，要求學生具有動態分析的思維能力。如圖9所示，當同種粒子的射入速度大小確定，而方向不確定時，粒子運動軌跡圓具有以下特點：

①所有軌跡圓是一樣的，半徑都為R，只是位置不同。

②所有軌跡圓繞入射點，向粒子運動方向旋轉，且旋轉角度與入射方向旋轉角度相同。

③軌跡分布在一個半徑為2R的圓形區域內。

④所有軌跡圓的圓心在一個半徑為R的圓上。

【拓展2】如圖10所示，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平面感光板MN，板面與磁場方向平行，在距MN距離L=16cm處有一點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的電荷與質量之比q/m=5.0×107C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的粒子，求 MN上被α粒子打中的區域的長度。（不計重力）

解析：如圖11所示，利用半徑公式求出半徑R為10cm，即2R>l>R，利用動態旋轉圓尋找軌跡圓與單邊界相交或相切的臨界條件，畫出對應的軌跡，其中P1、P2分別為粒子達到極板最左邊和最右邊的臨界點，如圖中較粗部分弧線所示，則線段P1P2即為所求長度。

α粒子帶正電，沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑R為

R==10cm

即：2R>l>R。

NP1==8cm

NP2==12cm

故P1P2=20cm

本高考試題是在例1和拓展1定性分析的基礎上，進一步深入定量研究，旨在在利用通過旋轉動態圓找出臨界條件的基礎上，將運用數學知識和物理規律相結合解決具體問題。

【拓展3】如圖12所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內.已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到a之間，從發射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一. 求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的

（1）速度的大小；

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦.

解析：如圖13所示，本高考題在拓展2單邊界定量研究的基礎上，進一步拓展到多邊界的定量研究，通過旋轉動態圓尋找運動時間最長的粒子，由于速度大小相同，運動時間最長的粒子，一定是在有界磁場中運動軌跡弧長最長的粒子，因此與矩形邊界上邊界相切的軌跡應為最后離開磁場的粒子，幾何關系如圖14所示。

（1）設粒子的發射速度大小為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得

Bqv=m

當

設最后離開磁場的粒子的發射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關系可得：

Rsinα=R-

Rsinα=α-Rcosα

又sin2α+cos2α=1

聯立以上各式得v=（2-）a

（2）解得sinα=

帶電粒子在有界磁場中運動，若初速度大小一定，方向變化時，所有粒子圓周運動軌跡的半徑相同，只是位置繞入射點發生了旋轉，通常先做一個任意軌跡圓，再將軌跡圓繞入射點沿速度偏轉方向轉動，在動態旋轉的過程中尋找“臨界點”是解決問題的關鍵——旋轉動態圓法。

通過對以上兩類問題的分析，從中發現，利用“放縮動態圓”法和“旋轉動態圓”法解決帶電粒子在有界磁場中運動類問題的關鍵是找出運動軌跡圓與磁場邊界相切時的臨界狀態。先假設成無界磁場來研究，畫出一個任意的完整的運動軌跡圓，然后根據題目條件選擇“放縮動態圓”法或“旋轉動態圓”法，畫出動態圓，特別注意動態圓與磁場邊界相交或相切的“臨界點”，正確的畫出軌跡圓，結合數學知識和物理規律列式求解，是解決此類問題的有效方法。

責任編輯 李平安