誘導公式運用的"兩步法"探索

檀富娥

摘 要：三角函數的誘導公式由于種類繁多，而且應用起來常常是結合起來綜合考察，所以學生學習起來很容易出錯。本文將摒棄公式的記憶和應用，結合日常的教學反思和推理論證，給出誘導公式"兩步法"，即只需利用兩個步驟解決問題。

關鍵詞：象限角符號；相關銳角

一、前言

三角函數的誘導公式是高中數學三角函數部分的重要公式，目的是為了求任意角的三角函數值，其作用是將任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數。但由于誘導公式繁且多，在學習的過程中不僅記憶公式比較容易混淆，而且應用起來更是各種公式結合應用，增加難度。

二、兩步法探索。我們來看看下列幾組常用誘導公式：見圖1-1。

認真觀察誘導公式我們發現，前四組公式主要是符號的變化，角度是沒有變的，第一組 ，第二組 ，第三組α與 –α，第四組 ，化簡的角度都還是α的三角函數，不過符號可能有變化。而最后一組公式中 及 與 則增加了一個變化就是名稱對應變了。所以我們歸納誘導公式的化簡就完成兩點就夠了，第一是符號，第二是角，這個角只能是銳角，最后將兩步結合就得到最終的結果。下面對此“兩步法”進行闡述：

第一步：找象限，定符號

這一步驟我們可以解決三角函數的符號問題。我們求任意一個角的三角函數，那么角的象限已經固定下來了，因此我們可以通過尋找任意角的終邊相同的角，將角的終邊所在象限找到，那么最后的符號就決定了，我們可以叫它終極符號，不管中間經過多少次轉化，這就是這個三角函數最后的符號，而且是唯一正確的符號。

比如，求sin（-390°），與-390°終邊相同的角可以通過運算-390°+360°=-30°，是第四象限角，由三角函數在各象限的符號口訣我們可以知道，終極符號為負。常見的符號判斷口訣第一種是：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說：第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”；第二象限內只有正弦是“+”，其余全是“-”；第三象限內只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限內只有余弦是“+”，其余全部是“-”。還有一種是“ASCT”反Z。需要說明的是，在這些關于象限角符號的記憶法中，忽略了另外的三個三角函數cot，sec，csc ，這是因為這三個三角函數都是正弦，余弦，正切的倒數，跟這些三角函數的符號是一致的。

第二步：巧作差，找銳角

這一步我們來解決角的問題。由三角函數的定義，我們知道三角函數的值取決于角的終邊上的點的坐標，假設角α為銳角，終邊上的一點的坐標為P（x，y）。（如圖1-2）

根據任意角的三角函數的定義，我們知道終邊位于第一象限的角，即過點P（x，y），它的三角函數值就是銳角 的三角函數值， 由于對稱的關系，上述不管哪個象限的角均與銳角α有關系，且他們的三角函數值除了符號正負不同，大小都與銳角α的三角函數相同，由于終極符號的問題我們在第一個問題中已經解決，所以現在只剩下大小的問題，不管角位于哪個象限，我們只需要找到這個與之相關的銳角α就可以了，我把它叫做相關銳角。通過上圖，我們看到這個相關銳角α都是出現在x軸上下，也就是大小與180°或0°或360°相差的銳角，所以這個相關銳角α可以通過借用第一步的那個終邊相同的角與180°或0°或360°比較所得的差值得到，且這個差值必須是銳角。

比如，求sin（-390°），在第一步我們找到的終邊相同的角是-30°，與0°相比，差值是30°，則sin（-390°）最后的值與sin30°的值大小相同。結合以上兩步，第一步符號為負，第二步，大小為 sin30°，則 sin（-390°）最后的化簡結果為-sin30°。我們再將上述這兩個步驟結合應用一下，再比如計算cos945°第一步：找象限，定符號。945°-360°*2=225°，則與945°邊相同的角在第三象限，它的余弦值為“-”；第二步：找相關銳角。225°的這個角位于第三象限，在180°的下方，與180°相差的銳角是45°，則最終值的大小是cos45°；第三步：綜合前兩步。cos945°=-cos45°= 。在實際的教學中，如果遇到用弧度角表示的三角函數的計算，可以用弧度角的相關判斷來表示，也可以先將弧度角轉化成角度角表示，然后再進行計算。

三、“兩步法”運用舉例

現在，我們用這樣的兩個步驟來驗證上述的幾組誘導公式，將α看成銳角，這個就直接解決了我們上述方法的第二步，有關銳角大小的問題，我們只要看看符號，見圖1-3.

我們通過象限符號和相關銳角的兩個步驟得出的公式與常用的誘導公式是一致的。那么在日常的學習中，我們可以采用這種思考的方式來完成練習。比如：化簡tan（3π-α）。第一步：找象限，定符號。（3π-α）-2π=π-α，位于第二象限，正切值為負；第二步，相關銳角就是α，則最終的化簡結果為tan（3π-α）= -tanα。

最后，我們看看第五組誘導公式， 及 ，由觀察我們得知，這組公式用的相比較的角是y軸上的角，除了名稱要相應改變，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.，在符號和角的大小上面沒有什么不同。由此我們得知，在誘導公式的化簡中，終極符號可以通過象限確定后，在相關銳角的選擇上，如果用的是x軸上的角（比如（180°，0°，360°，）來比較差值，則名稱不用改變，如果用y軸上的角（比如90°，270°）來比較則需要將三角函數的名稱做改變。

面對基礎較差的中職學校學生，在教學中更要注重化繁為簡，化難為易。本文所探討“兩步法”是有關三角函數誘導公式最簡單和初步的應用，對于中職學校的學生而言，經過總結之后的方法容易入手，運用簡單，方便掌握。教無定法，貴在得法。在教學中，用心發現，用心歸納，用心總結，這是一名教師應該具備的能力。