多角度構(gòu)造完備事件組

熊歐

【摘 要】恰當(dāng)構(gòu)造完備事件組是利用全概率公式解題的關(guān)鍵。本文通過一道例題，采用三種方法構(gòu)造完備事件組進(jìn)行求解，總結(jié)出完備事件組構(gòu)造的基本方法，同時有利于拓寬同學(xué)們的解題思路。

【關(guān)鍵詞】完備事件組；全概率公式

【中圖分類號】J292.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）12-0046-01

全概率公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的重要公式，它借助于一個完備事件組將復(fù)雜事件分解成若干個簡單事件的概率的求和問題，靈活應(yīng)用全概率公式給我們解決日常問題帶來了很大的便利。應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵是尋找一個恰當(dāng)?shù)耐陚涫录M，但在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)尋找完備事件組是很多學(xué)生感到困惑的一個難題。本文通過一道用全概率公式求解的例題，從三種不同角度構(gòu)造完備事件組進(jìn)行求解，總結(jié)出構(gòu)造完備事件組的基本方法，為廣大學(xué)者提供參考。一、完備事件組，全概率公式

定義1：設(shè)B1，B2，，Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=φ，i≠j；i，j=1，2，L，n；

（2）B1UB2UL UBn=S.

則稱B1，B2，，Bn為樣本空間S的一個完備事件組或稱為樣本空間S的一個劃分.

定理1：設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的任一事件，B1，B2，，Bn為S的一個完備事件組，且則P（Bi）>0（i=1，2，，n），則

P（A）=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗P（A|Bi）P（Bi）.

上式稱為全概率公式.二、完備事件組的多種構(gòu)造法

在文獻(xiàn)[1]中，有這樣一個題目：有兩個盒子，第一盒中裝有2個紅球，1個白球，第二盒中裝一半紅球，一半白球。現(xiàn)從兩盒中各任取一球放在一起，再從中取一球，問：這個球是紅球的概率。

分析：本題涉及到兩次取球，第一次從兩個盒中各任取一球，第二次從取出的兩個球中任取一球。顯然第一次取球的結(jié)果影響第二次取球的結(jié)果，因此本例可按第一次取球的樣本空間進(jìn)行分解即可構(gòu)造出所需的完備事件組。

解法一：考慮第一次取到紅球的個數(shù)，其樣本空間為S1={0，1，2}。設(shè)Bi表示第一次取出i個紅球（i=0，1，2），則B0，B1，B2構(gòu)成S的一個完備事件組，設(shè)A表示最后取出的是紅球。

〖XC70.JPG；%25%25〗

由全概率公式有

〖XC71.JPG；%25%25〗

解法二：考慮第一次取到球的顏色，其樣本空間為S2={（紅，紅）（紅，白）（白，紅）（白，白）}，設(shè)Ci表示從第i盒中取到的是紅球（i=1，2）.則C1C2，C1C〖TX-〗2，C〖TX-〗1C2，C〖TX-〗1C〖TX-〗2構(gòu)成一個完備事件組。

〖XC72.JPG；%25%25〗

分析：本題中的試驗對象是球，涉及到球的來源和球的顏色，按照來源可以把球分為兩類：“來自于第一盒的球”和“來自于第二盒的球”，按照顏色也可以分為兩類：“紅球”和“白球”，顯然來自于哪個盒子影響是紅球還是白球的概率，故可按來源這個分類方法的樣本空間進(jìn)行分解構(gòu)造完備事件組。

解法三：考慮最后取出的球的來源，其樣本空間為S3={1，2}.設(shè)Di表示最后取出的球來自于第i盒（i=1，2）則D1，D2構(gòu)成完備事件組。

〖XC73.JPG；%25%25〗三、結(jié)束語

通過上述例題的分析可以看到在尋找完備事件組時可按如下兩個方法進(jìn)行：（1）若試驗可分為前后兩個步驟，則第一步中的各種可能結(jié)果就構(gòu)成一組完備事件組。（2）若試驗涉及到試驗對象的兩種不同分類方法，而關(guān)心的問題是某分類方法下某種可能結(jié)果發(fā)生的概率，則另一類分類方法下各種可能的結(jié)果就構(gòu)成完備事件組。同時，通過一題多解可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行分析，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]王式安.概率論與數(shù)理統(tǒng)計輔導(dǎo)講義[M].西安交通大學(xué)出版社，2016.

[2]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社，2008.

項目名稱：MOOC背景下培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)模式研究，編號：YTJG201811