高等數學教學中的兩點注記

鄒定宇 王世飛

【摘 要】高等數學中有些定理的條件，學生容易混淆，有些定理的學生不能靈活運用。本文討論了一元函數極值求法和分段函數求導中學生易錯的問題，供初學者參考。

【關鍵詞】高等數學教學；一元函數極值求法；分段函數求導

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）12-0052-01

A discussion on the paper writing of mathematical modeling from the A title in2016 college students mathematical modeling contest

〖WTBZ〗Shifei Wang Dingyu Zou

（Changzhou University， Mathematics and Physics， Changzhou， Jiangsu 213164）

【Abstract】〖WTBZ〗The conditions of some of the theorems in higher mathematics are confusing for students， and students of some theorems cannot use them flexibly. This article discusses the problem of one-variable function extremum seeking and piecewise function derivation for students' error-prone problems for beginners' reference.

【Key words】Advanced mathematics teaching； one-variable function extremum method； piecewise function derivation

一、前言

對于理工科院校來說，高等數學是一門重要的公共基礎課。其教學質量直接影響到學生后續專業課程的學習和能力的提高。高等數學做為重要的基礎課一直以來被廣泛重視。如何才能學好高等數學，是廣大一線數學教師和學生需要認真思考的問題在討論分段函數在分段點處的導數時，初學孝者往往容易對分段點兩邊的函數表達式利用導數的基本公式和運算法則求導，然后分別去極限來判定，不能理解在分段點處用導數定義求導。從學生解題中常見的錯誤解法入手，引導學生找出問題所在，更正問題。函數的極值問題不僅是高等數學學習中的一個重難點，也是人們生活實際中經常碰到的一個有應用價值的問題.對于連續函數的極值問題，現行高等數學教材[1]給出了極值存在的必要條件和第一、第二判別法，對于不連續的分段函數，本文舉例研究其極值問題。二、分段函數在分段點處的導數問題

例1：設f（x）=〖JB（{〗eax，x<0b+sin2x，x≥0〖JB）〗為可導函數，a，b應取什么值？

錯誤的解法：（eax） |x=0=a，（b+sin2x）'|x=0=2 所以，a=2，b=1.

分析此做法的依據是：導函數在 處連續，然而可導并不一定能推出導函數連續。

講解： 首先舉例說明一個函數可導，但導函數不連續的例子。

例如問題：設f（x）=〖JB（{〗x2sin〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗，x≠0，0，x=0〖JB）〗 為可導函數，但其導函數在x=0處不連續。

正確解法：

〖XC82.JPG；%25%25〗

所以a=2

此問題學生湊巧答案正確，但思路是錯的，答案湊巧正確也是為什么學生容易出錯的原因，如果學生只注重答案，就不能正確掌握該知識點。當遇到下面類似的問題將不會求解。

例2：f（x）=〖JB（{〗sinx，x≤0，〖KF（〗x〖KF）〗，x>0.〖JB）〗 因為：（〖KF（〗x〖KF）〗）'|x=0 不存在用學生的錯誤解法就無從求起了。三、函數的極值問題

例3：設f（x）=〖JB（{〗x2x，x>0，x+2，x≤0.〖JB）〗 ， 求f（x） 的極值

解：當x>0，f'（x）=x2x（2Inx+2） ， 令：f'（x）=0， 得x=e-1 為駐點。

又因為：f（0+）=〖XC83.JPG；%25%25〗

f（0）=2

〖XC84.JPG；%25%25〗

從而可得：

f（0）=2為極大值點，f（〖SX（〗1〖〗e〖SX）〗） 為極小值。

從上例可得：

x=0為f（x） 的跳躍間斷點，并不連續，但在x=0 處取得了極值。

但對函數：f（x）=〖JB（{〗x+2，x>0，x2x，x≤0.〖JB）〗 在x=0 不能取得極值。所以在求極值時，要靈活運用極值的定理，不能死記極值定理的條件。

高等數學在高等教育中占有相當重要的地位，其應用十分廣泛。高等數學教學內容改革能否切實地深入課堂，對于學生分析問題解決問題能力的培養有著重要的意義。我們要改變教學觀念，加大教材改革的力度與進程，將數學建模、數學實驗等的思想方法有效地融入到教學內容中。同時，利用微課、網絡課堂等現代化的信息手段，來補充教學內容。從而，盡快實現高等數學教學內容的科學化、合理化。

基金項目：常州大學信息、數理學院教研課題 2015XSJY21，國家自然科學基金11501056

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：155-157.

作者簡介：鄒定宇（1978-），江蘇武進人，講師，碩士，從事生物數學、高等數學教學研究及數學建模研究。