一種新型慣容減震器的設(shè)計(jì)及減震效果研究

劉良坤， 譚 平， 閆維明， 李祥秀， 周福霖,

(1.東莞理工學(xué)院 生態(tài)環(huán)境與建筑工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2. 廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405；3. 北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124；4.中國(guó)地震局 地球物理研究所，北京 100081)

結(jié)構(gòu)吸能減振的研究，一直以來(lái)都是熱點(diǎn)，為了得到調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)的最優(yōu)減振效果，很多學(xué)者推導(dǎo)了各種情況下最優(yōu)參數(shù)公式[1-4]。李春祥等[5]論述了TMD等控制裝置研究發(fā)展，并指出了需要解決的一些問(wèn)題。李創(chuàng)第等[6]利用復(fù)模態(tài)法進(jìn)行了帶TMD結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析。譚平等[7]對(duì)高聳結(jié)構(gòu)，做了可靠度研究，突出了TMD減震裝置限位的必要性。瞿偉廉等[8]利用隨機(jī)激勵(lì)的位移方差分析得到TMD的等效阻尼比。盡管TMD的分析簡(jiǎn)單易行，但其在工程結(jié)構(gòu)安裝與運(yùn)行需要考慮較大的空間，且一般安裝在結(jié)構(gòu)頂層，這增加了安裝的難度，因此，尋找一種能夠替代TMD的裝置顯得更為迫切。

2002年，Smith[9]首次提出了慣容器的概念，這個(gè)概念改變了質(zhì)量元件一端必須接地的原則，使其在力電類(lèi)比法中應(yīng)用更為自由。Papageorgiou等[10]研制了慣容器模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了論證，隨后慣容器得到了重視，逐漸地被應(yīng)用到更多工程領(lǐng)域。Hu等[11]采用慣容器的組合形式研究了其在汽車(chē)舒適性，懸掛行程等性能要求特點(diǎn)；Shen等[12]則將慣容器應(yīng)用到被動(dòng)吸能器中，使其減震效果得到了改善，并將其應(yīng)用到了汽車(chē)懸掛控制中。除了汽車(chē)懸掛減振方面的應(yīng)用，Wang等[13-14]的研究表明，合適的慣容器組合形式，可有效地減小由交通或地震作用下引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)。為了充分發(fā)揮其質(zhì)量放大效應(yīng)，Marian等[15]考慮在TMD中增加慣容器元件，同時(shí)推導(dǎo)了在白噪聲地震激勵(lì)下的最優(yōu)解析式，并驗(yàn)證了其減震的有效性。Ikago等[16]則提出TVMD的慣容器組合減振形式，然后利用定點(diǎn)理論推導(dǎo)了最優(yōu)參數(shù)表達(dá)式，最后通過(guò)數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了論證。Lazar等[17]提出了調(diào)諧慣容減震器(Tuned Inerter Damper,TID)形式的慣容器，同樣采用定點(diǎn)理論進(jìn)行了分析，但僅給出了剛度參數(shù)的解析式，阻尼參數(shù)需要通過(guò)迭代求解；分析表明TID放在底層并與地面相連時(shí)具有最佳減震效果，此外還將其應(yīng)用到拉索的減振控制[18]。

為使TID在結(jié)構(gòu)減震設(shè)計(jì)應(yīng)用更為方便，本文將首先推導(dǎo)結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼受白噪聲激勵(lì)下的最優(yōu)參數(shù)的解析式，同時(shí)令其與有阻尼情況的數(shù)值最優(yōu)參數(shù)作對(duì)比，最后將其應(yīng)用到多自由度隔震結(jié)構(gòu)，并作減震效果分析，給出TID參數(shù)設(shè)計(jì)及使用的建議。

1 運(yùn)動(dòng)方程

慣容器可以表示成兩端具有不同加速度質(zhì)量元件，如圖1(a)所示，其數(shù)學(xué)模型表示為

(1)

通常來(lái)說(shuō)，慣容器作為質(zhì)量元件，本身并沒(méi)有耗能功能，需與彈簧和阻尼器組合才能具備一定的減振耗能的能力。圖1(b)虛線方框的組合形式(TID)是本文所采用的減震形式，運(yùn)動(dòng)方程表示為

(2)

圖1 模型簡(jiǎn)圖

Fig.1 Model sketches

表1 元件阻抗表達(dá)式

表1中，s為拉氏的復(fù)變量，需要注意的是質(zhì)量元件阻抗表達(dá)式與慣容器相同。根據(jù)元件串聯(lián)導(dǎo)納(阻抗倒數(shù))相加，元件并聯(lián)阻抗相加的原則，圖1(b)模型的位移總阻抗為

(3)

結(jié)合式(2)有

(4)

(5)

2 參數(shù)優(yōu)化

雖然Lazar等[19]提出在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下采用定點(diǎn)理論對(duì)TID作優(yōu)化分析，但優(yōu)化過(guò)程中僅給出了剛度相關(guān)的最優(yōu)參數(shù)，阻尼參數(shù)仍需迭代求解。本文為得到地震激勵(lì)下相對(duì)合理的最優(yōu)參數(shù)解，擬采用隨機(jī)理論，獲取TID減震系統(tǒng)在白噪聲激勵(lì)下的最優(yōu)參數(shù)；考慮到主結(jié)構(gòu)阻尼的存在難以得到最優(yōu)解析解，在優(yōu)化過(guò)程中將忽略主結(jié)構(gòu)阻尼，并令式(5)中s=iω得

Hx=

(6)

假定地震激勵(lì)為平穩(wěn)白噪聲過(guò)程，其雙邊譜密度值為S0，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差表示為

(7)

式(7)為廣義積分，難以直接積分求解，但形如式(7)的廣義積分可采用James積分公式[20]進(jìn)行求解，如

(8)

(9)

(10)

(11)

同樣的可以得到有阻尼情況的下的位移方差如式(11)所示，由于考慮阻尼無(wú)法得到最優(yōu)參數(shù)解析式，在獲取過(guò)程中仍然采用無(wú)阻尼位移方差式(10)。令式(10)對(duì)相應(yīng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即

(12)

但簡(jiǎn)化后得相對(duì)簡(jiǎn)單的最優(yōu)剛度及阻尼參數(shù)，如

(13)

(14)

式(13)與式(14)適用于單自由度系統(tǒng)。利用式(13)與式(14)可得到主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的最小位移方差

(15)

3 參數(shù)分析

為了說(shuō)明TID減震效果及最優(yōu)參數(shù)在有阻尼情況下的適用性，取主結(jié)構(gòu)質(zhì)量為1，周期為2.5 s，阻尼比為0.02的單自由度結(jié)構(gòu)，作出考慮結(jié)構(gòu)阻尼的最優(yōu)參數(shù)下的三維圖如圖2所示。從圖中參數(shù)曲面容易發(fā)現(xiàn)，隨著質(zhì)量比的增加，無(wú)論是最優(yōu)阻尼參數(shù)還是最優(yōu)剛度參數(shù)均呈增大趨勢(shì)，且最優(yōu)參數(shù)下的位移方差值逐漸減小，減震曲面更加平緩即表明TID魯棒性更好。質(zhì)量比為0.02，0.05，0.10，利用式(13)與式(14)得到主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的TID最優(yōu)阻尼參數(shù)分別為0.007 0，0.026 6，0.071 4而考慮阻尼的TID最優(yōu)阻尼參數(shù)(如圖2取極值點(diǎn))0.007 0，0.027 0，0.071 0；主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的TID最優(yōu)剛度參數(shù)：0.122 6，0.293 6，0.548 1及考慮阻尼的TID最優(yōu)剛度參數(shù)(如圖2取極值點(diǎn))0.122 0，0.292 5，0.545 0。對(duì)比這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，雖然主結(jié)構(gòu)存在阻尼比0.02，但總體上不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼的最優(yōu)參數(shù)解析式與考慮阻尼的數(shù)值最優(yōu)參數(shù)是十分接近的。為了了解主結(jié)構(gòu)為其它阻尼比時(shí)的最優(yōu)參數(shù)情況，可先進(jìn)行考慮結(jié)構(gòu)阻尼比最優(yōu)參數(shù)數(shù)值解與不考慮結(jié)構(gòu)阻尼比解析解比較，如圖3所示。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.1

(a) 最優(yōu)阻尼參數(shù)

(b) 最優(yōu)剛度參數(shù)

為了進(jìn)一步分析最優(yōu)參數(shù)解析解的準(zhǔn)確性和相應(yīng)的減震情況，圖4繪出了位移方差隨主結(jié)構(gòu)阻尼比變化情況，圖4中：Isolation為原結(jié)構(gòu)位移方差；Isolation-TID(damper)為原結(jié)構(gòu)附加TID且取最優(yōu)參數(shù)解析值(不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼得到)的方差，Isolation-TID(undamper)為原結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼時(shí)附加TID且取最優(yōu)參數(shù)解析值的方差，optimum-Isolation-TID(undamper)為原結(jié)構(gòu)附加TID且取最優(yōu)參數(shù)為數(shù)值解(考慮主結(jié)構(gòu)阻尼得到)的方差。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.10

4 多自由度結(jié)構(gòu)的減震效果分析

TID減震效果的發(fā)揮與其相連兩端響應(yīng)有關(guān)，對(duì)于規(guī)則均一的多自由度結(jié)構(gòu)，Lazar等指出，TID在底層可以獲得最好的減震效果，鑒于此，在本節(jié)中將對(duì)結(jié)構(gòu)底層附加TID的普通多自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并重點(diǎn)分析附加TID隔震結(jié)構(gòu)減震效果。

4.1 多自由度結(jié)構(gòu)TID最優(yōu)參數(shù)

安裝TID的多自由度結(jié)構(gòu)如圖5，運(yùn)動(dòng)方程為

(16)

式中：Γ0=[1,0,…,0]T為T(mén)ID按安裝的指示向量；TID其余參數(shù)含義同式(2)。{x}=[x1,x2,…,xn]T為主結(jié)構(gòu)響應(yīng)量；I=[1,1,…,1]T單位量；M=diag([m1,m2,…mn])為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，其相應(yīng)的剛度矩陣

圖5 底部安裝TID多自由結(jié)構(gòu)

阻尼矩陣C按瑞雷阻尼選取。考慮到普通結(jié)構(gòu)一階振型起主要控制作用，本文取一階振型來(lái)推導(dǎo)多自由度結(jié)構(gòu)的TID最優(yōu)參數(shù)。令{x}={φ1}q，其中{φ1}為一階振型，q為廣義位移，代入式(16)，并忽略主結(jié)構(gòu)阻尼影響，易得傳遞函數(shù)

(17)

類(lèi)似于單自由度結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)，地震激勵(lì)為平穩(wěn)白噪聲過(guò)程，雙邊譜密度值為S0，其相應(yīng)廣義位移方差為

(18)

(19)

(20)

利用式(19)與式(20)即可得到主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的最小位移方差

(21)

若只考慮一階振型，主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼時(shí)頂層位移方差為

(22)

4.2 隔震結(jié)構(gòu)TID分析

安裝TID的隔震結(jié)構(gòu)如圖6所示，其運(yùn)動(dòng)方程為類(lèi)似于式(16)。考慮到本文的結(jié)構(gòu)模型為非經(jīng)典阻尼體系，不適合采用振型疊加法，建議采用復(fù)模態(tài)法計(jì)算，令

(23)

圖6 隔震TID多自由結(jié)構(gòu)

那么特征矢量方程表達(dá)為

[Meλ+Ke]Φ=0

(24)

(25)

(26)

(27)

相應(yīng)地結(jié)構(gòu)響應(yīng)均方差為

(28)

同樣地，絕對(duì)加速度方方差也可求得。

某10層建筑結(jié)構(gòu)，阻尼比0.05，無(wú)控時(shí)采用瑞雷阻尼計(jì)算。每層質(zhì)量為1.0×106kg，層剛度為2.5×109N/m，基本周期為0.841 s。若采用隔震控制方案，其中隔震層質(zhì)量為1.2×106kg，隔震層剛度為7.075×107，隔震層及以上簡(jiǎn)化為單質(zhì)點(diǎn)的隔震周期為2.5 s：① 純隔震方案(Isolation)，隔震層阻尼比為0.15；② 隔震TID方案(Isolation-TID)，隔震層阻尼比為0.1，按隔

(a) 頂層位移功率譜

(b) 頂層絕對(duì)加速度功率譜

震后控制一階振型進(jìn)行TID設(shè)計(jì)；③ 隔震頂層TMD方案(Isolation-TMD)，隔震層阻尼比為0.1，按隔震后控制一階振型進(jìn)行TMD設(shè)計(jì)。隨機(jī)分析時(shí)利用文獻(xiàn)[21]的數(shù)據(jù)，譜密度S0=4.65×10-4m2/rad·s3，其余參數(shù)為ωg=15.0 rad/s，ξg=0.6，ωk=1.5 rad/s，ξk=0.6。仿真分析選擇兩條地震波：El Centro地震波及Taft地震波，按8度基本設(shè)防烈度設(shè)計(jì)，取加速度幅值為0.2g。其中輸入隨機(jī)地震功率譜模型為

假定TID與TMD的質(zhì)量比都為0.1。由圖7繪出的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜易知，對(duì)于上述三種控制方案，無(wú)論是頂層位移還是頂層絕對(duì)加速度，相應(yīng)的高頻處都有不同程度的減小，但在低頻區(qū)域都有放大作用，特別是位移的放大較為明顯，這與隔震層剛度變小有關(guān)。相對(duì)于純隔震結(jié)構(gòu)，安裝有TID與TMD的頂層絕對(duì)加速度反應(yīng)在隔震后的基頻附近的峰值削弱明顯；對(duì)位移的作用在基頻率附近也比較明顯，但左側(cè)附近有略有放大，不過(guò)最大峰值小于未控，產(chǎn)生這種情況與所采用優(yōu)化目標(biāo)、激勵(lì)形式等有關(guān)。從方差的角度看，如表2所示，盡管Isolation-TID與Isolation-TMD隔震層阻尼比為0.1，但其減震效果仍然比純隔震(Isolation阻尼比為0.15)效果好；Isolation-TID對(duì)頂層位移和隔震層位移方差的控制效果好于Isolation-TMD，但其對(duì)頂層絕對(duì)加速度控制效果略差些；由于隔震結(jié)構(gòu)隔震層系數(shù)γ較大，同質(zhì)量比的TID與TMD可獲得相近的減震效果，但對(duì)于普通結(jié)構(gòu)TID效果仍不及TMD。

表2 響應(yīng)方差對(duì)比

圖8與圖9給出了El Centro與Taft波作用下的結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)與阻尼比的關(guān)系，這里的質(zhì)量均為0.1，所有有控結(jié)構(gòu)隔震層阻尼從0.01～0.15變化。在El Centro地震波作用下，相對(duì)于無(wú)控結(jié)構(gòu)，Isolation，Isolation-TID與Isolation-TMD頂層絕對(duì)加速度得到了很好的控制，但其頂層位移均大于無(wú)控制結(jié)構(gòu)，不過(guò)隨著阻尼比的增大逐漸趨近于無(wú)控制結(jié)構(gòu)。值得注意的，相同阻尼比情況下，Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，但隨著阻尼比增大這種效果會(huì)變差，另外對(duì)于頂層絕對(duì)加速度也有類(lèi)似現(xiàn)象，而且Isolation-TID效果略差于Isolation-TMD。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對(duì)加速度

在Taft地震波作用下，相對(duì)于無(wú)控結(jié)構(gòu)，有控結(jié)構(gòu)的頂層絕對(duì)加速度得到了很好的控制，而在頂層位移的控制上，Isolation在隔震層阻尼比大于0.08時(shí)才出現(xiàn)小于未控的現(xiàn)象，而Isolation-TID與Isolation-TMD均小于未控的頂層位移。類(lèi)似于El Centro地震波作用，相同阻尼比下Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，隨著阻尼比增大這種效果也會(huì)變差，頂層絕對(duì)加速度方面也相似；總體而言Isolation-TID效果略微好于Isolation-TMD。以上地震激勵(lì)的響應(yīng)分析再次表明，同樣條件下安裝有TID或TMD的隔震結(jié)構(gòu)在隔震層阻尼比小，比純隔震結(jié)構(gòu)的減震效果更顯著，而且在大阻尼比的情況下仍然表現(xiàn)更好，但這種趨勢(shì)隨著阻尼比的增大會(huì)變差；那么在實(shí)際隔震時(shí)，隔震層阻尼比不必取太大，僅需安裝相應(yīng)的TID裝置即可達(dá)到相同甚至更好的減震效果。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對(duì)加速度

Isolation-TID與Isolation-TMD質(zhì)量比仍取0.1，隔震層阻尼比為0.1，Isolationd隔震層阻尼比0.15，繪出El Centro與Taft波作用下的結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)如圖10與圖11所示，顯然，兩地震波作用下，Isolation-TID與Isolation-TMD對(duì)頂層位移的控制效果均好于Isolation，而頂層絕對(duì)加速度也有減震效果但相對(duì)不明顯。

對(duì)于TMD來(lái)說(shuō)，安裝在頂層時(shí)，其質(zhì)量通常小于5%，且安裝所需的要求較高。同樣質(zhì)量比的情況下，TID減震效果略差于TMD，但考慮到TID具有質(zhì)量放大效應(yīng)(TID中的慣容器的放大質(zhì)量可實(shí)現(xiàn)是實(shí)際的物理質(zhì)量的幾百倍)，可以彌補(bǔ)甚至超過(guò)TMD減震效果；另外，TID可以制造成類(lèi)似于黏滯阻尼器的桿狀型結(jié)構(gòu)，相對(duì)輕巧，安裝也較為方便，而且在底層就能夠發(fā)揮較好的減震效果，可見(jiàn)TID的綜合優(yōu)勢(shì)是十分明顯的。雖然以上分析采用隔震結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，但普通結(jié)構(gòu)在底層或其他樓層安裝TID仍然可以發(fā)揮良好的減震效果，其分析和設(shè)計(jì)方法與此類(lèi)似。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對(duì)加速度

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對(duì)加速度

5 結(jié) 論

本文利用慣容器對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減震控制，推導(dǎo)了安裝TID的單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼參數(shù)和剛度參數(shù)解析式，并給出了其相應(yīng)的減震效果分析以及在多自由度結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，仿真分析表明：

(1) 最優(yōu)參數(shù)解析式在結(jié)構(gòu)考慮阻尼的情況下仍然有較高的精確性，特別是阻尼比在0.15內(nèi)誤差較小，而且最優(yōu)阻尼參數(shù)相比于最優(yōu)剛度參數(shù)更精確。

(2) 結(jié)構(gòu)自身的阻尼比較小時(shí)，TID的減震效果比較好，結(jié)構(gòu)自身阻尼比增大其減震效果變差，但在較大質(zhì)量比時(shí)效果會(huì)有改善。建議阻尼比相對(duì)小時(shí)使用TID，或取較大的質(zhì)量比。

(3) 隨機(jī)地震激勵(lì)下，即使隔震層阻尼比小于普通隔震的阻尼比，安裝有TID或TMD的結(jié)構(gòu)仍具有更好的減震效果，并且在同等阻尼比下，其減震效果更加明顯；另外TID具有質(zhì)量放大效應(yīng)，安裝方便，占據(jù)空間小，綜合優(yōu)勢(shì)比TMD更為顯著。