不同阻尼體系的運動狀態判別法研究

黎 瑩， 張之穎， 魏洪楊

(1. 西安交通大學 城市學院，西安 710018；2. 西安交通大學 人居環境與建筑工程學院，西安 710049)

在多自由度體系動力分析中，根據體系整體耗能模式的不同，可以分為經典阻尼體系與非經典阻尼體系[1]。經典阻尼體系[2]具有協調一致的耗能特性，振動過程中體系各點的運動狀態保持連續一致，運動方程可采用振型疊加等算法進行分析，其動力問題不僅求解簡單，而且具有明確的物理意義；而非經典阻尼體系[3]，體系內部運動狀態難成連續一致，其正則主模態空間中運動方程耦合，沒有傳統概念上的所謂“振型”，運動方程無法采用振型疊加法求解，動力分析過程往往比較復雜或存在一定難度。

阻尼體系類別判斷是結構動力分析方法擇取的基礎，阻尼體系性質不同，動力分析方法存在很大差異，計算結果也會出現較大出入。但迄今為止，關于阻尼體系的判定，缺乏明確的工程界定標準，其判定方法十分粗淺，致使動力分析方法的擇取亦十分模糊。目前針對工程阻尼體系的判斷，多以體系材料阻尼特性為判斷基礎，一般將阻尼特性均勻一致的體系判斷為經典阻尼體系；而由多種材料組成的體系，如土-結構相互作用體系[4-6]、鋼-混凝土組合結構體系[7]等，常被認為是非經典阻尼體系。然這種建立在材性上的粗淺判定方法，與實際現象并不完全相符，如復合材料領域中的共固化復合材料結構[8]，是典型的由多種材料組成的結構體系，工程實踐表明，在結合性能完好條件下，按經典阻尼體系的動力分析結果，將與實驗結果能夠較好吻合；又如軟土地基上的土-結構相互作用(Soil-Structure Interaction，SSI)體系，雖其組成部分的材性差別較大，但同濟大學的振動臺實測結果并沒有反映出十分明顯的非經典阻尼特性[9]。這說明，以材性為依據的阻尼體系的粗淺認知觀點與工程實際存在著出入，這種僅建立在材性上的粗淺判定方法缺乏深入實際的基礎性研究，也啟示著開展阻尼體系判別方法的實質性基礎研究的必要性。

1 不同阻尼體系的運動狀態研究

經典、非經典阻尼體系的差異與其運動狀態存在著直接關系，運動狀態是阻尼體系最基礎的表達方式。為了深入研究阻尼體系的基本界定方法，本文以相應的動力分析方法為切入點，來討論不同阻尼體系運動狀態上的差別。

所謂“運動狀態”，是用于描述動力系統各點的位移、速度與加速度隨時間的變化軌則，也可看作以一組流形的幾何空間坐標來描述未來狀態如何隨當前狀態的變化。

在狀態空間表達方法中，一點的運動狀態是以速度與位移為坐標進行描述，一點的運動狀態連續，即要求該點的位移和速度連續，表現為該點的加速度存在。其加速度可表示為

(1)

由式(1)知，若一點加速度存在，則不僅要求其速度存在，即該點的位移-時間函數曲線須光滑連續，而且速度關于位移的導數存在，即其該點的速度-位移函數曲線也須光滑連續。

同理，若一個體系的運動狀態連續，則在任意時刻，該體系各點速度存在，且各點速度函數關于自身位置坐標光滑連續。

常用黏滯阻尼模型下，一個體系的運動可由動力學方程描述為

[K]{u(x,t)}={p(x,t)}

(2)

對于式(2)的運動求解來說，采用經典與非經典阻尼體系動力分析方法的主要差異，關鍵在于其動力學方程能否解耦。若運動方程可以解耦，則其運動可由若干階解耦模態的線性組合表示。而任意一階解耦模態，是按體系有唯一撓曲形狀的假定所求得。若令該模態下的撓曲線為形狀函數，模態運動的基準點運動用廣義坐標表示，則其任意一階的解耦模態運動可由形狀函數和廣義坐標表達為

(3)

當運動呈現非經典阻尼體系時，由上推論可得，體系運動狀態將出現下列任意一項：

(1) 任意時刻，體系的模態形狀函數關于x不連續；

(2) 體系中存在一點的模態速度函數曲線關于時間t不光滑或不連續。

2 阻尼體系判別的工程實例

工程中多樣化的結構體系，在不同動力作用下的運動狀態往往并不相同，要判別動力作用下各類結構的阻尼體系類型，可具體分析其運動狀態。

下面以三個工程實例來討論體系運動狀態連續性與阻尼體系之間的關系。

2.1 黏滑運動現象

工程中廣泛存在黏滑運動現象，黏滑運動是指，在一定條件下，體系內部的兩接觸面出現相對靜止或滑動兩種運動狀態[10]。如圖1所示的具有滑移隔震系統的結構，在地震作用下的運動形式也可簡化為該種類型。當滑移隔震支座發揮作用時，體系為非經典阻尼體系。本文從運動狀態來分析出現這類現象的阻尼體系。

圖1 摩擦滑移支座隔震系統

動力作用下，由于兩部分各自的運動狀態具有經典阻尼體系特性，即各自運動均可由相應的形狀函數和廣義坐標表示。取m1底部為坐標原點來考察體系的阻尼特性，設兩部分第i階形狀函數分別為φ1i(x),(x∈(0,l1))和φ2i(x),(x∈(l1,l1+l2))，t時刻m1和m2的廣義坐標分別為z1i(t)及z2i(t)，則兩者的模態位移可以分別表達為

u1i(x,t)=φ1i(x)z1i(t)

(4)

u2i(x,t)=φ2i(x)z2i(t)

(5)

式中：u1i(x,t)，u2i(x,t)分別為m1,m2兩部分t時刻的第i階模態位移。

(a) 黏滯運動(b) 滑移運動

圖2 體系黏滑運動示意圖

Fig.2 Schematic diagram of stick-slip motion

(1)當黏滯運動時，如圖2(a)，體系在交界面上運動連續，即任意t時刻，兩者交界面處的第i階模態位移、速度和加速度相等，即

(6)

(7)

令

(8)

有

z2i(t)=Ψiz1i(t)

(9)

整個體系第i階模態位移可以表達為

(10)

令

(11)

式中：φi(x)為分段函數。由式(8)知

φi(l1)=Ψiφ2i(l1)

(12)

由于該函數在分界點處連續，則體系的第i階模態運動可表達為

(13)

(2)當體系在交界面上出現滑移時，如圖2(b)，即運動位移在交界面上不連續，雖其兩部分各自仍可假設具有經典阻尼特性，各自模態位移仍可由式(4)、式(5)表達，但由于滑移存在，兩者位移在界面處不連續，交界處必有模態位移差存在，設交界處某階模態位移差為Δi(t)，則

φ1i(l1)z1i(t)=φ2i(l1)z2i(t)+Δi(t)

(14)

(15)

則體系上下部分的模態位移

(16)

即斷層在滑移運動情況下，形狀函數φi(x)不連續，不滿足式(3)經典阻尼體系的充要條件，體系不再具有解耦模態，為非經典阻尼體系。

2.2 鞭梢效應現象

鞭梢效應是指在地震作用下，高層建筑或其它建(構)筑物頂部細長突出部分振幅劇烈增大的現象[11]。閆祥梅等[12]發現，對于頂部有突出物的高聳結構，由于沿高度方向剛度和質量分布不均，尤其是下部主體與突出部分剛度和質量突變處，當遭遇大風等動荷載時，極易出現鞭梢效應。研究[13-14]發現，結構受風振時，突出部分的振動反應有時可以是主體結構的數十倍甚至更高，這是由于鞭梢效應的影響使得結構頂點的位移大幅度增加。本文從運動狀態來分析這類現象的阻尼體系。

建立鞭梢效應的分析模型如圖3所示。

體系由兩部分連續質量m1(x)和m2(x)組成，且上部分m2的質量和剛度明顯小于下部分m1的質量和剛度。設兩部分單獨運動特性具有經典阻尼體系特性，又其體系在連接處黏結強度足夠，振動過程中位移在變截面上下位置處可保持連續，不會出現滑移運動。由3.1可知，若該體系仍可假設具有連續的形狀函數和廣義坐標，則模態運動位移可由式(17)表達

ui(x,t)=φi(x)z1i(t)

(17)

圖3 頂部有突出物的高層建筑模型

其中，

(18)

然而，賈水鐘[15]分別用SAP2000和ABAQUS對常州現代傳媒中心一主塔高度245 m、其上有88 m高鋼結構發射塔的高聳結構，進行了常遇地震和罕遇地震兩種工況下的時程分析，得到其彈性和彈塑性時程分析下的層間位移角分別如圖4和圖5所示，其中主塔高度58層，故58層以下變形為主塔變形，58層之上為發射塔變形。不同工況下的研究結果均表明，該體系出現了明顯的鞭梢效應，頂部細小突出部分的振動位移突變增大。

圖4 鞭梢現象彈性時程分析

圖5 鞭梢現象彈塑性時程分析

因層間位移為層間位移角與層高之積，故層間位移與層間位移角變化趨勢相同。由圖4和圖5變化趨勢可以看出，體系的層間位移曲線在主塔與發射塔相連部分出現明顯拐點，最大層間位移發生在主塔與發射塔相連處。

為了進一步考察鞭梢現象，本文項目組針對頂部帶塔樓的結構體系進行了振動臺試驗，試驗過程中，塔樓與主體結構保持接觸面位移連續，試驗模型如圖6所示。

圖6 振動臺模型試驗

圖7(a)和圖7(b)分別給出了不同地震等級下，塔樓與主體結構各層的位移響應時程。

(a) 小震下 (臺面輸入加速度0.125g)

(b) 大震下 (臺面輸入加速度0.75g)

由圖7知，在小震下，塔樓和主體結構基本能同時達到最大位移，運動保持協同一致；而在大震時，雖然塔樓和主體結構兩部分能各自保持較好的協同運動，但體系整體運動步調不再協同一致。

現分別提取不同地震量級下，主體結構和塔樓頂層的速度響應時程曲線，如圖8所示。

(a) 小震下 (臺面輸入加速度0.125g)

(b) 大震下 (臺面輸入加速度0.75g)

圖7和圖8結果表明，當振動量級較小時，塔樓頂部最大位移為主體頂部最大位移的2.27倍，如圖7(a)所示，塔樓頂最大速度為主體結構的2.32倍, 如圖8(a)所示，由鞭梢效應定義，體系未出現鞭梢效應，此時塔樓和主體結構各層測點基本同時達到最大位移，上下兩部分運動協同一致。當振動量級較大，塔樓頂部達到峰值位移時，塔頂位移為主體頂位移的7.35倍，如圖7(b)所示，而塔樓頂峰值速度為同時刻主體結構的15.21倍，如圖8(b)所示，體系出現鞭梢效應。此時塔樓與主體結構各層測點不能同時達到最大位移，且塔樓和主體結構的運動不再協調。

這一現象表明，若體系未發生鞭梢效應，其運動存在模態，任意一階的解耦模態可由式(3)表達為連續的形狀函數和統一的廣義坐標乘積的形式，整體運動協調一致。

當發生鞭梢效應時，上下兩部分的振動頻率不再相同，表現在模態上，必存在一階或幾階模態運動的廣義坐標不同，即

z1i≠z2i

(19)

式中：z1i,z2i分別為主體結構和塔樓的第i階廣義坐標。

此時，雖然連接位置處的位移、速度、加速度均連續，但塔樓部分第i階模態運動不再能由主體結構模態運動的廣義坐標z1i(t)表示，即

(20)

現分析發生鞭梢效應時界面處的運動狀態，由于界面處黏結強度足夠，不會出現滑移現象，因而界面上下位置處的運動位移連續，而界面以上部分速度不再符合主體結構的速度變化規律，即

(21)

由于在接觸面處形狀函數連續，故廣義速度在接觸面處不能相等

(22)

2.3 半主動控制中的加速度放大效應

半主動控制[16-17]指控制力隨體系運動而被動產生，其控制裝置大多為各類可調節阻尼器，控制過程中，控制力可利用外加能源主動改變大小，從而調整體系動力響應。半主動控制以其控制效果接近于主動控制而僅需極小能源的優點成為近年來振動控制研究的熱點之一[18]。本文為分析方便，取圖9所示半主動控制結構討論，其A，B，E，F處與地面采用滑動支座連接，C，D與地面采用固定支座連接。亓興軍等研究發現，在地震作用下，當半主動控制阻尼器設置在體系的非剛性支座處(圖9中的A，B，E，F處)時，在縱向地震作用下，阻尼器附近局部位置的加速度會產生如圖10所示的“針尖”放大效應，即加速度突變，而位移和彎矩卻未出現明顯的突變；當阻尼器設置在體系剛性連接處(C，D處)時，該放大效應不會出現。此外，香港理工大學Chau等[19]研究發現，動力作用下，樁土間可能出現間隙，如圖11所示，并在后續運動中發生碰撞。且實測發現，樁體的加速度時程曲線在碰撞瞬間也會出現“針尖”放大效應，如圖12(其中：ap為樁體的加速度；as為樁周土體的加速度)。這兩類工程現象都被判定為非經典阻尼體系[20]。其共同特點是，在體系運動過程中，主體結構均突然受到來自外界的力的作用，加速度在時程曲線上呈現突變。

圖9 半主動控制結構體系簡化模型

Fig.9 Simplified model with semi-active controlling system

圖10 加速度 “針尖”放大效應

圖11 土-樁碰撞實地照片

(a)(b)

圖12 樁體加速度“針尖”放大效應

Fig.12 Pinpoint-like acceleration magnified effect of the pillar

設半主動控制阻尼器設置在非剛性支座處用以調節體系的運動。在阻尼器發生作用之前，該體系為經典阻尼體系，其運動狀態可由若干模態的線性組合形式表達，即體系位移、速度和加速度函數可表達為

(23)

在縱向地震作用下，當半主動控制阻尼器在非剛性支座處發生作用時，相當于該瞬時在支座處施加了縱向作用力，而該支座沿縱向并不能提供約束，因而在該力作用瞬間，該部位的局部縱向加速度突然增大。此外，因位移是加速度關于時間的二階積分，彎矩是位移關于長度的二階微分，體系內一點加速度突然增加，導致其位移函數曲線出現拐點，但位移不會發生突變，則彎矩也未出現突變。

即對體系的運動來說，當半主動阻尼控制力出現時，在非剛性支座處加速度發生突變，即速度函數出現不光滑，表現在模態上，加速度函數已無法表達為半主動控制阻尼器未發生作用時的原形狀函數與廣義坐標加速度乘積的線性組合，在非剛性支座處，體系的模態運動加速度不相等，即

?

3 結 論

本文研究表明，運動狀態的連續與否是經典與非經典阻尼體系的直接決定因素，形狀函數連續和速度光滑連續，是經典阻尼體系的充要條件，非經典阻尼體系必將表現在運動狀態中某一個變量發生突變。在此運動狀態連續性理論研究基礎上，本文分析討論了實際工程中的地震斷層滑移現象、鞭梢效應現象以及半主動控制器作用時，體系的運動狀態及其相應的阻尼體系特性，希望能為工程阻尼體系類別的合理判別、合理擇取結構動力分析方法提供基礎理論參考。