考慮系統不確定性的車輛主動懸架自適應模糊滑模控制

龐 輝， 梁 軍， 王建平， 劉 凡

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

車輛主動懸架能夠通過其作動器產生主動控制力來抑制由于路面不平引起的車身振動，并能根據車輛每一時刻運動狀態和路面激勵產生瞬時不同的主動控制力，使懸架始終處于最優減振狀態，進而提高車輛平順性與操縱穩定性[1-6]。然而，由于懸架系統本身具有諸多非線性因素和模型不確定性，車輛在不同行駛道路條件(路面不平度)和工況(加速、制動和轉彎)下，懸架參數會在一定范圍內發生變化，這就使得對懸架系統的動態特性難以用精確數學模型來描述，從而造成控制上的困難。因此，在車輛主動懸架控制中，考慮懸架系統模型不確定性具有重要意義。

T-S模型是由Takagi和Sugeno提出的一種模糊推理模型，該模型相當于將輸入空間分為若干個模糊子空間，首先在每個模糊子空間建立一個局部線性模型，然后使用隸屬函數平滑的將各個局部模型連接起來，從而形成非線性函數的全局模糊模型。由于T-S模糊模型結構簡單，對復雜非線性系統可通過一些簡單線性子系統的加權和來表示，近年來基于T-S模糊模型的控制方法受到廣泛關注[7-10]。文獻[11]針對主動懸架系統控制執行器的延遲和故障不確定性等問題，在滿足安全性能約束要求并保證系統漸近穩定性和魯棒性前提下，設計了一種模糊魯棒H∞控制器。文獻[12]綜合T-S模糊模型、區間二型模糊推理和吳-孟德爾不確定邊界方法構建了一種線性模型控制界面之間的切換策略，同時對該控制策略的穩定性進行了分析。文獻[13]針對非線性半車懸架系統建立了T-S模糊模型，設計了一種具有時變輸入延遲和輸出限制的新型模糊動態輸出反饋控制方案。上述文獻所設計的T-S模糊控制在非線性模型追蹤方面取得了較好控制效果，可很好地獲取模型相應信息。但是，對信息簡單的模糊處理容易導致控制精度降低及較差的動態品質。因而已有研究人員將模糊控制與滑模控制相結合，并應用于非線性控制系統。例如，文獻[14]將滑模控制與單輸入單輸出模糊邏輯控制器結合，設計了一種用于非線性半車模型的主動懸架無抖振模糊滑模控制器。文獻[15]針對整車模型將滑模控制與模糊控制結合，設計了一種模糊滑模控制器，并通過仿真驗證所設計控制器在車身加速度、懸架動撓度和輪胎動位移方面的控制效果均優于傳統滑模控制器。分析現有文獻可知，將模糊控制與滑模控制相結合，在保證系統閉環穩定性的同時可以充分發揮模糊控制不依賴系統模型特點和滑模控制適用于非線性、時變系統的優勢。

為此，本文提出一種考慮系統不確定性的車輛主動懸架自適應模糊滑模控制(Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control, AFSMC)方法。首先，通過T-S模糊方法建立由于車輛懸掛和非懸掛質量變化、控制器輸入不確定等因素引起的非線性主動懸架系統模型；接著設計積分滑模面函數，并采用并行分布補償方法(Parallel Distribution Compensation, PDC)進行系統狀態反饋控制；進而將滑模控制與自適應理論結合，引入自適應參數調節滑模趨近律的邊界層來降低滑模抖振，保證系統狀態軌跡在有限時間內到達滑模面；最后討論了該控制方法應用于不同路面激勵的懸架系統仿真結果。

在本文中，所使用標準符號如下：AT為矩陣A的轉置；Rn為n維實數向量空間；P>0(≥0)為一個對稱正定(半正定)矩陣；*為在對稱塊矩陣或復雜的矩陣表達式中，用*號來表示由矩陣對稱性得到的矩陣塊；diag{a1,…,an}為的塊對角矩陣。sym(A)為A+AT；L2[0, ∞)表示在[0, ∞)是平方可積的。

1 系統建模及問題描述

為簡化動力特性分析及控制器設計的復雜度，建立1/4汽車二自由度懸架動力學模型如圖1所示[16-18]。其中，ms為懸掛部分質量；mu為非懸掛部分質量；zs,zu分別為懸掛質量和非懸掛質量的垂向位移；zr為隨機路面輸入；cs,ks分別為懸架結構阻尼和剛度；kt為輪胎剛度。

根據牛頓第二定律建立其動力學方程為

(1)

圖1 二自由度1/4車輛主動懸架模型

(1) 考慮懸架系統機械結構的限制，懸架動撓度最大不能超過機械結構的限制值zmax，即

|zs(t)-zu(t)|≤zmax

(2)

(2) 為確保車輪與路面的不間斷接觸，輪胎動載荷必須小于輪胎靜載荷，即

kt(zu(t)-zr(t))<(ms(t)+mu(t))g

(3)

式中：g為重力加速度且g=9.8(m/s2)。為滿足式(1)和式(2)懸架性能約束，定義懸架控制輸出為

(4)

其中，

g(x(t))滿足如下約束[19]

(5)

不同的車身載荷會使得車身質量ms(t)在一定范圍內變化，同時作動器控制輸入具有一定不確定性，因此，考慮系統不確定性的懸架運動方程包括懸掛質量ms(t)、非懸掛質量mu(t)以及作動器不確定控制輸入。假定參數ms(t)和mu(t)變化范圍為msmin≤ms(t) ≤msmax,mumin≤mu(t) ≤mumax，定義ξ1(t)=1/ms(t),ξ2(t)=1/mu(t), 參照文獻[20]中非線性方法，可得1/ms(t)和1/mu(t)分別為

(6)

(7)

(8)

式中：M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))=1；N1(ξ2(t))+N2×(ξ2(t))=1,隸屬函數M1(ξ1(t))和M2(ξ1(t))分別定義為“H(重)”和“L(輕)”，隸屬函數N1(ξ2(t))和N2(ξ2(t))分別定義為“H(重)”和“L(輕)”，隸屬度函數示意圖如圖2所示。

則具有不確定質量的懸架系統式(4)可用如下T-S模型描述

Model Rulei： IFξ1(t) isMrandξ2(t) isNj，

THEN

z1(t)=C1ix(t)+D1iu(t)

z2(t)=C2ix(t)

(9)

(a)

(b)

由此，根據上述模糊規則，考慮系統不確定性的車輛主動懸架系統可通過T-S模糊模型表示為

(10)

2 自適應滑模控制器設計

滑模動態的存在性、可達性以及滑模運動的穩定性是滑模控制的三個基本問題，針對1/4車輛主動懸架系統的模型不確定性，本文所提出自適應滑模控制器設計的主要問題是設計合適的滑模面函數和滑模控制律，根據式(2)式(3)的約束條件及滑模控制基本條件，要使本文所設計自適應滑模控制器u(t)達到滑模運動漸近穩定，則在零初始條件下應滿足：① 閉環系統是內部穩定的；② 在能量有限外部擾動w(t)下，被控輸出z能夠滿足約束，即

(11)

表1 權重系數及對應的模糊規則

|{z2(t)}r|≤1,r=1,2;t>0

(12)

2.1 滑模切換面設計

設計滑模面函數為

(13)

為了得到穩定T-S模糊模型，采用PDC方法進行系統狀態反饋設計[21]。PDC方法的主要思想是將一個非線性系統動態劃分成若干個線性子系統，針對每一個線性子系統，設計適當的局部線性控制器，最終通過權重系數產生由若干局部混合的模糊共混總控制器(補償器)[22]。在PDC設計過程中，每條控制規則可設計為相應的T-S模糊模型規則，即所設計的模糊控制器與模糊模型共享相同模糊集，具體描述如下

Control Rulei： IFξ1(t) isMrandξ2(t) isNj(r=1,2；j=1,2)

THEN

u(t)=Kix(t) (i=1, 2, 3, 4)

(14)

則總的控制力可表示為

(15)

式中，Kj∈R1×4(j=1, 2, 3, 4)為狀態反饋增益矩陣。

將式(15)代入式(10)得到

(16)

式(16)為模糊系統在滑模表面s(t)=0上的動力學方程，其滑模控制框圖如圖3所示。

圖3 基于T-S模糊模型的自適應滑模控制框圖

2.2 滑模可達性分析

考慮在假設式(6)下的系統式(10)，設計滑模控制律為

(17)

證明：定義Lyapunov函數為

將V1對時間求導，則有

sgn(s(t))+g(x(t)))≤-ρ(t)|s(t)|+

(18)

即系統式(10)的軌跡在有限時間將全部到達指定的滑模面s(t)=0上，證畢。

(19)

證明：定義Lyapunov函數為

將V2對時間求導可得

(20)

即在作動器不確定輸入g(x(t))下，系統式(10)的軌跡可在有限時間內趨于指定的滑模面s(t)=0上，證畢。

2.3 系統穩定性分析

Ξii<0

(21)

Ξij+Ξji<0,i

(22)

(23)

式中：i,j=1, 2, 3, 4且r=1, 2；

則控制系統式(10)存在一個狀態反饋控制器式(17)，使得：① 在沒有擾動的情況下，閉環系統(16)是漸近穩定的；② 在零初始狀態下，閉環系統式(16)在外界擾動能量小于wmax=(ρ-V(0))/γ2的情況下相應的閉環控制系統性能指標滿足|Twz|∞<γ，且閉環系統輸出約束式(12)在整個時間域內可以得到保證。

證明：定義如下Lyapunov函數

V=xTPx

(24)

且PT=P>0，則

(25)

其中,

(26)

對于任意能量有限的外界擾動w={w(t)}∈L2[0,∞),利用Schur補性質可將式(27)等價轉化為

(27)

當外界擾動w(t) = 0時，則式(16)所描述系統的Lyapunov函數導數可表示為

(28)

綜上可知，該控制系統在任意能量有限的外界擾動下是漸近穩定的。接下來證明零初始條件下，閉環系統輸出式(11)式(12)的充分必要條件。

(29)

根據Lyapunov函數V(t)的定義可得xT(t)Px(t)<ρ且ρ=γ2wmax+V(0)，為了滿足式(12)的約束條件，則應保證

式中：r=1,2;θmax(·)表示·最大特征值。

(30)

根據Schur補性質可將矩陣不等式的可行性問題等價轉化為

(31)

3 仿真分析

為驗證本文所提出控制策略的有效性和適用性，假定車輛載荷在行駛過程中發生最劇烈的變化(即懸掛質量變化函數式為ms(t)=432+20sin(t) (kg)，非懸掛質量變化函數式為mu(t)=45+0.45sin(t) (kg)，基于Matlab/Simulink建立1/4車輛主動懸架系統控制仿真模型。根據表1中模糊規則，可得該主動懸架線性子系統權重系數hi(ξ(t))如圖4所示。本文研究所

圖4 權重系數hi

采用的某型號轎車的懸架參數見表2。

表2 四分之一車輛懸架參數

為保證所設計的自適應模糊滑模控制器在指定滑模面是漸近穩定的，同時其狀態軌跡可在有限時間內到達滑模面并滿足懸架系統硬約束條件式(11)、式(12)，選擇

G=[0 0 1 1]

(32)

K1=103×[1.960 6 -1.360 0 -1.975 9 1.013 6]

K2=103×[1.949 2 -1.351 5 -1.961 3 1.040 2]

K3=103×[1.959 2 -1.359 0 -1.935 2 0.437 1]

K4=103×[1.965 3 -1.363 5 -1.942 7 0.508 5]

(33)

P=

(34)

3.1 凸塊路面響應

凸塊路面輸入可看作來自路面的突變或沖擊，它通常是短時間、高強度的離散事件，例如橫過道路的水溝、減速帶、與公路交叉的鐵軌等，這種振動路面輸入也是驗證懸架系統設計性能經常采取的擾動輸入形式，根據國際標準ISO2361，其數學描述可寫為

(35)

式中：A和L分別為凸塊輸入的高度和長度，假定其值分別為A=50 (mm)，L=5 (m)，并且車輛以36 (km/h)車速勻速行駛。圖5～圖7為被動懸架、T-S控制和自適應模糊滑模被控懸架的車身加速度z1響應曲線、懸架動撓度輸出約束曲線和輪胎動載荷輸出約束曲線。

從圖5可知，相比于被動懸架系統，自適應模糊滑模控制的車身垂向加速度具有更小的峰值，能夠快速抑制車身振動；從圖6、圖7可以看出，懸架動撓度遠小于zmax，約束式(2)得到保證，可以有效地減少車輪的沖擊而使懸架與限位塊碰撞的次數，降低懸架被“擊穿”的概率，改善汽車的操作穩定性；相較于T-S模糊控制，自適應滑模控制具有更低的車身加速度峰值，更短的穩定時間，對提升乘坐舒適性有較大幫助；此外，自適應模糊滑模控制懸架輪胎動態負載與靜輪胎載荷最大比值遠小于1，懸架具有可靠地承載能力，能夠確保汽車行駛過程中車輪不間斷的接地性，具有更好的抓地能力。

圖5 車身加速度響應曲線

圖6 懸架動撓度輸出約束

圖7 輪胎動載荷輸出約束

圖8為自適應模糊滑模控制的主動控制力變化曲線，當車輛受到瞬態沖擊時，主動懸架可做出快速響應；同時，從圖9和圖10可以看出，控制系統狀態軌跡能在有限時間內進入到滑模面，保證滑模面為滑動模態區，滑模運動漸近穩定且具有良好的動態品質。

圖8 主動控制力u

圖9 滑模面s

圖10 自適應參數

3.2 粗糙路面響應

為驗證自適應模糊滑模控制器在車體共振頻率(1 Hz)輸入擾動下的控制效果，以車體共振頻率與高頻干擾疊加的粗糙路面作為路面輸入，粗糙路面實際上是具有一定波長和微小溝槽的搓板路，其數學描述如式(36)所示[23]

zr=0.025 4sin(2πt)+0.005sin(10.5πt)+

0.001sin(21.5πt)

(36)

在粗糙路面輸入擾動下，圖11為被動懸架、T-S控制和自適應模糊滑模被控懸架的車身加速度z1響應曲線，圖12和圖13分別為懸架動撓度和輪胎動載荷的輸出約束曲線。

從圖11可知，在整個粗糙路面上自適應模糊滑模控制較被動懸架的車身垂向加速度降低了46.6%，很好改善了汽車行駛平順性；從圖12可以看出，懸架動撓度滿足機械結構限制約束；從圖13可以看出，由于三種性能指標之間相互矛盾，自適應模糊滑模控制輪胎動載荷峰值較被動懸架有所增大，但輪胎動態載荷與靜輪胎載荷比值小于1，依然能夠確保汽車具有一定的安全行駛性能；相較于T-S模糊控制，自適應滑模控制策略三種性能指標均有較小幅度的改善，具有更好的懸架動態性能。

3.3 隨機路面響應

為進一步評估自適應模糊滑模控制器性能，假定路面輸入為隨機路面，隨機路面是指持續長時間的小不平整路面，路況相對較好，如一般的瀝青路面、砂石路面等。其輸入可用下式來表示[24]

圖11 車身加速度響應曲線

圖12 懸架動撓度輸出約束

圖13 輪胎動載荷輸出約束

(37)

式中：n0為空間頻率(n0= 0.1(1/m))；Gq(n0)為路面不平度系數(10-6(m3))；u為車輛行駛速度，取u=20(m/s)；fc為路面時間截止頻率(取值fc=0.01(Hz))；W(t)表示均值為0，強度為1的均勻分布白噪聲。

車身加速度的均方根值(RMS)與汽車乘坐舒適性是嚴格相關的，其值常被看為傳遞到車體上的加速度的量。車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的均方根值通常用來評估所提出的控制設計方法的有效性。在本文中，選擇時間T= 100 s來計算的車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷在不同路面平整度系數下B級路面(Gq(n0)=64×10-6(m3))、C級路面(Gq(n0)=256×10-6(m3))、D級路面(Gq(n0)=1 024×10-6(m3))、E級路面(Gq(n0)=4 096×10-6(m3))的均方根值和最大值(max)，計算結果見表3。其中，變量x(t)的均方根值的計算公式為[25]

表3 懸架系統性能值

(38)

觀察表3可知，在不同等級的隨機路面下，與被動懸架相比，自適應模糊滑模控制策略的車身垂向加速度均方根值降低了16.7%；懸架動撓度均方根值隨路面等級變差而改善幅度增大，有效降低了汽車行進間的路面激勵對車身產生的沖擊，減少了車輪的沖擊而使懸架與限位塊碰撞的次數，降低懸架被“擊穿”的概率，很好的改善了汽車行駛平順性和操作穩定性，由于三種性能指標之間相互矛盾，輪胎動載荷峰值較被動懸架有所增大。與T-S模糊控制相比，自適應模糊滑模控制能夠很好地抑制車身加速度的幅值，減小了車輪的動載荷和車輪跳動量，改善了車輛的乘坐舒適性和操作穩定性，車輛懸架綜合性能得到了較好的提高。

4 結 論

(1) 對于主動懸架系統，車輛懸架系統的性能會受到車輛有效載荷的影響。為了解決車輛主動懸架因系統質量參數不確定性所引起的控制穩定問題，建立了基于T-S模糊方法的懸架系統非線性控制模型，通過T-S模糊模型來描述由于懸掛和非懸掛質量變化、控制器輸入不確定等因素所引起的不確定性，提出一種自適應模糊滑模控制策略，并利用Lyapunov理論推證了自適應滑模控制系統的穩定性和滑模面的可達性。

(2) 通過在三種不同路面激勵下的仿真實驗發現，相比于被動懸架和模糊控制，在凸塊路面擾動下，自適應滑模控制具有更低的車身加速度峰值，更短的穩定時間，對提升乘坐舒適性有較大幫助；在車體共振頻率(1 Hz)與高頻干擾疊加的粗糙路面和隨機路面擾動下，車輛懸架綜合性能得到了較好的提高。