復雜邊界條件板殼耦合結構振動分析

代 路， 林原勝， 柳 勇， 白 凡， 吳 君， 楊鐵軍

(1. 武漢第二船舶設計研究所 熱能動力技術重點實驗室， 武漢 430205；2. 哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院， 哈爾濱 150001)

由于具有結構和力學等方面的優良性能，板殼類結構在船舶、航空航天以及化工等工程領域中得到了廣泛應用，因此開展此類結構的動力學特性研究具有重要而普遍的意義。在很多場合中采用單一板或殼模型對實際結構進行描述顯得過于簡化，為使所建立的分析模型更為接近實際，往往需要考慮板殼結構的耦合形式，如飛機機身以及水下艦船的主體結構等均由板與殼這些基本結構組合而成。普遍認為，對板殼耦合結構進行準確建模是深入開展相關理論研究的關鍵所在，其與數值方法相比，有利于獲得描述板殼耦合結構動力學特性的全面信息，進而深層次揭示板殼耦合結構的各種動力學行為機理。

近年來，國內外學者們圍繞板殼類耦合結構的動力學理論建模以及分析方法開展了大量研究工作[1-12]。Peterson等采用擴展的瑞利-里茲法獲得了內部帶有縱向底板圓柱殼自由振動的解析解，然而他們所建立的研究模型只適用于簡支邊界條件，原因是僅在簡支邊界下描述殼結構位移方程中的軸向模態函數才是準確的。Langley等為了研究飛機機身的全局振動，采用一種動態剛度技術分析了帶底板圓柱殼的振動問題，該方法是基于邊界簡支的正交曲殼單元的近似方法，加強底板部分被平攤于殼單元之中，通過哈密頓方程使其近似滿足圓柱殼的振動微分方程及邊界條件，進而獲得動態剛度矩陣和單元的載荷向量。其研究結果表明，Langley等與Peterson等的結果存在較大偏差，且平板距離中心越遠，偏差越大。Huang等采用位移導納法開展了帶圓形隔板的邊界簡支圓柱殼振動問題研究，其中圓形隔板可處于軸向任意位置；Yim等將此問題延伸到懸臂邊界條件。之后，Lee等把該方法拓展到帶有內部平板的圓柱殼以及層狀復合型圓柱殼的自由振動分析中，然而文獻[6]在頻率方程的簡化過程中忽略了由動態力矩產生的面內位移以及法向轉角，導致其數值仿真結果與有限元以及測試結果相比吻合程度不高。

在結構的特定區域將子結構單獨來處理，采用約束方程來加強子結構之間的動力學協調關系，這種處理方式經常被用來求解加強殼體的振動問題(比如環肋和加筋殼體)，以及不同類型殼體之間的連接問題[13-14]。Wang等采用子結構法研究了板殼耦合結構系統的功率流特性，其中板殼耦合結構之間包括保守和非保守的耦合條件，但其外在邊界條件受限于簡支邊界。模態耦合方法中采用子結構模態分析復雜結構模態[15-16]的基本思想亦如此。然而，這類方法的求解均存在一定程度的模型誤差，而且受限于特定的邊界條件形式。

吳仕昊等采用半解析區域分解法分析了一般邊界條件下圓柱殼-圓柱殼-球殼組合結構的自由振動，通過將計算結果與有限元法計算結果進行對比，驗證了該方法在分析不同類型殼體組合結構自由振動的正確性和計算精度，進而分析了組合殼體長徑比及厚徑比對其自由振動頻率的影響。

綜上所述，現有針對板殼類耦合結構以及類似結構系統的動力學研究模型均存在一定的局限性，且僅考慮了一些經典邊界條件，然而，在實際工程中將會遭遇各式各樣的結構邊界形式。事實上，邊界條件對于結構的動力學特性具有重要影響[17]，并且在一定條件下結構邊界條件的影響可能比結構參數本身更為敏感[18]。因此，此類問題的研究極大地受到研究模型和結構邊界條件的制約。

本文將采用改進傅里葉級數方法建立復雜邊界條件下彈性板-圓柱殼耦合結構振動分析模型，充分考慮二者結構連接處各種內力和力矩的相互耦合作用，基于能量原理并結合瑞利-里茲方法分析復雜邊界條件下板殼耦合結構動力學特性。通過將本文方法計算結果與現有文獻結果以及有限元結果進行比較，驗證本文分析方法對于板殼耦合結構自由振動求解的正確性以及復雜邊界的適應性。最后，開展了相關的實驗研究，通過與試驗測試結果對比進一步驗證本文分析方法對于板殼耦合結構強迫振動預報的正確性。

1 板殼耦合結構分析模型及理論推導

彈性板-圓柱殼耦合結構的示意圖和坐標系統如圖1所示，其中：us,vs,ws和uf,vf,wf分別表示圓柱殼體與彈性板的軸向、切向和橫向位移；φ表示彈性板與圓柱殼的耦合角；R,θ,x分別表示圓柱殼半徑以及周向和軸向位移變量。其中，下標帶“s”和“f”的符號分別表示與圓柱殼和彈性板相關的變量。

圖1 彈性板-圓柱殼耦合結構示意圖

1.1 邊界建模

首先，對彈性板-圓柱殼耦合結構各自的外在邊界情況進行描述，其建模如圖2所示。

如圖2所示，分別在圓柱殼與彈性板兩端邊界上施加四類連續分布的彈簧約束，即軸向、切向、橫向的線性彈簧約束和橫向的旋轉彈簧約束。采取了這樣的邊界建模處理之后，則能輕松解除復雜邊界條件對于板殼耦合結構振動分析的制約，本文中所提的復雜邊界條件情況均可通過調節各類彈簧支撐剛度值的大小來進行邊界模擬，比如，設置所有的彈簧剛度值為無窮大或者零則可分別模擬固支和自由的邊界條件，并采用兩套改進傅里葉級數分別統一描述各種邊界條件下圓柱殼和彈性板結構的位移場函數，而不需要像以往重新構建位移場函數的形式去適應不同的邊界條件。

彈性板-圓柱殼耦合結構的耦合邊界建模如圖3所示，彈性板分別在圓柱殼周向角θ=2π-φ和θ=φ的位置與圓柱殼相連接。在兩條耦合邊界上，分別設置四類連續分布的耦合彈簧kcx0,1,kcy0,1,kcz0,1,Kcz0,1(下標

(a)

(b)

中帶“c”表示耦合彈簧，以區別于邊界上布置的約束彈簧)，這四類彈簧可充分考慮結構耦合邊處的面內縱向波、剪切波、橫向彎曲波(包括橫向剪力和橫向彎矩產生的彎曲波)的耦合效應。類似于其外在邊界條件的建模，通過建立這種彈性耦合的內在邊界連接模型，即可方便地模擬各種復雜的子結構耦合條件，如剛性耦合、鉸接以及其它形式的耦合條件等。

圖3 彈性板-圓柱殼耦合結構的耦合邊界建模

1.2 位移級數描述

采用兩套改進傅里葉級數分別對圓柱殼和彈性板振動的位移場函數進行描述。首先，構建彈性約束邊界下的圓柱殼三向位移，即圓柱殼的軸向、切向和橫向位移形式描述如下

(1)

(2)

(3)

式中：λm=mπ/l，τ=0,1分別為對稱模態和反對稱模態的位移級數，面內和面外位移的輔助函數αi和βi與文獻[19]中的形式一致。

對于彈性板而言，其軸向、切向和橫向位移分別表示成如下的形式

(4)

(5)

(6)

式中：λbn′=n′π/b；α1b(y)=y(y/b-1)2；α2b(y)=y2/b(y/b-1)。為區別于圓柱殼，與彈性板的位移級數序數采用m′和n′表示。

1.3 構造耦合結構系統特征方程

哈密頓原理是分析力學的基礎，它不依賴于牛頓定律，提供了一種新的方法表述物理系統運動規律。對于圓柱殼結構而言，基于Flügge殼體理論，其總的勢能項Vs和動能項Ts表達式為

Kr0,1(?ws/?x)2)x=0,lRdθ

(7)

(?ws/?t)2)Rdθdx

(8)

式中：z為殼體中微小單元距離中性表面相對位置；hs為殼體厚度；Es,ρs,σs分別為殼體材料的楊氏模量、質量密度和泊松比；esxx，esθθ和esxθ分別為殼體中任意微小單元軸向、周向應變和剪應變[20]。

對于彈性板結構而言，總的勢能項Vf可以分為與面內振動和面外振動相關的兩部分Vf-in和Vf-out。Vf-in，Vf-out以及動能Tf的表達式可分別描述為如下的形式

dy

(9)

(10)

dydx

(11)

式中：hf為平板厚度；Ef,ρf,σf分別為平板材料的楊氏模量、質量密度和泊松比；εfxx，εfyy和εfxy分別為與彈性板面內振動有關的應變量；τfxx，τfyy和τfxy分別為與彈性板面外彎曲振動有關的應變量。這些應變量的具體表達式為

(12)

(13)

在彈性板-圓柱殼耦合結構中，二者在相互連接的部位存在強烈的機械耦合作用。傳統求解方法往往通過建立約束方程來實現各自結構在連接處的位移協調性，包括位移連續和轉角連續性條件。為建立彈性板和圓柱殼結構之間的機械耦合關系，本文中依賴于被設置于殼體和平板公共邊的四類耦合彈簧，使連接處圓柱殼和彈性板結構的位移不再需要嚴格滿足位移協調關系，而是通過二者結構之間的耦合效應將機械能量存儲于耦合彈簧之中，傳統方法中的位移約束方程則轉化成哈密頓原理中新增的彈性勢能項。具體來講，新增的彈性勢能可描述為

(14)

通過上述所列勢能項和動能項構建彈性板-圓柱殼耦合結構系統的拉格朗日函數，其表達式為

L=Vs+Vf-in+Vf-out+Vc-Ts-Tf

(15)

聯立上述的所有方程，通過哈密頓原理對所有未知的傅里葉級數展開系數求變分，即可獲得彈性板-圓柱殼耦合結構系統的瑞利-里茲解。系統最終的特征方程寫為如下的矩陣形式

(Ksf-ω2Msf)Xsf=0

(16)

系統的特征方程式(16)是關于45類傅里葉級數展開系數的線性方程組。通過求解這個特征方程組，即可得到彈性板-圓柱殼耦合結構的模態參數。其中，每一個特征值以及傅里葉空間的每一組特征向量都與耦合結構系統的固有頻率和物理空間的模態振型信息一一對應。

1.4 結構振動響應求解

求解板殼耦合結構的振動響應，需將外力所做的功引入到整個耦合結構系統的能量描述方程中，通過應用哈密頓原理，彈性板-圓柱殼耦合結構振動響應的求解則可以依賴下面的表達式得到

(Ksf-ω2Msf)Xsf=F

(17)

為了求解上面的方程，只需將外部激勵力按位移傅里葉級數的形式對應展開。當外部作用力為點力時，可簡單借助于狄拉克Delta函數。以橫向點力作用在彈性板上為例，外部激勵力向量可表示成如下的形式

(18)

(19)

式中:各個子向量可參考描述彈性板橫向位移的改進傅里葉級數得到，其形式不再具體給出。

最終，彈性板-圓柱殼耦合結構的振動響應通過求解描述各自位移的改進傅里葉級數展開系數得到

Xsf=(Ksf-ω2Msf)-1F

(20)

2 計算結果與分析

2.1 自由振動

首先，考慮剛性耦合條件下的板殼耦合結構，假定彈性板和圓柱殼均為簡支邊界條件，二者的耦合角度為θ=115°。在仿真計算中，為了限制過多的變量數目，現設定帶底板圓柱殼耦合結構的幾何參數和材料屬性分別為：ls=lf=lsf=1.27 m，hs=hf=0.005 08 m，σs=σf=0.3，ρs=ρf=7 500 kg/m3，R=0.254 m，Es=Ef=2×1011N/m2。表1中列出了簡支邊界條件下板殼耦合結構的前四階對稱模態(S)和反對稱模態(A)的無量綱固有頻率參數。

通過對比，可以發現表1中所列本文方法計算的結果均比文獻三種方法的計算結果更吻合于有限元結果。其中文獻[1]的結果偏差較大，尤其是第一階對稱模態，這是因為所采用的方法中位移協調性條件存在一個約定性的錯誤，這一點文獻[2]中也曾指出過。文獻[6]的結果整體上偏差也較大，這主要是因為其在處理彈性板和圓柱殼結構公共邊界的耦合效應中，僅僅考慮了殼體的橫向位移、彎矩分別與彈性平板面內的法向位移、彎矩之間的相互耦合效應，而忽略了殼體切向位移與彈性板橫向位移，以及二者之間軸向位移的耦合作用。相比而言，文獻[5]的結果要比文獻[1]和文獻[6]的結果偏差小一些。由此可見，相比現有文獻中對于板殼耦合結構模態參數的求解結果，本文方法求解結果的準確性更加值得信賴。

表1 簡支邊界條件下板殼剛性耦合結構的頻率參數比較

為驗證本文方法對于板殼耦合結構其它邊界條件的適應性，改變邊界條件使其一端為自由邊界，另一端為固支邊界(即整個耦合結構為懸臂邊界)，彈性板與圓柱殼為彈性耦合模式，其中耦合邊上縱向和橫向彈簧剛度值設定為106，切向彈簧和旋轉彈簧的約束剛度值設定為107，同時調整彈性板在耦合結構中的位置為θ=90°。表2中列舉了懸臂條件下板殼彈性耦合結構前十階模態的固有頻率。從表中可以看出，本文方法的結果與有限元結果相比偏差很小，最大偏差不過1.023%。圖4中繪制了板殼彈性耦合結構在懸臂條件下前六階模態的振型圖，可以看出，由于彈性板與圓柱殼結構之間不再是剛性耦合，二者結構機械耦合作用減弱，導致前幾階模態振型中二者結構耦合處變形相對較小，而主要變現為結構強度較小的板結構振型變化。

2.2 強迫振動

為了進一步驗證本文求解方法對復雜邊界條件下板殼耦合結構振動建模與分析方法的正確性，對板殼耦合結構的動力學特性開展相關實驗研究，板殼耦合結構的實驗裝置和振動響應測試系統如圖5中所示。本實驗裝置兩端為板殼耦合結構的邊界支撐部分，支撐結構的垂向鋼板厚度為50 mm，圓柱殼結構兩端與厚度為30 mm的法蘭焊接，并采用24個螺栓將圓柱殼兩端法蘭和邊界支撐結構固接在一起，如此則可將耦合結構的圓柱殼邊界條件視為固支邊界；同時，為便于實驗件的加工，并考慮測試空間的局限性，對彈性板兩端邊界不進行約束，即為自由邊界。需要說明的是，為盡量減小焊接造成的薄壁結構變形，所有焊接過程均先采取間隔點焊，實驗裝置整體裝配完好后再分段依次完成焊接。板殼耦合結構的結構參數為：圓柱殼半徑0.262 m、厚度4.15 mm，彈性板厚度4.55 mm，耦合角度114°，耦合結構長度1 m。測試時分別在彈性板和圓柱殼結構上拾取具有代表性的激勵點和響應點。

(a) 第一階(b) 第二階

(c) 第三階(d) 第四階

(e) 第五階(f) 第六階

圖4 懸臂邊界條件下板殼彈性耦合結構前六階模態振型

Fig.4 The first six mode shapes of a clamped-free supported plate-shell elastically coupled structure

圖6給出了彈性板-圓柱殼耦合結構振動加速度響應預測結果和實驗測試結果的對比曲線。圖6中實線表示本文方法的預測結果，虛線表示實驗測試結果。

表2懸臂邊界條件下板殼彈性耦合結構的固有頻率比較

Tab.2Naturalfrequenciesofthefirsttenmodesforaclamped-freesupportedplate-shellelasticallycoupledstructure

模態階數固有頻率FEM/Hz本文/Hz偏差/%174.32374.6550.447290.29490.7920.5523110.15110.000.1364111.89112.070.1615146.65146.380.1846149.57148.690.5887176.41176.250.0918180.17181.220.5839193.24193.350.05710197.52195.501.023

(a)(b)

圖5 彈性板-圓柱殼耦合結構實驗裝置及振動響應測試系統

Fig.5 Experimental setup and measuring system of vibrational response for the elastic plate-shell coupled structure

通過觀察圖中加速度頻響函數曲線可以看出，除低頻段效果存在較大差異之外，兩種方法獲得的頻響曲線大體上吻合較好，這進一步證明了本文方法能夠對復雜耦合結構的振動響應進行準確的預報。圖中曲線的低頻段吻合程度較差，主要是測試系統本身缺陷所造成的，特別是加速度計的靈敏度，由于低頻段振動加速度信號很微小，而具有高阻抗的小電荷信號非常容易受到干擾，使得所采集信號的信噪比問題比較突出，因此想要在低頻段獲得可靠且穩定的測試效果，需要傳感器的靈敏度足夠小來保證。另外，本文方法的預測結果和實驗測試結果在共振頻率處的峰值有所區別，這主要是由于預測程序中輸入的結構阻尼與實際結構阻尼不可能保持一致造成的。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3 結 論

本文建立了復雜邊界條件下彈性板-圓柱殼耦合結構的振動分析模型，采用改進傅里葉級數分別對彈性板和圓柱殼結構振動位移場函數進行描述，復雜邊界條件依賴于各自邊界上施加的四類約束彈簧來模擬，而結構之間的機械耦合效應則通過二者結構連接處所設置的四類耦合彈簧予以完整考慮?；谒⒌膹碗s邊界板殼耦合結構振動分析模型，借助哈密頓原理以及瑞利-里茲方法得到整個耦合結構系統的特征方程以及耦合結構振動響應。

通過執行多種算例的仿真計算，并與文獻結果、有限元結果以及實驗結果相比較，驗證了本文方法對于復雜耦合結構自由振動以及強迫振動計算的正確性和優越性。相比于以往求解板殼耦合結構振動的分析方法，本文分析方法不再局限于簡單邊界條件以及結構耦合條件，而是具有很強的邊界條件和結構耦合條件適應性。除此之外，本文所采用的建模和分析方法為類似耦合結構提供了一種通用性的分析手段，比如，該方法可輕松推廣于由梁、板、殼等基本結構單元組成的其它復雜耦合結構系統。