三角形四“心”的向量風采

李冬明

【摘 要】三角形的四“心”即重心、垂心、內心、外心，在三角形中有著極其重要的地位，在各地高考題及模擬考試中，出現許多有關三角形四“心”的向量形式的優美考題，使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有了更深刻的認識。特在此分類解析，旨在探索題型規律，以提升同學們的數學思維能力。

【關鍵詞】三角形；向量；重心；垂心；內心；外心

一、“重心”的向量風采

例1.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■+■+■=■，則M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內心 D.外心

解析：由題意，得■+■=-■，以MA、MB為鄰邊作平行四邊形MAC'B，設MC'與AB相交于點D，則D為AB的中點。由■+■=■，得■=-■，即C，M，D，C'四點共線，故M為AB邊中線上的點。同理可得M也為AC，BC邊的中線上的點，所以M是△ABC的重心。故選（A）。

變式1：已知M是△ABC所在平面上的一點，若■=■（■+■+■），則M是△ABC的重心。

變式2：已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點M滿足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），則點M的軌跡一定通過△ABC的重心。

二、“垂心”的向量風采

例2.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■·■=■·■=■·■，則M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內心 D.外心

解析：由■·■=■·■，得■·（■-■）=0，即■·■=0，所以■⊥■。同理可證■⊥■，■⊥■。所以M是△ABC的垂心。故選（B）。

變式：已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點M滿足■=■+λ（■+■），

λ∈（0，+∞），則點M的軌跡一定通過△ABC的垂心。

解析：由題意得■=λ（■+■），（■+■）·■=0，所以■⊥■，即點M在過點A且垂直于BC的直線上，所以點M的軌跡一定通過△ABC的垂心。

三、“內心”的向量風采

例3. 已知M是△ABC所在平面上的一點，且AB=c，AC=b，BC=a。若a■+b■+c■=■，則M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內心 D.外心

解析：因為■=■+■，■=■+■，由題意得（a+b+c）■+b■+c■=■，所以■=■（■+■）。因為■與■分別為■，■方向上的單位向量，所以■與∠BAC的角平分線共線，即AM平分∠BAC，同理可證BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，所以M是△ABC的內心。故選（C）。

變式：已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點M滿足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），則點M的軌跡一定通過△ABC的內心。

四、“外心”的向量風采

例4.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■■=■■=■■，則M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內心 D.外心

解析：若■■=■■=■■，則■■=■■=■■，即■■=■=■，所以M是△ABC的外心.故選（D）。

變式：已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點M滿足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），則點M的軌跡一定通過△ABC的外心。

解析：由于■過BC的中點，當λ∈（0，+∞）時，λ（■+■）表示垂直于■的向量，所以點M在BC的垂直平分線上，故點M的軌跡一定通過△ABC的外心。