下有界線性算子與其伴隨算子的關系

李琳

【摘 要】研究了Banach空間線性算子的伴隨算子與Hilbert空間的伴隨算子的關系，利用Riesz表示定理給出了無界線性算子是下有界的充要條件。

【關鍵詞】下有界；伴隨算子

在數學物理中，很多實際問題都轉化成無窮維Hamilton系統，如流體力學、彈性力學、電磁學以及量子力學等數學物理問題。進而應用變分法使無窮維Hamilton系統導出無窮維Hamilton算子。對于無窮維Hamilton算子的研究，國內外很多學者做了大量工作，其中有一種方法是通過其伴隨算子來求解無窮維Hamilton系統方程，無窮維Hamilton算子一般情況下是非自伴算子，非自伴算子譜理論的研究還處于初級階段，沒有形成完善的理論結構。而且，無窮維Hamilton算子的譜比自伴算子、u-標算子、積分算子等幾類非自伴算子的譜要復雜的多，因為無窮維Hamilton算子可能存在連續譜、剩余譜。因此，無窮維Hamilton算子譜理論研究已經成為泛函分析、彈性力學、電磁學及應用力學中比較活躍的分支學科，引起越來越多的學者的關注。

實際應用中，下方有界算子出現在很多實際問題中，如流體力學、彈性力學、電磁學以及量子力學等數學物理問題。我們知道這些問題可以導出無窮維Hamilton系統，與此對應的算子矩陣就是Hamilton算子矩陣，而這些算子中有很多是下方有界算子。我們知道，線性算子的預解集主要考慮本身的下有界性，通過下有界得到線性算子的譜的相關結論。因此，下有界性是線性算子非常重要的性質.在本文，我們給出Banach空間及Hilbert空間無界線性算子的伴隨算子的概念，應用Riesz表示定理證明了下有界線性算子和伴隨算子之間的關系。

定義1.X，Y是Banach空間，T：D（T） X→Y是稠定線性算子，令T'y'=■，其中D（T'）={y'∈Y'：T是D（T）上的有界線性泛函}，稱T'是T在Banach空間的伴隨算子。

定義2.X是Hilbert空間，T：D（T） X→Y是X中稠定線性算子，令T*y=z，其中D（T*）={y∈X：存在z∈X，使得任意x∈D（T），（Tx，y）=（x，z）}，

稱T*是T在Hilbert空間的伴隨算子。

定義3.X是Hilbert空間，T：D（T） X→Y是X中稠定線性算子，存在m>0，使得‖Tx‖≥m‖x‖，∨x∈D（T），則稱T是下有界算子。

引理1.X是Banach空間（或Hilbert空間），T是X中的稠定線性算子，若T不是下方有界，則存在{x■} D（T），使得‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

證明：由于T不是下方有界，因此存在{u■} D（T），且‖x■‖=1，使得‖Tu■‖→0。 ■，Tu■≠0，

nu■，tu=0■

則‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

引理2.（Riesz表示定理）設H是Hilbert空間，f是H上定義的有界線性泛函，則存在唯一的y■∈H，使得f（x）=（x，y■），∨■∈H，

并且‖f‖=‖y■‖。設σ（f）=y■，則σ（f）是定義在全空間H*上的雙射，且共軛線性同構，即σ（αf+■g）=■■（f）+■σ（g），其中α，β∈C。

證明：證明略，見Weidmann《Hilbert空間的線性算子》P61 Th4.8。

定理3.X，Y是Banach空間，T：D（T） X→Y是稠定線性算子，y'∈Y'，若y'·T在D（T）上有界，則y'·T在X上存在唯一的有界泛函■。

證明：∨x∈X，由于T稠定，因此 {x■} D（T），使得x■→X。因為y'·T在D（T）上有界，所以‖y'·T（x■）-y'·T（x■）‖≤‖y'·T‖·‖x■-x■‖，因此{y'·T（x■）}是Cauchy列，記y'·T（x■）→a。

令F（x）=a，則F是X上的線性泛函，

F（x）=limy'·T（x■）≤‖y'·T‖·‖x‖，

因此F有界，且‖F‖≤‖y'·T‖。

∨x∈D（T），有‖y'·T（x）‖=F（x）≤‖F‖·‖x‖，‖y'·T‖≤‖F‖，所以‖y'·T‖=‖F‖。

下面證明F是唯一的：

設S是D（S） X上的有界線性泛函，且S（x）=y'·T（x），則∨x∈X， {x■} D（T），

使x■→x，且S（x）=limS（x■）=limy'·T（x■）=F（x）。

因此S=F，即F是唯一的，結論證畢。

定理4.X是Hilbert空間，T是X中的稠定線性算子，T*是T的伴隨算子，則R（T*）=XR（T*）當且僅當T下方有界。

證明：必要性：假設T不是下方有界，由引理1知，

{x■} D（T），使得∨y∈D（T*），有‖x■‖→∞，T（x■）→0，

則（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

因為R（T*）=X，所以∨f∈X*， y∈D（T*），使得

f（x■）=（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

由一致有界原理知{‖x■‖}有界，這與x■→∞矛盾，所以T下方有界。

充分性：∨z∈X，則有引理2知存在唯一f∈X*，使得f（x）=（x，z）。

當x∈D（T）時，記Tx=u，則

x=T■U，f（X）=F（T■（u））。

由于T■，f有界，所以f（T■）是R（T）上的有界線性泛函，

因此由Hahn-Banach定理知f（T■）可延拓到X上■，且‖■‖=‖f（T■）‖。

由引理3知 y∈X，g∈X*，使

■（u）=g（u）=（u，y），

從而當u∈R（T）時，

（x，z）=f（x）=f（T■u）=■（u）=g（u）=（u，y）=（Tx，y），

（下轉第36頁）（上接第10頁）

因此y∈D（T*），T*y=z，所以z∈R（T*），即∈R（T*）=X，結論證畢。

【參考文獻】

[1]張鴻慶.阿拉坦倉：一類偏微分方程的無窮維Hamilton正則表示.力學學報，1999，31（3）：347–357

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[4]吳德玉.阿拉坦倉：無窮維Hamilton算子特征函數系的Cauchy主值意義下的完備性.中國科學A輯：數學，2008，38（8）：904-912

（課題：2017年河套學院科學研究項目自然科學一般類：無窮維Hamilton算子的辛自伴（編號：HYZY201702））