線性空間的定義

繆應鐵

【摘 要】線性空間的定義是代數中一個較為抽象但又十分重要的概念，在認識代數關于空間上具有基礎性的作用，而線性空間的定義中涉及代數運算與代數結構，本文從代數運算的角度給出線性空間的定義，并在此基礎上引入平常意義上線性空間加法的定義，與通常意義上的加法做出區分。

【關鍵詞】運算；代數運算；線性空間

現實世界的空間形式中表現為線性的有直線、平面。研究直線、平面的工具是向量。把線性空間又可稱為向量空間，把線性空間的加法與純量乘法稱為線性運算。因此，一個線性空間必須有由線性運算規定的代數結構（由集合與滿足一定運算規律的一些代數運算合在一起組成的系統），以便于用數學方法對它研究。為了說明它的來源，在引入定義之前，先看幾個熟知的例子。

例1.幾何空間中的向量、n維向量、矩陣等例子有一個共同之處：就是一個集合，一個數域，兩種運算加法和純量乘法，再加8條運算法則。由此可以抽象出一個線性空間的定義。

例2.為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數組（a■，a■，…，a■）作為元素的n維向量空間。對于它們，也有加法和數量乘法，那就是：

（a■，a■，…，a■）+（b■，b■，…，b■）=（a■+b■，a■+b■，…，a■+b■）

k（a■，a■，…，a■）=（ka■，ka■，…，ka■）

從這些例子中我們可以看到，所考慮的對象雖然不同，但它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數量乘法這兩種運算。

研究線性空間，必須理解他的定義和簡單性質，以及線性相關和線性無關，極大線性無關組和向量組的秩的定義和性質之后，就著重研究線性空間的結構，指出任一線性空間的結構由它的一個基所決定，而維數對于研究有限維線性空間的結構起著重要作用。

定義1 設V是一非空集合，F是數域（本書特指實數域），對V中任意兩個元α，β，定義一個加法運算，記為“+”：α+β∈V（元α+β稱為α與β的和）；定義一個數乘運算：kα∈V，k∈F（元kα稱為k與α的數積）。這兩種運算（也稱為V的線性運算），滿足下列規則，則稱V為數域F上的線性空間（或向量空間）。加法滿足下面四條規則：

（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在V中存在零元素0；對任何α∈V，都有α+0=α；

（4）對任何α∈V，都有α的負元素β∈V，使α+β=0，記β=-α；

數量乘法滿足下面兩條規則：

（5）1α=α；

（6）λ（μα）=（λμ）α；數量乘法與加法滿足下面兩條規則；

（7）（λ+μ）α=λα+μα；

（8）λ（α+β）=λα+λβ。

數域F上的線性空間V，記為V（F），V中的元稱為向量；當F是實數域時，稱V為實線性空間；當F是復數域時，稱V為復線性空間。在不需要強調數域時，就稱V為線性空間。

例3. 由數域F上的元素構成的全體mxn矩陣所成的集合，稱為矩陣空間，記為F■，其中R■為由一切mxn實矩陣構成的實線性空間。但秩為r（r>0）的全體矩陣所構成的集合F■不構成線性空間。事實上，零矩陣0∈F■。

例4.設X為實數域R的任一非空子集，定義域為X的所有實值函數組成的集合，它對于函數的加法，以及實數與函數的數量乘法，成為實數域上的一個線性空間。

例5.數域K上所有一元多項式組成的集合，它對多項式的加法，以及k中元素與多項式的數量乘法，成為k上的一個線性空間。把復數域C可以看成是實數域R上的一個線性空間，其加法是復數的加法，其數量乘法是實數a與復數z的乘法。

例6.數域F按照本身的加法與乘法，即構成一個自身上的線性空間。設x是任意一個非空集合，F是一個數域，從X到F的每一個映射稱為X上的一個F值函數。X上的所有F值函數組成的集合。對函數的加法與數與函數的純量乘法。容易驗證它們滿足加法交換律、結合律等8條運算法則。因此可以形成一個線性空間，零元是零函數。這時既可用實數乘向量，從而構成實線性空間；又可以用復數乘向量，構成復線性空間，記為C■。

上面例子告訴我們，線性空間這一數學模型適應性很廣，我們將從線性空間的定義出發，作邏輯推理，深入揭示線性空間的性質，它們對于所有的具體的線性空間都成立。

性質1 零向量是唯一的。

性質2 負向量是唯一的。

性質3 0α=0；（-1）α=-α；k0=0。

性質4 若kα=0，則k=0或α=0。

（1）線性空間V是一個集合（向量），它滿足一定條件。

（下轉第31頁）（上接第14頁）

（2） 線性空間中的加法運算和乘法運算可以有不同的定義。

例如：在正實數集R■中，F為實數域R，定義加法和數乘運算為a b=ab，k a=a■，其中ab∈R■，k∈R，“ ”表示加法，“。”表示數乘。那么R■構成實線性空間。此時加法零元素是R■中的數1，R■中元素α的負元素是a■。

【參考文獻】

[1]陳重穆，施武杰.高等代數.重慶：西南師范大學出版社，1987

[2]陳重穆.有限群基礎.重慶：重慶出版社，1991